RACHUNEK CAŁKOWY FUNKCJI DWÓCH ZMIENNYCH. Obszar domknięty D określony nierównościami a≤x≤b, g(x)≤y≤h(x), gdzie g(x) i h(x) są funkcjami ciągłymi dla każdego x ∈<a,b> nazywamy obszarem normalnym względem osi OX. Obszar domknięty D określony nierównościami c≤y≤d, p(y)≤x≤q(y), gdzie p(y) i q(y) są funkcjami ciągłymi dla każdego y ∈ <c,d> nazywamy obszarem normalnym względem osi OY. Mówimy, że obszar domknięty D jest obszarem regularnym względem osi OX (osi OY), jeżeli obszar ten można podzielić prostymi równoległymi do osi OY (osi OX) na obszary normalne względem osi OX (osi OY). Obszary w przestrzeni R2 nazywamy obszarami płaskimi i oznaczamy literą D. Obszary w przestrzeni R3 nazywamy obszarami przestrzennymi i oznaczamy literą Ω. Obszar w przestrzeni R3 o podstawie D ograniczony powierzchnią będącą wykresem funkcji z=f(x,y) oraz powierzchnią utworzoną z prostych równoległych do osi OZ i przechodzących przez brzeg obszaru D nazywamy bryłą cylindryczną. Średnicą obszaru nazywamy kres górny zbioru odległości dwóch dowolnych punktów tego obszaru. Niech f(x,y) będzie funkcją dwóch zmiennych określoną w obszarze domkniętym i ograniczonym D w polu S. Obszar D dzielimy w dowolny sposób na n podobszarów Di odpowiednio o polach Δ si (i=1,2,...,n). Podział ten oznaczamy symbolem Δn. W każdym podobszarze Di obieramy dowolny punkt Pi = (ξi, ηi). Tworzymy sumę. $\sigma_{n} = \ \sum_{i = 1}^{n}{f(\xi_{i},\ \eta_{i})\Delta s_{i}}$ Sumę tę nazywamy sumą całkową funkcji f(x,y) w obszarze D. Przez di (i=1,2,...,n) oznaczamy średnicę podobszaru Di. Liczbę δn = {di} nazywamy średnicą podziału Δn. Ciąg {Δn} podziałów obszaru D na podobszary nazywamy ciągiem normalnym podziałów, jeżeli odpowiadający mu ciąg średnic {dn} dąży do 0, tj. δn = 0. Jeżeli dla każdego normalnego ciągu podziałów obszaru D ciąg sum całkowych {sn} dąży do tej samej granicy właściwej, niezależnej od wyboru punktów Pi, to tę granicę nazywamy całką podwójną funkcji f(x,y) w obszarze D i oznaczamy symbolem ∬D f(x,y)ds . Definicję powyższą można zapisać następująco: $\operatorname{}{\sum_{i = 1}^{n}{f(}\xi_{i},\ \eta_{i})\Delta s_{i}}$. Jeżeli całka istnieje, to mówimy, że funkcja dwóch zmiennych f(x,y) jest całkowalna w sensie Riemanna w obszarze D lub krótko, że jest całkowalna w obszarze D. Zamiast ds piszemy też dxdy. wyrażenie f(x,y)ds lub f(x,y)dxdy nazywamy wyrażeniem podcałkowym, f(x,y) nazywamy funkcją podcałkową, D nazywamy obszarem całkowania, zmienne x i y nazywamy zmiennymi całkowania. Twierdzenie o całkowalności funkcji dwóch zmiennych Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze domkniętym i ograniczonym D, to jest całkowalna w tym obszarze. Jeżeli dla każdego (x,y)eD: f(x,y)≥0 oraz istnieje całka ∫∫(D) f(x,y) dxdy to jest ona równa objętości V bryły cylindrycznej o podstawie D i ograniczonej powierzchnią będącą wykresem funkcji z=f(x,y). Więc: V=∫∫(D) f(x,y)dxdy, Z def. Całki wynika, że ∫∫(D) ldxdy=∫∫(D) dxdy jest równa polu S obszaru D. Jeżeli dla każdego (x,y)eD: f(x,y)≤0,to z definicji wynika, że całka podwójna jest równa objętości bryły ze znakiem ujemnym. W szczególności, jeżeli funkcja (f(x,y) jest stała w prostokącie D={(x,y)eR^2:(a≤x≤b)/\(c≤y≤d)], przy czym dla każdego (x,y)eD: f(x,y)= k(k>0), to: ∫∫(D) f(x,y)ds.=k(b-a)(d-c) (*). Całka podwójna (*) jest więc równa objętości prostopadłościanu, którego podstawą jest prostokąt D, a wysokość jest równa k. Własności całki podwójnej: 1. Jeżeli funkcja f(x,y) jest całkowalna w obszarze D, a c jest dowolną stałą to: ∫∫(D) c*f(x,y)dxdy=c*∫∫(D) f(x,y)dxdy. 2. Jeżeli funkcje f(x,y) oraz g(x,y) są całkowalne w obszarze D, to: ∫∫(D) [f(x,y)+g(x,y)]dxdy=∫∫(D) f(x,y)dxdy+∫∫(D) g(x,y)dxdy. 3. Jeżeli obszar D podzielimy na dwa obszary D1 i D2, gdzie D1 i D2 są obszarami mającymi tylko wspólny brzeg, to: ∫∫(D) f(x,y)dxdy=∫∫(D1) f(x,y)dxdy+∫∫(D2) f(x,y)dxdy. 4. Jeżeli dla każdego (x,y)eD: f(x,y)≤g(x,y), to: ∫∫(D) f(x,y)dxdy≤∫∫(D) g(x,y)dxdy. 5. Jeżeli f(x,y) jest funkcją całkowalną w obszerze D, to: m*S≤∫∫(D) f(x,y)dxdy≤M*S, gdzie: S pole obszaru D, m= inf (x,y)eD f(x,y), M= sup (x,y)eD f(x,y). Ostatnią nierówność można zapisać nastepująco: $m \leq \frac{\iint_{D}^{\ }{f\left( x,y \right)\text{dxdy}}}{s} \leq M$. Liczbę zśr. Naz. wartością średnią funkcji z=f(x,y) w obszarze D. TWIERDZENIE O WARTOŚCI ŚREDNIEJ DLA CAŁKI PODWÓJNEJ: Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła w obszarze domkniętym D, to
w obszarze tym istnieje taki punkt P0 należący do D, że ∫∫(D) f(x,y)dxdy=f(P0)*S. OBLICZANIE CAŁKI PODWÓJNEJ W OBSZARZE NORMALNYM ZA POMOCĄ CAŁKI ITEROWANEJ: Całkę postaci ∫ab[∫g(x)h(x)f(x,y)dy]dx naz. całką iterowaną w obszarze: D={(x,y)eR^2: (a≤x≤b) /\(g(x)≤y≤h(x))} normalnym względem osi OX. Całkę postaci ∫cd[∫p(y)q(y)f(x,y)dx]dy naz. całką iterowaną w obszarze: D={(x,y)eR^2: (p(y)≤x≤q(y)) /\(c≤y≤d)} normalnym względem osi OY. TWIERDZENIE O ZAMIANIE CAŁKI PODWÓJNEJ NA CAŁKĘ ITEROWANĄ: Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła i ograniczona w obszarze normalnym względem osi OX: D={(x,y)eR^2: (a≤x≤b) /\(g(x)≤y≤h(x))} to: ∬D f(x,y)dxdy = ∫ab[∫g(x)h(x)f(x,y)dy]dx. Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła i ograniczona w obszarze normalnym względem osi OY: D={(x,y)eR^2: (p(y)≤x≤q(y)) /\(c≤y≤d)} to: ∬D f(x,y)dxdy = ∫cd[∫p(y)q(y)f(x,y)dx]dy. Z twierdzenia tego wynika, że jeżeli obszar D jest normalny względem obu osi układu współrzędnych OX i OY, to wartość całki podwójnej nie zależy od kolejności całkowania. ∬D f(x,y)dxdy = ∫ab[∫g(x)h(x)f(x,y)dy]dx = ∫cd[∫p(y)q(y)f(x,y)dx]dy.