1. Człon inercyjny I rzędu

Dany jest układ członu inercyjnego I rzędu o danych k=1 oraz T=100

Ponieważ transmitancja operatorowa takiego układu wynosi $G\left( s \right) = \frac{k}{1 + sT}\ $ a jednocześnie $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)}$ to można napisać:

Y(s) • (1+sT) = k • X(s)

Y(s) + sT • Y(s) = k • X(s)

Po przekształceniach oraz zastosowanie przekształceń Laplace’a otrzymujemy:

$$y\left( t \right) + \frac{dy(t)}{d(t)} \bullet T = k \bullet x(t)$$

Co po przekształceniach arytmetycznych daje nam:

$$\frac{dy(t)}{\text{dt}} = - \frac{1}{T} \bullet y\left( t \right) + \frac{k}{T} \bullet x(t)$$

Podstawiając:

$$A = \frac{1}{T}\ $$

oraz

$$B = \frac{k}{T}$$

równanie przyjmie postać:

$$\frac{dy(t)}{\text{dt}} = - A \bullet y\left( t \right) + B \bullet x(t)$$

Po podstawieniu do wzoru danych wartości otrzymujemy:

$$\frac{dy(t)}{\text{dt}} = - 0,01 \bullet y\left( t \right) + 0,01 \bullet x(t)$$

Model analogowy równania przedstawia rysunek poniżej:

1. Zadanie do rozwiązania.

k=5

T=50

$G\left( s \right) = \frac{k}{1 + sT}\ $ i $G\left( s \right) = \frac{Y(s)}{X(s)}$ to można napisać:

Y(s) • (1+sT) = k • X(s)

Y(s) + sT • Y(s) = k • X(s)

Po przekształceniach oraz zastosowanie przekształceń Laplace’a otrzymujemy:

$$y\left( t \right) + \frac{dy(t)}{d(t)} \bullet T = k \bullet x(t)$$

Co po przekształceniach arytmetycznych daje nam:

$$\frac{dy(t)}{\text{dt}} = - \frac{1}{T} \bullet y\left( t \right) + \frac{k}{T} \bullet x(t)$$

Podstawiając:

$$A = \frac{1}{T} = \frac{1}{50} = 0,02$$

oraz

$$B = \frac{k}{T} = \frac{5}{50} = 0,1$$

równanie przyjmie postać:

$$\frac{dy(t)}{\text{dt}} = - A \bullet y\left( t \right) + B \bullet x(t)$$

Po podstawieniu do wzoru danych wartości otrzymujemy:

$$\frac{dy(t)}{\text{dt}} = - 0,02 \bullet y\left( t \right) + 0,1 \bullet x(t)$$

1. Układ oscylacyjny:

Zamodelować układ oscylacyjny opisany transmitancją operatorową G(s) i wyznaczyć jego odpowiedź na wymuszenie x(t) = 1(t).

$$G\left( s \right) = \frac{k \bullet {\omega_{0}}^{2}}{s^{2} + 2 \bullet \xi \bullet \omega_{0} \bullet s + {\omega_{0}}^{2}}$$

Dane:

ω₀=1

ξ=0,2

k=10

ROZWIĄZANIE

$$\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} + 2 \bullet \xi \bullet \omega_{0} \bullet \frac{dy(t)}{\text{dt}} + {\omega_{0}}^{2} \bullet y\left( t \right) = k \bullet {\omega_{0}}^{2} \bullet x(t)$$

Wyznaczając najwyższą pochodną, równanie przyjmie postać:

$$\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} = - 2 \bullet \xi \bullet \omega_{0} \bullet \frac{dy(t)}{\text{dt}} - {\omega_{0}}^{2} \bullet y\left( t \right) + k \bullet {\omega_{0}}^{2} \bullet x(t)$$

Podstawiając współczynniki:

A = 2 • ξ • ω₀ = 2 • 0, 2 • 1 = 0, 4

B = ω₀² = 1² = 1

C = k • ω₀² = 10 • 1² = 10

równanie przyjmie postać:

$$\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} = - A \bullet \frac{dy(t)}{\text{dt}} - B \bullet y\left( t \right) + C \bullet x(t)$$

Podstawiając pod wzór dane otrzymujemy:

$$\frac{d^{2}y(t)}{dt^{2}} = - 0,4 \bullet \frac{dy(t)}{\text{dt}} - 1 \bullet y\left( t \right) + 10 \bullet x(t)$$

Schemat układu wygląda następująco: