Teoria stateczności układów prętowych

Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Referat nr 10

Teoria stateczności układów prętowych

Podstawowym pojęciem z mechaniki jest stateczność układu – zdolność/właściwość układu do powracania do warunków równowagi statycznej założonego podczas projektowania oraz określonego podczas normalnej eksploatacji, w przypadku gdy został z tych warunków wytrącony.

Jeśli układ po wytrąceniu z warunków równowagi statycznej w dalszym ciągu się od nich oddala – nazywany jest niestatecznym.

Utrata stateczności konstrukcji jest zagadnieniem niezwykle ważnym i skomplikowanym.

Konstrukcja może znajdować się w trzech postaciach równowagi:

Opisaną sytuację można zobrazować traktując konstrukcję jako ciężka kulkę w różnych warunkach podparcia znajdująca sie w potencjalnym polu sił:

Zjawisko utraty równowagi statecznej może występować w wielu konstrukcjach inżynierskich. Z utratą stateczności mamy do czynienia, gdy niewielka zmiana przyczyny powoduje bardzo dużą zmianę skutku. Do analizy problemu posłuży przypadek pręta ściskanego siłą osiową. Po raz pierwszy zagadnienie zostało rozwiązane przez Eulera (1744 r.).

Zakładamy ściskany osiowo pręt o sile P o schemacie statycznym przegubowo podpartym na obu końcach, wykonany z materiału liniowo sprężystego o module Younga E.

Dopóki siła P nie przekroczy pewnej charakterystycznej wartości, zależnej od wysokości, przekroju poprzecznego słupa i materiału, pręt znajdować się będzie w równowadze statecznej. Natomiast w przypadku gdy pręt jest ściskany osiowo o sile P równej sile krytycznej Pkr po usunięciu przyczyny początkowego ugięcia pozostanie krzywoliniowy.

Podsumowując gdy siła osiągnie wartość krytyczną Pkr pręt traci równowagę stateczną na rzecz równowagi obojętnej lub niestatecznej. Nie powróci do swej pierwotnej prostoliniowej formy - ulega wyboczeniu.

Wyboczenie może mieć jedną z trzech postaci:

Wzór Eulera na siłę krytyczną.

M( x ) = Pkr w( x )

E I w′′( x ) = − M( x ) = − Pkr w( x )

K def = $\frac{\text{Pkr}}{\text{EI}}$

w′′( x ) + k 2 w( x ) = 0

w( x ) = A sinkx + B cos kx

w( x = 0 ) = 0 ⇒ B = 0

w( x = L ) = 0 ⇒ 0 = A sin kL

k L = n π ;

n = 1,2,3.....

Wzory na siłę krytyczną dla innych warunków brzegowych:

W ogólnym przypadku podaje się zależność uwzględniającą różne sposoby podparcia:

Gdzie:

lw = α * l – długość wyboczeniowa preta,

α – współczynnik zależny od sposobu umocowania pręta

Wartości współczynnika długości wyboczeniowej α zależnego od warunków podparcia podano na rysunku poniżej:

Ponieważ materiał analizowanego pręta był z założenia materiałem liniowo sprężystym to naprężenia normalne w pręcie nie mogą przekraczać RH – granicy stosowalności prawa Hooke`a (granicy proporcjonalności)

Jeżeli chce się wyznaczyć naprężenia krytyczne, to silę krytyczną należy podzielić przez pole przekroju poprzecznego pręta A. Uzyskując zależność:

Gdzie: minimalnym promieniem bezwładności przekroju poprzecznego:

Zależność można zapisać inaczej:


$$\delta_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}E}{\lambda^{2}}$$

Smukłość λ jest liczbą charakteryzującą pręt. Zależy ona od właściwości przekroju, długości wyboczeniowej pręta (więc od warunków podparcia) i od własności materiału pręta. Smukłość pręta definiujemy w nastęujący sposób:

Graficzną interpretacją wzoru $\delta_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}E}{\lambda^{2}}$ jest hiperbola Eulera przedstawiona na rysunku poniżej, na którym zaznaczono również zakres stosowalności wzoru Eulera. Wzór ten może być stosowany wyłącznie w zakresie sprężystym (dla σkr ≤ σH), czemu odpowiadają wartości smukłości λ ≥ λgr

Znając E dla materiału pręta oraz dopuszczalne naprężenie możemy wyznaczyć jego (dopuszczalną) właściwą smukłość.

Możemy otrzymać zależność:

Powyższy zapis oznacza naprężenie krytyczne Eulera.

Na wykresie zależności σkr od λ, wykresem funkcji jest hiperbola, której zakres ważności jest ograniczony od góry, na osi rzędnych, wartością RH.

Wzór na siłę krytyczną (Pkr) może być stosowany tylko wtedy, kiedy stan mechaniczny pręta jest stanem liniowo sprężystym (λ ≥ λgr). Jeśli λ<λgr pręt będzie pracował w stanie poza liniowo sprężystym, należy stosować wzory do wyboczenia sprężysto – plastycznego, czyli odpowiednio: aproksymację prostą Tetmajera – Jasińskiego lub parabolą Johnsona – Ostenfileda.

  1. Prosta Tetmajera – Jasińskiego:

σkr = A - B λ

  1. Parabola Johnsona – Ostenfielda:

σkr = a - b λ2

Współczynniki materiałowe A i B oraz a i b wyznacza się dla danego materiału preta odpowiednio z zależności

A = Re

B = $\frac{R_{e} - R_{H}}{\pi}\sqrt{\frac{R_{H}}{E}}$

A = Re

B = $\frac{R_{e}^{2}}{4E\pi}$

Podsumowując tak długo, jak P < Pkr pręt zachowuje się w sposób „stateczny”, tzn. znajduje się w stanie początkowej równowagi prostoliniowej. Wówczas, gdy siła osiągnie wartość krytyczną Pkr pręt traci stateczność (ulega wyboczeniu), a jego ugięcia mogą być dowolnie duże.

Wyboczenie jest to zatem utratą przez ściskany pręt stanu równowagi statecznej na rzecz równowagi obojętnej lub niestatecznej.

Należy ponadto zwrócić uwagę, że smukłość pręta λ zależy tylko od wielkości geometrycznych pręta, zaś smukłość graniczna λgrzależy tylko od własności materiałowych.

Bibliografia:

  1. Beluch W., Burczyński T., Fedeliśnki P., John A., Kokot G., Kuś W.: Laboratorium z wytrzymałości materiałów. Wyd. Politechniki Śląskiej, Skrypt nr 2285, Gliwice, 2002.

  2. Bodnar A., Wytrzymałość materiałów – podręcznik dla studentów wyższych szkół technicznych, Kraków, 2004

  3. Piechnik S., Wytrzymałość materiałów dla wydziałów budowlanych, Warszawa – Kraków, 1978
    www: http://limba.wil.pk.edu.pl/~jg/wyklady_wm/transport/wyboc_15.pdf

  4. Zaborski A., Stateczność pręta prostego – przykłady obliczeniowe


Wyszukiwarka