Temat: Rezonans akustyczny

1. Opis doświadczenia

Opis teoretyczny

Fale mechaniczne powstają w wyniku wychylenia jakiegoś fragmentu ośrodka sprężystego z normalnego położenia, będącego położeniem równowagi, co w następstwie powoduje drgania fragmentu wokół tego położenia. Dzięki sprężystym właściwościom ośrodka drgania te są przekazywane kolejno do coraz dalszych jego części i w ten sposób zaburzenie, inaczej mówiąc fala, przechodzi przez cały ośrodek. Sam ośrodek, jako całość, nie przesuwa się wraz z falą; różne jego części wykonują jedynie drgania w ograniczonych obszarach przestrzeni. Fale przesuwają się ruchem jednostajnym. Energia może być przekazywana za pośrednictwem ruchu falowego na znaczne odległości. Energia fal to kinetyczna i potencjalna energia cząstek materii. Przenoszenie energii odbywa się drogą przekazywania jej kolejno do coraz to dalszych części ośrodka, a nie przez długozasięgowy ruch samej materii. Cechą charakterystyczną fal mechanicznych jest więc to, że przenoszą one energię poprzez materię dzięki przesuwaniu się zaburzenia w tej materii, a nie na skutek postępowego ruchu samej materii.

Do rozchodzenia się fal mechanicznych niezbędny jest ośrodek materialny.

Wielkości opisujące fale:

• okres i częstotliwość

Okres (T) to czas, w jakim cząstka ośrodka, w którym rozchodzi się fala wykonuje jedno pełne drganie (przebywa drogę równą czterem amplitudom). Odwrotność okresu to częstotliwość fali (f);

• amplituda

Amplituda (A) to maksymalne wychylenie cząstki ośrodka z położenia równowagi w czasie, gry przez ośrodek przechodzi fala;

• długość fali

Długość fali (λ ) to droga jaką przebywa fala w czasie jednego okresu; jest to odległość między dwoma cząstkami zachowującymi się identycznie (mającymi tę samą fazę drgań);

	$$\lambda = v*T = \frac{v}{f}$$	(1.1)

• prędkość fali

Prędkość fali ( v) to prędkość rozchodzenia się zaburzenia (prędkość przekazywania energii);

	$$v = \frac{\lambda}{T} = \lambda*f$$	(1.2)

Prędkość fali zależy od właściwości sprężystych ośrodka, w którym dana fala się rozchodzi. Fale o różnych częstotliwościach mogą rozchodzić się w tym samym ośrodku różnymi prędkościami (np. światło czerwone i światło fioletowe rozchodzą się w szkle z różnymi prędkościami).

• promień fali

Promień fali to kierunek rozchodzenia się fali;

• powierzchnia falowa

Powierzchnia falowa to zbiór punktów (cząstek) ośrodka, zachowujących się identycznie i jednakowo odległych od źródła fali;

• czoło fali

Najbardziej odległą od źródła powierzchnię falową stanowi tzw. czoło fali czyli zbiór punktów, do których w danej chwili dociera fala.

Równanie fali:

Rozwiązaniem równania falowego jest opis matematyczny fal.

	$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial y^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial z^{2}} - \frac{1}{V^{2}}*\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = 0$$ u(x,y,z) = ⌀(x, y, z) $$\frac{\partial u}{\partial t}\left( x,y,z,0 \right) = \psi(x,y,z)$$	(1.3)

w którym:

u = u(x, y, z, t) - odchylenie od stanu równowagi w punkcie (x,y,z) w chwili t,

⌀ = ⌀(x, y, z) - wychylenie w chwili początkowej,

ψ = ψ(x, y, z) - prędkość początkowa,

V – prędkość fali, tj. prędkość, z którą unoszona jest pewna faza, np. grzbiet.

