Cel ćwiczenia (wersja poprawiona)
Badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym
Wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa oraz za pomocą wiskozymetru Höpplera
Wstęp
Lepkością lub tarciem wewnętrznym nazywamy zjawisko występowania sił stycznych przeciwstawiających się przemieszczeniu jednych części ciała względem innych jego części. Zjawisko to powstaje na skutek ruchów cieplnych cząstek oraz sił międzycząsteczkowych. Wskutek działania siły tarcia wewnętrznego występującego między warstwami cieczy, poruszająca się warstwa pociąga za sobą warstwy sąsiadujące z nią z prędkością tym bardziej zbliżoną do prędkości własnej, im ciecz jest bardziej lepka. Analogicznie – spoczywająca warstwa hamuje poruszające się warstwy sąsiednie. Ze względu na to, że wszystkie rzeczywiste ciecze są lepkie zjawisko lepkości odgrywa istotną rolę podczas przepływu cieczy oraz podczas ruchu ciała stałego w ośrodku ciekłym.
Prawo empiryczne określające siłę oddziaływania występującą między dwiema warstwami cieczy podał Newton. Można je wyrazić wzorem:
$$F_{t} = \eta S\frac{\text{dv}}{\text{dx}}$$
Siła Ft, jaką wywierają na siebie nawzajem dwie sąsiadujące ze sobą warstwy płynu, jest proporcjonalna do iloczynu ich powierzchni styku S i gradientu prędkości dv/dx. Współczynnik proporcjonalności η [N⋅s⋅m-2] nazywamy współczynnikiem lepkości. Współczynnik lepkości ośrodka zależy od temperatury T. Dla cieczy słuszna jest w przybliżeniu zależność:
$$\eta = Ce^{\frac{b}{t}}$$
gdzie C, b są stałymi charakteryzującymi ciecz.
Zjawisko lepkości, podobnie jak dyfuzja i przewodnictwo cieplne, należy do grupy zjawisk obejmowanych wspólną nazwą zjawisk transportu. W zjawiskach lepkości, dzięki ruchom cieplnym cząstek cieczy, mamy do czynienia z transportem pędu między warstwami poruszającymi się z różną prędkością. Ten właśnie transport sprzyja wyrównaniu się prędkości w całym strumieniu przepływającej cieczy.
Ciało stałe, poruszające się w ośrodku ciekłym, napotyka na opór. W otoczeniu ciała obserwujemy wtedy ruch cieczy. Mechanizm tego zjawiska jest następujący: warstwa cieczy, przylegająca do powierzchni poruszającego się ciała, wprawia w ruch pozostałe warstwy cieczy. Tak więc istotną rolę odgrywa tu lepkość cieczy. Dla ciał o symetrii osiowej poruszającego się w kierunku osi, wypadkowa siła oporu działa przeciwstawnie do kierunku ruchu. Doświadczalnie stwierdzono, że dla małych prędkości siła tarcia wewnętrznego Ft jest wprost proporcjonalna do prędkości v, zależy od charakterystycznego wymiaru liniowego ciała l oraz od współczynnika lepkości cieczy .
Równanie określające siłę oporu (tarcia wewnętrznego) ma postać:
Ft = −alηv
gdzie a jest to stała zależna od kształtu ciała. Dla kuli o promieniu r (l = r) mamy a=6 i równanie przechodzi w tzw. prawo Stokesa:
Ft = −6πrηv
Rozpatrzmy ruch małej kulki o promieniu r, spadającej swobodnie w cieczy lepkiej. Na kulkę działają siły:
- ciężar kulki P = mg = ρVg
- siła wyporu Archimedesa W = −ρ′Vg
- siła oporu wynikająca z ruchu Ft = −6πηv
przy czym:
$$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$$
V– objętość kulki,
ρ – gęstość materiału kulki,
ρ’ – gęstość cieczy.
Siła wypadkowa F, działająca na ciało wynosi:
F = P + W + Ft
i jest ona siłą malejącą. Przyczyną takiego stanu jest zwiększanie się prędkości kulki i w konsekwencji wzrost wartości siły Ft. Przyspieszenie ciała maleje zatem w czasie, a prędkość dąży do wartości granicznej, odpowiadającej stanowi F=0.
Równanie ruchu kulki ma postać:
$$m\frac{\text{dv}}{\text{dt}} = \rho Vg - \rho^{'}Vg - g\pi r\eta c$$
Rozwiązaniem tego równania różniczkowego (przy założeniu, że t0=0, v(t0)=0) jest funkcja
$$v = \frac{A}{B}\left( 1 - e^{- Bt} \right)$$
gdzie $A = \frac{\text{Vg}\left( \rho - \rho' \right)}{m}$, $B = \frac{6\pi r\eta}{m}$
Prędkość graniczną (prędkość stała) :
$$V_{g} = \operatorname{}{v\left( t \right) = \frac{A}{B}}$$
ściśle zatem kulka osiąga po czasie nieskończenie długim. W rzeczywistości jednak już po niedługim czasie ruch można z dobrym przybliżeniem uważać za jednostajny. Podstawiając do tego wzoru A i B, otrzymujemy
$$\eta = \frac{2r^{2}g(\rho - \rho')}{9v_{g}}$$
Zauważmy, że wzór ten jest ściśle słuszny tylko dla obszaru nieograniczonego cieczy. Jeżeli badana ciecz znajduje się w naczyniu, to należy uwzględnić działania ścianek na ruch kulki.
Możemy zatem w przypadku kulki spadającej w cieczy przedstawić współczynnik lepkości w postaci:
η = k(ρ − ρ′)t
Stałą k określają warunki doświadczenia, a t jest czasem przebycia zadanej drogi w ruchu jednostajnym.
Wyniki
Masy kulek:
| kulka | m[g] | ∆m[g] |
|---|---|---|
| przezroczysta | 0,6922 | 0,0002 |
| czarna | 0,2338 | 0,0002 |
| biała | 0,2942 | 0,0002 |
| przezroczysta | czarna | biała | |
|---|---|---|---|
| Nr pom. | d[mm] | ∆d[mm] | dŚR[mm] |
| 1 | 7,9 | 3,8 E-2 | 7,9 |
| 2 | 7,9 | ||
| 3 | 8,0 | ||
| 4 | 8,0 | ||
| 5 | 7,8 | ||
| 6 | 8,0 | ||
| 7 | 7,9 | ||
| 8 | 7,9 | ||
| 9 | 8,0 | ||
| 10 | 7,9 |
Średnice kulek:
$\sqrt{\frac{1}{20}\left\lbrack \left( \overline{d} - d_{1} \right) + \left( \overline{d} - d_{2} \right) + ..\ . \right\rbrack} = 0,04mm$
7,94 mm
Promienie kulek:
| przezroczysta | czarna | biała |
|---|---|---|
| r [mm] | ∆r [mm] | r [mm] |
| 4,0 | 2,0 E-2 | 3,0 |
$$r = \frac{\overline{d}}{2} = 3,97mm$$
$$r = \frac{\overline{d}}{2} = 0,019mm$$
Czas opadania kulek w glicerynie:
| przezroczysta | czarna | biała | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| Nr pom. | t[s] | tSR[s] | ∆t[s] | h[m] | t[s] | tSR[s] |
| 1 | 9,57 | 9,77 | 0,05 | 0,3 | 24,92 | 24,75 |
| 2 | 9,87 | 24,70 | ||||
| 3 | 9,73 | 25,10 | ||||
| 4 | 9,72 | 24,24 | ||||
| 5 | 9,80 | 25,03 | ||||
| 6 | 9,74 | 24,80 | ||||
| 7 | 9,79 | 24,65 | ||||
| 8 | 9,85 | 24,37 | ||||
| 9 | 9,76 | 24,93 | ||||
| 10 | 9,90 | 24,78 |
$\sqrt{\frac{1}{20}\left\lbrack \left( \overline{t} - t_{1} \right) + \left( \overline{t} - t_{2} \right) + ..\ . \right\rbrack} = 0,05\ s$
9,77 s
Gęstość gliceryny: 1,26 g/cm3 (zmierzona areometrem wyskalowanym dla temp. 20˚C)
Pomiar przeprowadzony został w temperaturze 23˚C.
Niepewność aerometru: 0,01 g/cm3
Pomiary w wiskozymetrze Höpplera:
| Nr pom. | t[s] | ∆t[s] | tSR [s] |
|---|---|---|---|
| 1 | 271,71 (4:31,27) | 2,33 | 266,33 (4:26,33) |
| 2 | 267,56 (4:27,56) | ||
| 3 | 268,36 (4:28,36) | ||
| 4 | 257,68 (4:17,68) |
W nawiasach podano czas przeliczony na minuty.
Obliczenia
Wyznaczenie gęstości kulki:
$$\rho = \frac{m}{v} = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^{3}}$$
$$\rho = \frac{0,6922}{\frac{4}{3\ }\text{π\ }\begin{matrix}
\ \\
(3,97) \\
\end{matrix}^{3}} = \ \frac{0,6922}{261,963} = 2,6423 \bullet 10^{- 3}\ \left\lbrack \frac{g}{\text{mm}^{3}} \right\rbrack = 2,642\left\lbrack \frac{g}{\text{cm}^{3}} \right\rbrack = 2642\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$
Wyznaczenie niepewności gęstości kulki:
$$\rho_{k} = \left\lbrack \left| \frac{m}{m} \right| + \left| \frac{3r}{r} \right| \right\rbrack \bullet \rho_{k}$$
$$\rho_{k} = \left\lbrack \left| \frac{0,000002}{0,0006922} \right| + \left| \frac{0,00057}{0,00397} \right| \right\rbrack \bullet 2642 = 386,96\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$
Wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy:
$$\eta = \frac{{2r}^{2} \bullet g \bullet t \bullet \left( \rho_{k} - \rho_{c} \right)}{9h}$$
$$\eta = \frac{{2(0,00397)}^{2} \bullet 9,81 \bullet 9,77 \bullet \left( 2642 - 1260 \right)}{2,7} = 1,546\left\lbrack \frac{N \bullet s}{m^{2}} \right\rbrack$$
Wyznaczenie niepewności współczynnika lepkości cieczy:
$$\eta = \left| \frac{4rgt(\rho_{k} - \rho_{c})r}{9h} \right| + \left| \frac{2r^{2}g(\rho_{k} - \rho_{c})t}{9h} \right| + \left| \frac{2r^{2}gt\rho_{k}}{9h} \right| + \left| \frac{2r^{2}gt\rho_{c}}{9h} \right| + \left| \frac{2r^{2}gt(\rho_{k} - \rho_{c})h}{9h^{2}} \right|$$
$$\eta = \left| \frac{3,9964}{2,7} \right| + \left| \frac{0,0213}{2,7} \right| + \left| \frac{1,1691}{2,7} \right| + \left| \frac{4,1753}{2,7} \right| + \left| \frac{0,0418}{0,81} \right| = 0,307\left\lbrack \frac{N \bullet s}{m^{2}} \right\rbrack$$
| przezroczysta | czarna | biała | |
|---|---|---|---|
$$\rho\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$ |
2642 | 2131 | 2765 |
$$\rho_{k}\left\lbrack \frac{\text{kg}}{m^{3}} \right\rbrack$$ |
387 | 25 | 611 |
$$\eta\left\lbrack \frac{N \bullet s}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
1,546 | 1,381 | 1,441 |
$$\eta\left\lbrack \frac{N \bullet s}{m^{2}} \right\rbrack$$ |
0,3 | 0,2 | 0,3 |
Dla wizkozymetru Höpplera:
Wyznaczenie współczynnika lepkości:
η = k • (ρk − ρc)•t
$$\eta = 0,0000001216 \bullet 6885 \bullet 266,33 = 0,223\left\lbrack \frac{N \bullet s}{m^{2}} \right\rbrack$$
Wyznaczenie niepewności współczynnika lepkości:
η = |k•t•ρk| + |k•t•ρc| + |k•(ρk−ρc)•t|
$$\eta = \left| 0,0000001216 \bullet 266,33 \bullet 10 \right| + \left| 0,0000001216 \bullet 266,33 \bullet 5 \right| + \left| 0,0000001216 \bullet 6885 \bullet 2,33 \right| = 0,0024\left\lbrack \frac{N \bullet s}{m^{2}} \right\rbrack$$
Wnioski
Celem tego ćwiczenia było badanie ruchu ciał spadających w ośrodku ciekłym oraz wyznaczenie współczynnika lepkości cieczy metodą Stokesa oraz za pomocą wiskozymetru Höpplera. W pierwszej części zadania mierzyliśmy masę oraz średnicę trzech kulek – przezroczystej, białej i czarnej. Następnie wielokrotnie mierzyliśmy za pomocą stopera czas spadania tych kulek w glicerynie na odcinku 30 cm. W drugiej części zadania mierzyliśmy czas spadania metalowej kulki w wiskozymetrze Höpplera.
Wyniki wszystkich pomiarów wraz z niepewnościami znajdują się w tabelach.
Na podstawie powyższych pomiarów musieliśmy wyliczyć współczynnik lepkości. Współczynnik ten w dużym stopniu zależy od charakterystyki kulki, dlatego wyniki dla poszczególnych kulek zauważalnie się różnią. Wynika to z faktu, że różne materiały mają różne współczynniki tarcia w stosunku do badanej cieczy. Wyniki uzyskane przez nas w pomiarach obarczone są pewnymi błędami, na które składają się: niedokładność pomiaru czasu podczas spadania kulki (używaliśmy ręcznie sterowanego stopera, więc często o wyniku pomiaru decydował refleks mierzącego) oraz odległość opadającej kulki od ścianek naczynia (prędkość przemieszczania się cieczy w różnych warstwach jest różna), która była zmienna w zależności od tego, jak udało nam się wrzucić kulkę do naczynia z gliceryną. Wpływ na wyniki pomiarów miała także temperatura w pomieszczeniu (23˚C), podczas gdy areometr wyskalowany został dla temperatury 20˚C.
Wartość tabelaryczna gęstości gliceryny wynosi 1262 kg/m3, co odpowiada wartości zmierzonej przez nas. Tabelaryczny współczynnik lepkości znajduje się w przedziale 1,495-0,942 Pa*s (dla temp. otoczenia 20˚C-25˚C) , podobnie jak dwie z trzech wartości wyliczonych przez nas.
Wyniki wraz z obliczeniami znajdują się w punkcie „Obliczenia”.