Piotr LUDWIKOWSKI
2008/2009 Fizyka	15 kwietnia 2009
Środa, 17:15	dr I. Mróz

BADANIE ZJAWISKA REZONANSU MECHANICZNEGO

Wahadło pobudzone do drgań poprzez ręczne wychylenie z położenia równowagi (bez włączania silnika):

Lp.	czas 20 drgań/s	okres T0/s	częstotliwość f0/s^-1	częstość kołowa ω0/s^-1
1	22,0	1,10	0,909	5,71
2	21,6	1,08	0,926	5,82
3	21,5	1,08	0,926	5,84
4	21,1	1,06	0,943	5,96
5	21,7	1,09	0,917	5,79

Wahadło pobudzone do drgań poprzez włączenie silnika (źródło siły wymuszającej):

Lp.	czas 20 drgań	okres T/s	częstotliwość f/s^-1	częstość kołowa ω/s^-1
1	21,915	1,096	0,913	5,734
2	21,941	1,097	0,912	5,727
3	21,952	1,098	0,911	5,724
4	21,969	1,098	0,910	5,720
5	21,981	1,099	0,910	5,717

Maksymalne wychylenia (amplitudy) wahadła dla 5-ciu częstości ω₂ większych i 5-ciu częstości ω₃ mniejszych od częstości rezonansowej (ω):

Lp.	A/m: ω1>ω	czas 10 wahnięć/s	okres T1/s	Ω1/s^-1
1	2	9,563	0,956	6,570
2	3	9,861	0,986	6,372
3	4	10,092	1,009	6,226
4	7	10,339	1,034	6,077
5	11	10,637	1,064	5,907

Lp.	A/m: ω2<ω	czas 10 wahnięć/s	okres T2/s	ω2/s^-1
1	7	11,440	1,144	5,492
2	5	11,920	1,192	5,271
3	3	12,475	1,248	5,037
4	2	13,092	1,309	4,799
5	2	13,655	1,366	4,601

Uwagi:

Częstość rezonansowa ω, spowodowała maksymalne wychylenie (amplitudę) A_max = 19 jednostek.
Niepewność pomiaru czasu dla wahadła pobudzonego ręcznie do drgań wyniosła 0,2 s, zaś dla drgań spowodowanych włączeniem silnika 0,005 s. Dokładność pomiaru w pierwszym przypadku wynosiła 0,01 s, a w drugim 0,001. Amplitudę zmierzono z dokładnością do 1 podziałki (jednostki); niepewność tego pomiaru to 0,5 podziałki (jednostki).

TEORIA

Ruch harmoniczny prosty odbywa się pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia x:

$$\overrightarrow{F} = k\overrightarrow{x}$$

Zjawisko rezonansu mechanicznego obserwujemy, gdy na układ, który może wykonywać drgania harmoniczne z własną częstością kołową ω₀ działa zewnętrzna siła wymuszająca F_z, zmieniająca się okresowo w czasie. Załóżmy, że siła ta ma postać F_z = F_m sinωt. Wtedy sumę wszystkich sił działających na ciało możemy zapisać w postaci następującego równania:

$$m\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = b\frac{dx}{dt}kx + A_{w}sin(\omega t)$$

gdzie:

b – współczynnik oporu ośrodka,
k  – współczynnik sprężystości,
A_w – amplituda siły wymuszającej;
ω – częstość siły wymuszającej. Rozwiązanie tego równania zależy od warunków początkowych.

Jeżeli siły oporu ośrodka odgrywają istotną rolę, czyli gdy b>0, to amplituda drgań wymuszonych A_w ustala się na poziomie wyznaczonym przez równowagę siły wymuszającej i siły oporu ośrodka. W tym przypadku rozwiązanie ma postać:

$$x = A\sin\left( \omega t - \varphi \right) = \left( \frac{A_{w}}{G} \right)\sin\left( \omega t - \varphi \right),$$

gdzie $G = \sqrt{m^{2}{(\omega^{2} - \omega_{1}^{2})}^{2} + b^{2}\omega}$, ω₁ – częstość drgań własnych układu.