W jednowymiarowym przypadku równanie przyjmuje postać:

	$$\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}} = 0$$ u(x,0) = ⌀(x) $$\frac{\partial u}{\partial t}\left( x,0 \right) = \psi(x)$$	(1.4)

Ogólnym rozwiązaniem równania falowego dla drgającej nici jest równanie fali harmonicznej:

	$$y = A\ \sin(\frac{2\text{πt}}{T} - \frac{2\text{πx}}{\lambda} + \varphi)$$	(1.5)

	y = A sin(ωt − kx + φ)	(1.6)

Podział fal ze względu na kierunek drgań:

Gdy ruchy cząstek materii przenoszącej falę są prostopadłe do kierunku rozchodzenia się tej fali, wówczas mamy do czynienia z falą poprzeczną.

Jeżeli cząstki przenoszące falę mechaniczną poruszają się do przodu i do tyłu wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali, wówczas mamy do czynienia z falą podłużną (są nimi np. fale dźwiękowe w ośrodkach gazowych).

Niektóre fale nie są ani wyłącznie poprzeczne, ani wyłącznie podłużne. Niektóre fale zakreślają np. tory eliptyczne.

Można również rozróżniać fale jedno-, dwu- i trójwymiarowe, w zależności od liczby wymiarów niezbędnych do opisu kierunku rozchodzenia się energii.

Fale biegnące i fale stojące:

Fala biegnąca (fala bieżąca) jest to fala, która porusza się – nie jest falą stojącą.

Fala stojąca natomiast to fala, której pozycja w przestrzeni pozostaje niezmienna. Fala stojąca może zostać wytworzona w ośrodku poruszającym się względem obserwatora lub w przypadku interferencji dwóch fal poruszających się w takim samym kierunku, ale mających przeciwne zwroty. Częstotliwości fal stojących nie są dowolne, lecz precyzyjnie określone przez właściwości ośrodka. Noszą one nazwę drgań własnych.

W fali stojącej rozróżniamy charakterystyczne miejsca:

• węzły – punkty w fali stojącej o zerowej amplitudzie drgań

• strzałki – miejsce w fali stojącej o maksymalnej amplitudzie

Prędkość rozchodzenia się fal w powietrzu i zależność v od T powietrza.

Prędkość fali podłużnej w ciele stałym o gęstości ρ i module Younga E wyraża się wzorem:

	$$v = \sqrt{\frac{E}{\rho}}$$	(1.7)

W podłużnej fali nie zachodzi zmiana wymiarów poprzecznych i stosować można prawo Hooke’a:

	$$E = - V\frac{\text{dp}}{\text{dV}}$$	(1.8)

Znak minus wskazuje, że zmiany ciśnienia posiadają przeciwny znak niż zmiany objętości. Ze względu na dużą prędkość rozchodzenia się fal możemy założyć, że zachodzą one adiabatycznie.

	pV^K = constans	(1.9)

Różniczkując i dzieląc przez V^K otrzymamy:

	$$\frac{\text{dp}}{\text{dV}} = - K\frac{p}{V}$$	(1.10)

Stąd:

	E = Kp	(1.11)

Uwzględniając otrzymany związek prędkość fali podłużnej wyrazimy wzorem:

	$$v = \sqrt{\frac{\text{Kp}}{\rho}}$$	(1.12)

Ze wzoru na gęstość stosując równanie Clapeyrona otrzymamy:

	$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{\text{mp}}{\text{Vp}} = \frac{\text{mp}}{\text{nRT}}$$	(1.13)

Ponieważ $\frac{m}{N} = \mu\ $jest masą drobinową, to:

	$$\rho = \frac{\text{μp}}{\text{RT}}$$	(1.14)

Stąd:

	$$v = \sqrt{\frac{\text{KRT}}{\mu}}$$	(1.15)

Stąd wynika, że v fali podłużnej zależy od $\sqrt{T}$ mierzonej w skali Kelwina, gdzie:

 v - prędkość fali;

K - współczynnik adiabaty;

R - stała gazowa;

T - temperatura w skali Kelwina;

