2. TWIERDZENIE O FUNKCJI UWIKŁANEJ

Twierdzenie:

Niech f : Rⁿx R^m → R^m będzie klasy C^k,  k ≥ 1,  f(x₀,y₀) = ω₀. (*)Istnieje (lokalnie) funkcja g(x,ω) = y taka, że f(x,g(x,ω)) = ω. g jest klasy C^k.

f(x,y) = ω → y = g(x,ω)

ω = 0,  f(x,y) = 0 → y = g(x)

(*) -> Załóżmy, że $\text{rank}\frac{\text{δf}}{\text{δy}}\left( x_{0},y_{0} \right) = m$

Dowód:

Twierdzenie opiera się o zalozenie, żeF jest lokalnym dyfeomorfizmem, a wiec rankDF(x₀,y₀) = n + m, a więc istnieje funkcja odwrotna do F.

Pochodna Funkcji Uwikłanej: (różniczkowanie funkcji zadanej w sposób uwikłany)

$$\text{Dg}\left( x \right) = \ - \left( \frac{\text{δf}}{\text{δy}}\left( x,g\left( x \right) \right) \right)^{- 1}*\frac{\text{δf}}{\text{δx}}(x,g\left( x \right))$$

Przykład:

f : x₁y₁ − x₂y₂ = 0 ; x₂y₁ + x₁y₂ = 2; f : R²xR² → R² → m = 2

f(x,y) = (x₁y₁−x₂y₂,   x₂y₁+x₁y₂−2)

$$y = g\left( x \right),\ \ \frac{\text{δf}\left( x,y \right)}{\text{δy}} = \begin{bmatrix} x_{1} & - x_{2} \\ x_{2} & x_{1} \\ \end{bmatrix},\ det\frac{\text{δf}\left( x,y \right)}{\text{δy}} = x_{1}^{2} + x_{2}^{2} \neq 0\ dla\ x_{1},\ x_{2} \neq 0$$

$$dla\ x \neq 0,\ rank\frac{\text{δf}\left( x,y \right)}{\text{δy}} = \ 2 = m$$

Ponieważ mamy zdefiniowaną funkcję $f\left( x_{0},y_{0} \right) = \omega_{0}\ ,\ \left( \omega = 0 \right),\ a\ \text{rank}\frac{\text{δf}\left( x,y \right)}{\text{δy}} = m$, to z twierdzenia o f. Uwikłanej możemy stwierdzić, że istnieje funkcja g(x,ω) = y, taka że f(x,g(x,ω)) = ω (=0)

W tym momencie można też wyliczyć pochodną funkcji uwikłanej.