Akademia Górniczo - Hutnicza w Krakowie	Imię i nazwisko: Piotr Najdek
TEORIA STEROWANIA I TECHNIKA REGULACJI – LABORATORIUM
Wydział: EAIiE	Rok Akad.: 2011/2012	Rok studiów: II
Temat: Regulator cyfrowy.
Data wykonania: 28.05.2012	Data zaliczenia:	Ocena:

1. Wstęp teoretyczny.

Regulacja cyfrowa, jest to najogólniej mówiąc zastosowanie komputerów w systemach sterowania. Projektowanie komputerowych systemów sterowania procesami ciągłymi można prowadzić w dziedzinie czasu ciągłego i dyskretnego. Metoda czasu ciągłego wymaga późniejszej dyskretyzacji, a dla metody czasu dyskretnego niezbędna jest uprzednia dyskretyzacja obserwowanego układu.

Schemat układu z regulatorem PID:

$$u\left( t \right) = k_{p} \bullet e\left( t \right) + k_{i} \bullet \int_{0}^{t}{e\left( t \right)\text{dt} + k_{d} \bullet \frac{\text{de}(t)}{\text{dt}}}$$

Celem jest przerobienie danego równania na odpowiadające mu dla regulatora cyfrowego. Oznacza to dyskretyzację jego działania, co można osiągnąć poprzez zastosowanie przetwornika A/C. W związku z tym musi zostać także określony czas próbkowania T_p.

Dyskretyzacji dokonuje się następująco:

• Całkowanie wykonuje się metodą Eulera:

$$k_{i} \bullet \int_{0}^{t}{e\left( t \right)\text{dt} \rightarrow}k_{i} \bullet \sum_{j = 1}^{N}{e\left( j - 1 \right) \bullet T_{p}}$$

• Pochodna aproksymowana jest różnicą dwupunktową:

$$k_{d} \bullet \frac{de(t)}{\text{dt}} \rightarrow \frac{e\left( k \right) - e(k - 1)}{T_{p}} \bullet k_{d}$$

• Przekształcenie dla części proporcjonalnej:

k_p • e(t) → k_p • e(k)

Ostateczne równanie zadanego sygnału, po dyskretyzacji ma postać:

$$u\left( k \right) = k_{p} \bullet e\left( k \right) + \frac{e\left( k \right) - e(k - 1)}{T_{p}} \bullet k_{d} + k_{i} \bullet \sum_{j = 1}^{N}{e\left( j - 1 \right) \bullet T_{p}}$$

Dużym ułatwieniem jest zapisanie równania w postaci przyrostu u(k).

$$u\left( k \right) = u\left( k \right) - u\left( k - 1 \right) = e\left( k \right) \bullet \left( k_{p} + \frac{k_{d}}{T_{p}} \right) + e\left( k - 1 \right)\left( - k_{p} + k_{i}T_{p} - \frac{2k_{d}}{T_{p}} \right) + e\left( k - 2 \right) \bullet \frac{k_{d}}{T_{p}}$$

Regulacja możliwa jest poprzez zmiany nastawień k_p,  k_d, k_i,  oraz T_p(wczesniej ustalone)

Schemat, obrazujący powyższe równanie

Przyjmujemy następujące parametry:

$$q_{0} = k_{p} + \frac{k_{d}}{T_{p}}$$

$$q_{1} = - k_{p} + k_{i}T_{p} - \frac{2k_{d}}{T_{p}}$$

$$q_{2} = \frac{k_{d}}{T_{p}}$$

1. Przebieg symulacji.

• Schemat układu z regulatorem cyfrowym:

Kod matlab:

• Wykresy odpowiedzi na wymuszenia dla regulatora (sygnał wejściowy- kolor czerwony, sygnał wyjściowy- kolor niebieski)

• Wykres odpowiedzi dla regulatora z aktywnym tylko członem proporcjonalnym:

Uzyskany sygnał wyjściowy został wzmocniony dwukrotnie i nie jest zniekształcony, więc człon proporcjonalny działa poprawnie.

• Wykres odpowiedzi dla regulatora z aktywnym tylko członem całkującym:

Jak widać poprzez niedostatecznie mały czas próbkowania, nie jest on idealnie prosty. Występują schodki, które można zmniejszyć poprzez zmianę właśnie czasu próbkowania.

• Wykres odpowiedzi dla regulatora z aktywnym członek różniczkującym:

• Wykres odpowiedzi regulatora z aktywnymi wszystkimi członami (regulator PID)

Rezultaty przeprowadzonej symulacji potwierdzają poprawność przebiegu, który uzyskany został dla regulatora PID. Jedynym problemem, jest dyskretyzacja, która powoduje powstanie schodków na wykresie. Możliwa jest ich minimalizacja, poprzez zmniejszenie czasu próbkowania. Wtedy wykres będzie bardziej zbliżony do rzeczywistego przebiegu.

• Schemat układu regulatora z ograniczeniem amplitudy:

Kod matlab:

• Wykres odpowiedzi części całkującej(kd = 10) :

Na powyższym wykresie widać wpływ ograniczenia amplitudy sygnału wyjściowego regulatora na przebieg wykresu odpowiedzi. Nastąpiło ono wskutek przerwania w prawidłowym momencie procesu całkowania.

• Wykres dla regulatora cyfrowego typu PID, bez ograniczenia amplitudy:

• Wykres dla regulatora cyfrowego typu PID, z ograniczeniem amplitudy:

• Wykres dla regulatora typu PID, przy zmniejszonym czasie próbkowania(Tp = 0.025)

Jak widać z pierwszych dwóch wykresów, sygnał, który na początku osiągał wartości nawet ok. 70, to po nałożeniu ograniczenia poprzez saturator, wartość ta nie mogła zostać osiągnięta. Ustalone ograniczenie doprowadziło do tego, że wartości przebiegu nie przekroczyły zakresu od -30 do 30. Saturator powoduje wykonywanie przez regulator działań, do osiągnięcia określonego pułapu. Wartości, które go przekraczały, zostały zamienione na wartości stałe.

Z ostatniego wykresu, można zauważyć, że zmniejszenie czasu próbkowania skutkuje zwiększeniem dokładności danego przebiegu. Uzyskane na wykresie schodki są mniejsze, więc zmniejszając coraz bardziej wartość czasu próbkowania, wykres będzie coraz bardziej podobny do rzeczywistego przebiegu.