μ - masa drobinowa;

	$$T = \frac{1}{\propto} + t$$	(1.16)

	$$v_{0} = \sqrt{\frac{\text{KR}}{\text{μα}}}$$	(1.17)

	$$v = \sqrt{\frac{\text{KR}}{\mu}(\frac{1}{\alpha} + t)}$$	(1.18)

	$$v = \sqrt{\frac{\text{KR}}{\mu}(\frac{1}{\alpha} + \frac{t \propto}{\propto})}$$	(1.19)

	$$v = \sqrt{\frac{\text{KR}(1 + t \propto )}{\mu \propto}}$$	(1.20)

	$$v = v_{0}\sqrt{1 + t \propto}$$	(1.21)

Powyższy wzór określa zależność prędkości fali od temperatury w skali Celsjusza, gdzie:

v - prędkość

v₀ - prędkość fali w temperaturze 0^∘C

t – temperatura w skali Celsjusza

∝ - współczynnik temperaturowy

Prędkość rozchodzenia się fal w powietrzu jest zależna od ciśnienia atmosferycznego i gęstości objętościowej gazu.

Prędkość dźwięku w powietrzu w temperaturze 15^∘C jest równa $340\frac{m}{s}.$

Natężenie dźwięku:

Natężenie dźwięku to miara energii fali akustycznej, której jednostką jest $\frac{W}{m^{2}}$. Jest ona równa średniej wartości strumienia energii akustycznej przepływającego w czasie 1 s przez jednostkowe pole powierzchni (1m² ) zorientowanej prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali.

	P = ∫IdS = I∫dS = IS	(1.22)

Stąd:

	$$I = \frac{P}{S}$$	(1.23)

Dźwięk emitowany przez źródła rzeczywiste ma postać fal kulistych lub jest superpozycją takich fal. Dla punktowego źródła dźwięku emitującego falę kulistą:

	$$I_{(r)} = \frac{P}{4\pi r^{2}}$$	(1.24)

r – odległość od źródła dźwięku

1. Cel i przebieg ćwiczenia

Celem tego ćwiczenia jest wyznaczenie prędkości dźwięku w powietrzu metodą rezonansu akustycznego. Do tego potrzebny nam będzie generator akustyczny podłączony do głośnika umieszczonego na jednym z końców szklanej rury. Po drugiej stronie rury znajduje się ruchomy tłok. Przed rozpoczęciem wykonywania pomiarów należy włączyć generator i ustawić wybraną częstotliwość oraz zanotować temperaturę w pracowni. Po maksymalnym wsunięciu tłoka rozpoczynamy jego powolne wysuwanie z rury, notując przy tym położenia wszystkich strzałek fali stojącej. Pomiar położenia pierwszej i ostatniej strzałki powtarzamy pięciokrotnie. Pomiar powtarzamy dla czterech różnych częstotliwości.

1. Wyniki

Pomiary wykonywane były w temperaturze 23^∘C czyli 296,15 K.

Tabela wyników

Pomiar dla f = 1000 Hz

Położenia strzałek [cm]:

1.	2,2
2.	19,4
3.	37
4.	53,4
5.	70,6
6.	87,5

	1	2	3	4	5
x0[cm]	2,2	2,2	2	1,6	2,3
xn[cm]	105	105,2	104,8	104,9	105

Pomiar dla f = 1800 Hz

Położenia strzałek [cm]:

1.	1,3
2.	11
3.	20,3
4.	30,1
5.	40,6
6.	49
7.	58,5
8.	6,84
9.	79,8
10.	87,8
11.	98
12.	106,9

	1	2	3	4	5
x0[cm]	1,3	1,3	1,1	1	1,3
xn[cm]	106,9	108,3	107,9	107,1	107

Pomiar dla f = 2400 Hz

Położenia strzałek[cm]:

1.	0,4
2.	7,7
3.	15
4.	22,3
5.	29,3
6.	36,5
7.	43,8
8.	51
9.	58
10.	65,5
11.	72,3
12.	79,9
13.	88,3
14.	94
15.	102
16.	109

	1	2	3	4	5
x0[cm]	0,4	0,4	0,3	0,4	0,4
xn[cm]	108,7	108,2	108,1	108	107,9

Pomiar dla f = 3000 Hz

Położenie strzałek [cm]:

1.	6,5
2.	13,4
3.	18,5
4.	24
5.	30
6.	35,2
7.	41,2
8.	47,3
9.	53,4
10.	59
11.	64
12.	69,8
13.	75,8
14.	81,4
15.	87,5
16.	93,6
17.	99,3
18.	104,8
19.	110,4
20.	115,6

	1	2	3	4	5
x0[cm]	6,7	7	6,7	6,3	6,5
xn[cm]	115,6	115,4	115,6	114,9	115

Opracowanie wyników:

Korzystając ze wzoru na średnią arytmetyczną:

	$$x = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}x_{i}$$	(3.1)

uśredniono położenie pierwszej i ostatniej strzałki dla wszystkich czterech częstotliwości. Otrzymane wyniki przedstawia poniższa tabela:

	f = 1000 Hz	f = 1800 Hz	f = 2400 Hz	f = 3000 Hz
x0	2,06 cm	1,2 cm	0,38 cm	6,64 cm
xn	104,98 cm	107,44 cm	108,18 cm	115,3 cm

Następnie obliczamy prędkość fali akustycznej dla każdej z częstotliwości używając do tego wzoru:

	v = λ * f	(3.2)

Wiemy, że odległość między strzałkami jest równa połowie długości fali. Stąd:

	λ = 2l	(3.3)

Gdzie:

	$$l = \frac{x_{n} - x_{0}}{k - 1}$$	(3.4)

k –liczba strzałek powstałych w rurze.

Po podstawieniu danych otrzymujemy następujące prędkości fali akustycznej dla każdego z pomiarów:

f = 1000 Hz	f = 1800 Hz	f = 2400 Hz	f = 3000 Hz
$$v = 514,6\frac{m}{s}$$	$$v = 347,6945\frac{m}{s}$$	$$v = 344,96\frac{m}{s}$$	$$v = 343,1368\frac{m}{s}$$

$$v = 387,5978\frac{m}{s}$$

Rachunek błędów:

Ze wzoru:

	$$S_{x} = \sqrt{\frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(x_{i} - {x)}^{2}}}$$	(3.5)

obliczamy odchylenie standardowe serii pomiarów x₀ ix_n , natomiast niepewność standardową obliczamy ze wzoru:

	$$u\left( x \right) = \frac{S_{x}}{\sqrt{n}}$$	(3.6)

Ostatecznie obliczono błędy prędkości v₁i oraz błąd prędkości średniej metodą różniczki zupełnej.

	$$\left| v \right| = \sum_{i = 1}^{n}{|\frac{\partial v({x_{1,}x_{2},\ldots,x}_{n,})}{\partial x_{i}}}x_{i}|$$	(3.7)

	f = 1000 Hz	f = 1800 Hz	f = 2400 Hz	f = 3000 Hz
Sx0	0,279285	0,141421	0,044721	0,260768
u(x0)	0,1249	0,063246	0,02	0,116619
Sxn	0,148324	0,622896	0,311448	0,331662
u(xn)	0,066332	0,278568	0,139284	0,148324

Prędkość dźwięku w temperaturze 0^∘C.

Wzór na prędkość dźwięku w zależności od temperatury podanej w skali Celsjusza dany jest wzorem v = v₀(1 + t ∝ ).

Stąd możemy wyznaczyć wzór na prędkość dźwięku w temperaturze 0^∘C.

	$$v_{0} = \frac{v}{\sqrt{1 + t \propto}}$$	(3.8)

Podstawiając wynik prędkości dźwięku otrzymany w doświadczeniu i temperaturę powietrza w pracowni t = 24^∘C. wyznaczamy prędkość dźwięku w temperaturze 0^∘C.

	$$v_{0} = 84,68882\frac{m}{s}$$

1. Podsumowanie

Wartość tablicowa prędkości dźwięku w temperaturze 0^∘C wynosi $v_{0} = 387,5978\frac{m}{s}$

W wyniku doświadczenia otrzymałam wynik $v_{0} \approx 386\frac{m}{s}$, tak więc wynik średniej prędkości dźwięku okazał się rozbieżny z tablicową wartością prędkości dźwięku.