Jeżeli siły oporu ośrodka są bardzo małe, czyli gdy b dąży do zera, to rozwiązaniem naszego równania różniczkowego jest funkcja:

x = A₁sin(ω₁t+θ) + Asin(ωt + φ)

gdzie A₁ i θ zależą od warunków początkowych a ω jest częstością kołową drgań swobodnych Jest to suma dwu nakładających się drgań: drgań własnych z częstością ω₁ i drgań wymuszanych przez siłę zewnętrzną z częstością ω. Jeżeli różnica częstości ω₁ – ω będzie nieduża w porównaniu z ω, to powstaną dudnienia. Częstość dudnień Ω jest równa ω₁ - ω. Gdy ω₁ = ω zachodzi zjawisko rezonansu, czyli amplituda drgań wymuszonych zwiększa się w czasie do nieskończoności i układ zostaje zniszczony.

Tekst na podst. H. Szydłowski, Pracownia fizyczna, oraz http://pracownia.ifd.uni.wroc.pl
(14 kwietnia 2009 r.)

OPRACOWANIE WYNIKÓW:

Sporządzimy wykres zależności amplitudy A od częstości siły wymuszającej ω. W tym celu musimy jednak najpierw policzyć średnią z pięciu pomiarów ω (częstości wymuszającej):

$$\overset{\overline{}}{\omega} = \frac{5,734 + 5,727 + 5,724 + 5,720 + 5,717}{5} \approx 5,725\ \lbrack s^{- 1}\rbrack$$

Następnie zestawimy wartości częstości ω₂ i ω₃ oraz amplitud maksymalnych dla tych częstości w jednej tabeli:

częstość ω/s^-1	amplituda maksymalna/cm
4,601	ω2
4,799
5,037
5,271
5,492
5,725	ω
5,907	ω1
6,077
6,226
6,372
6,570

Jako niepewność pomiaru amplitudy przyjęto ±0,5 podziałki.

Niepewność wyznaczenia częstości policzymy z dokładności pomiaru czasu :

$$\omega = \left| \frac{T}{\overset{\overline{}}{T}} \right| = \left| \frac{0,005}{1,098} \right| \approx 0,0046\ s^{- 1}$$

$\overset{\overline{}}{T}$, jest średnim okresem z pięciu pomiarów zamieszczony w drugiej tabeli na pierwszej stronie.

Takiej niepewności nie można było zaznaczyć na wykresie.

Wróćmy na chwilę do pomiarów częstości ω₀ i ω_. Aby je porównać potrzebujemy wartości średnich z pięciu pomiarów każdej z nich. Wyniosły one odpowiednio:

$$\overset{\overline{}}{\omega_{0}} = \frac{5,71 + 5,82 + 5,84 + 5,96 + 5,79}{5} \approx 5,82\lbrack s^{- 1}\rbrack$$

$$\overset{\overline{}}{\omega} = \frac{5,734 + 5,727 + 5,724 + 5,720 + 5,717}{5} \approx 5,725\ \lbrack s^{- 1}\rbrack$$

Wartości te powinny być zbliżone. Sprawdźmy to:

$$\frac{\overset{\overline{}}{\omega_{0}} - \overset{\overline{}}{\omega}}{\overset{\overline{}}{\omega_{0}}} = \frac{5,82 - 5,725}{5,82} \approx 0,02$$

Widzimy zatem, że obie wartości różnią się o 2%.

WNIOSKI:

W opisanym wyżej doświadczeniu miałem możliwość zbadać zjawisko rezonansu mechanicznego. Podczas wykonywania eksperymentu wyznaczyłem częstotliwość rezonansową ω. Jej wartość wyniosła ω = 5,725 s^-1, u(ω) = 0,005 s^-1. Nie należy jednak rozumieć ω jako częstotliwości, przy której amplituda rośnie do nieskończoności, bowiem w doświadczeniu obserwujemy drgania tłumione. Tłumienia powstają za sprawą dudnień, które można bardzo dobrze zaobserwować podczas wykonywania eksperymentu.

Wartości ω i ω₀ różnią się o 2%, co moim zdaniem jest wynikiem zadowalającym.