Laboratorium Automatyki	Politechnika Radomska Wydział Elektrotechniki
Temat ćwiczenia: Badanie stabilności liniowych układów regulacji	Ćwiczenie nr: ……………………….
Zespół nr …………….. Grupa: ……………….. Dnia: …………………. Rok akad: …………….	Wojciech Minda Michał Szuchnik Krzysztof Trzeszczyński Cezary Wrochna

Celem ćwiczenia było zapoznanie się z metodami określania stabilności układu otwartego i zamkniętego na podstawie kryterium Hurwitza i Nyquista.

Należało zbadać stabilność układu zamkniętego jeśli transmitancja układu otwartego wynosi:

$$k\left( s \right) = \frac{8}{\left( s + 1 \right)\left( 2s + 1 \right)(3s + 1)}$$

Kryterium stabilności Hurwitza

Kryterium Hurwitza jest to kryterium algebraiczne, które można sformułować następująco: aby był spełniony warunek konieczny i wystarczający stabilności (czyli, aby pierwiastki równania charakterystycznego znajdowały się w lewej półpłaszczyźnie Re[s_k]<0) muszą być spełnione następujące wymagania:

Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego

istnieją i są większe od zera (warunek konieczny, ale niewystarczający)

a₀>0, ......, a_n-1>0, a_n>0

Podwyznaczniki (minory) _i (i = 2,3,......,n-1) wyznacznika głównego _n są większe od zera.

Wyznacznik główny _n jest tworzony ze współczynników równania charakterystycznego i zawiera n wierszy oraz n kolumn.

Jeżeli jakikolwiek z podwyznaczników _i jest równy zero, to równanie charakterystyczne może zawierać między innymi pierwiastki czysto urojone i mówimy, że układ znajduje się na granicy stabilności (w przebiegu e(t) występują drgania o stałej amplitudzie). Jeżeli równanie charakterystyczne można przedstawić w postaci M(s)=s^pM₁(s)=0, to układ jest stabilny, gdy p=1 i równanie M₁(s)=0 spełnia warunki stabilności. Dla p>1 układ będzie niestabilny. Jeżeli jakikolwiek ze współczynników a_i równania charakterystycznego jest ujemny lub równy zero, bądź jakikolwiek z podwyznaczników _i jest mniejszy od zera, to układ jest niestabilny.

Kryterium Hurwitza stanowi pierwszą ocenę stabilności i daje tylko odpowiedź czy układ jest stabilny czy niestabilny. Może być również wykorzystane ono do wyznaczenia przedziału zmienności współczynnika wzmocnienia układu otwartego, dla którego układ jest stabilny oraz określenia tak zwanego obszaru stabilności, tj. obszaru zmienności wybranych parametrów układu, dla których układ jest stabilny.

Obliczenia kryterium stabilności Hurwitza dla naszego układu:

$$k\left( s \right) = \frac{8}{\left( s + 1 \right)\left( 2s + 1 \right)(3s + 1)} = \frac{8}{6s^{3} + 11s^{2} + 6s + 1}$$

Transmitancję układu zamkniętego wyznaczmy ze wzoru:

$$G_{Z}\left( s \right) = \frac{K(s)}{1 + K(s)}$$

Określamy równanie charakterystyczne układu zamkniętego:

M(s) = L₀(s)+M₀(s)

Uwzględniając transmitancję K(s) otrzymamy:

M(s) = 6s³ + 11s² + 6s + 9 = 0

Zatem współczynniki równania wynoszą:

a₀=9; a₁=6 a₂=11 a₃=6

1⁰ WARUNEK KRYTERIUM HURWITZA

a₀=9>0, a₁=6>0, a₂=11>0, a₃=6>0

Wszystkie współczynniki a₀...a₃ istnieją i są większe od 0.

2⁰ WARUNEK KRYTERIUM HURWITZA

Tworzymy podwyznaczniki (minory):

$$_{2} = \left| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} \\ a_{0} & a_{1} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 11 & 6 \\ 9 & 6 \\ \end{matrix} \right| = 66 - 54 = 12 > 0$$

$$_{3} = \left| \begin{matrix} a_{2} & a_{3} & 0 \\ a_{0} & a_{1} & a_{2} \\ 0 & 0 & a_{0} \\ \end{matrix} \right| = \left| \begin{matrix} 11 & 6 & 0 \\ 9 & 6 & 11 \\ 0 & 0 & 9 \\ \end{matrix} \right| = 108 > 0$$

Zatem podwyznaczniki Δ₂ i Δ₃ są większe od 0.

Zgodnie z Kryterium Hurwitza spełnione są warunki 1⁰ i 2⁰, więc układ zamknięty jest stabilny.

Kryterium stabilności Nyquista

Kryterium stabilności Nyquista jest to kryterium częstotliwościowe. Ma ono duże znaczenie w praktyce, gdyż umożliwia badanie stabilności układu zamkniętego, nawet w przypadku nieznajomości opisu matematycznego niektórych członów układu. W takich przypadkach eksperymentalnie określa się amplitudowo-fazowe charakterystyki oddzielnych członów, a następnie amplitudowo-fazowe charakterystyki układu otwartego.

Jeżeli układ zamknięty jest stabilny, to pierwiastki równania charakterystycznego znajdują się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s.

Logarytmiczne kryterium Nyquista polega na badaniu charakterystyk L(ω) i ϕ(ω) układu otwartego.

Z tego kryterium wynika warunek stabilności:

gdzie:

ϖ_k - częstotliwość, przy której

Dla zbadania warunków stabilności, mając do dyspozycji logarytmiczne charakterystyki częstotliwościowe, należy sprawdzić czy dla częstotliwości, przy której charakterystyka fazy osiąga wartość -π, charakterystyka amplitudy ma wartość ujemną czy dodatnią.

Wobec powyższego logarytmiczne kryterium stabilności można sformułować następująco: zamknięty układ regulacji automatycznej jest stabilny asymptotycznie wówczas, gdy logarytmiczna charakterystyka amplitudowa układu otwartego L(ω) ma wartość ujemną przy pulsacji odpowiadającej przesunięciu fazowemu -π. Dla oceny zapasu stabilności ocenia się:

Zapas amplitudy ΔM, który oznacza o ile amplituda, przy fazie równej -π różni się od jedności

Zapas fazy Δϕ, który oznacza, o ile, przy amplitudzie równej jedności, faza różni się od -π.

Nasz układ składał się z trzech bloków inercyjnych pierwszego rzędu o parametrach:

$$k\left( s \right) = \ \frac{8}{\left( s + 1 \right)} \bullet \frac{1}{\left( 2s + 1 \right)} \bullet \frac{1}{(3s + 1)}$$

Układ ten jest stabilny.

Zapas amplitudy i fazy przedstawiliśmy na załączonym wydruku.