Ćw. 5. Rezonans szeregowy w obwodzie prądu przemiennego

Cel ćwiczenia: Zapoznanie się ze zjawiskami występującymi podczas rezonansu w obwodzie prądu zmiennego.

Wstęp teoretyczny

Załóżmy, że kondensator C został naładowany, tak, że na okładkach pojawił się lądunek Q a następnie został włączony szeregowo zgodnie ze schematem przedstawionym na rys. 1. Zgodnie z II prawem Kirchoffa dla obwodu zamkniętego, suma spadków napięć jest równa sumie sił elektromotorycznych i dla obwodu RLC na rys.1.:

, (1)

gdzie – spadek napięcia na oporniku, - spadek napięcia na kondensatorze, - siła elektromotoryczna indukcji cewki.

Rys.1. Szeregowy obwód RLC

Ponieważ , to otrzymujemy:

. (2)

A po przekształceniu:

(3)

Jest to równanie, które przypomina równanie drgań harmonicznych prostych tłumionych, dla ciała zawieszonego na sprężynie. Zatem w obwodzie RLC powstają drgania harmoniczne tłumione, które opisuje równanie:

(4)

gdzie jest amplitudą drgań tłumionych na kondensatorze zaś jest częstością drgań tłumionych i wyraża się wzorem:

, (5) (6)

i jest częstością drgań własnych. Na rys. 2 przedstawiono rozwiązanie Q(t).

Rys.2. Drgania harmoniczne w obwodzie RLC. Niebieska sinusoida – drgania harmoniczne własne o częstotliwości , granatowa – drgania tłumione o częstotliwości ω.

Drgania wymuszone i rezonans.

Jeśli do obwodu RLC zostanie włączone źródło o sile elektromotorycznej ε (rys.3) , to w obwodzie powstaną drgania wymuszone.

Rys. 2.

Można pokazać, że wówczas pomiędzy prądem i napięciem w obwodzie RLC występuje przesunięcie fazowe:

(7)

a zawada , jest dana następującym wzorem:

, (8)

We wzorze (8) w skład oporu R_zast wchodzi również opór cewki R_L:

. (9)

Jak wynika ze wzoru (8), przy częstotliwości siły elektromotorycznej , zwanej częstotliwością rezonansową amplituda prądu jest największa (zawada – najmniejsza):

. (10)

Zatem podczas rezonansu układ RLC zachowuje się tak, jak gdyby składał się tylko z oporu R_zast podczas gdy amplituda prądu osiąga wartość maksymalną (rys.3).

Rys. 3. Amplituda prądu przemiennego w szeregowym obwodzie RLC w funkcji częstotliwości siły elektromotorycznej.

Dzieje się tak, ponieważ podczas rezonansu napięcia na cewce i na kondensatorze mają taką samą amplitudę ale są względem siebie przesunięte o 180 ( przesunięcie fazowe między prądem a napięciem dla obwodu RLC zostało wyjaśnione we wstępie teoretycznym do Ćw. 2). Zatem jak wynika ze wzoru (7), napięcie na wyjściu obwodu RLC ma taką samą fazę jak napięcie na oporze R i siła elektromotoryczna źródła ε.

Jak wynika ze wzorów (8) i (10), im większy opór R tym amplituda prądu w obwodzie RLC jest mniejsza (por. rys. 3).

Część praktyczna

Zestaw przyrządów:

1.Generator funkcyjny JC1642

2. Multimetry cyfrowe SANWA PC 510 (do pomiaru prądu i napięcia przemiennego).

Opis sposobu pomiaru przy użyciu tych mierników został podany przy Ćw. 2 i Ćw.3

3. Oscyloskop Peak Tech 1200

Opis płyty czołowej tego oscyloskopu został podany przy opisie Ćw. 4.

Przebieg ćwiczenia

I. Pomiar zależności prądu przemiennego w funkcji częstotliwości.

1. Połączyć układ według schematu przedstawionego na rys. 4.

Rys.4.Schemat układu połączeń do obserwacji zjawiska rezonansu szeregowego w obwodzie szeregowym RLC

2. Wybrać kombinację elementów RLC według wskazówek prowadzącego, łącząc odpowiednie gniazda R_i , L_i i C_i (i=1,2 lub 3).

3. Zmierzyć przy pomocy omomierza wartości wybranych oporów R_i.

4.W obecności prowadzącego włączyć generator. Ustawić wartość napięcia na wyjściu generatora według wskazówek prowadzącego.

5. Zmierzyć zależność prądu przemiennego od częstotliwości. W tym celu należy najpierw wybrać w panelu SIGNAL przyciskiem WAVEFORM sygnał sinusoidalny (rys.5). Znaleźć częstotliwość rezonansową zmieniając w generatorze funkcyjnym zakresy częstotliwości FREQ BAND w panelu FREQ RANGE. Dokładne ustawienie częstotliwości umożliwia potencjometr FINE. Częstotliwość generowana jest wyświetlana na wyświetlaczu umieszczonym po lewej stronie płyty czołowej generatora. Kolejny wyświetlacz wskazuje wartość amplitudy napięcia wyjściowego.

Rys. 5. Generator funkcyjny JC 1642.

6. Dla częstotliwości rezonansowej zanotować wartość napięcia na wyjściu generatora i zmierzyć napięcie na kondensatorze C_i.

II. Obserwacja zjawiska rezonansu przy pomocy oscyloskopu.

1. Połączyć wyjście X układu pomiarowego do kanału CH1 oscyloskopu a wyjście Y - do kanału CH2 oscyloskopu. Włączyć oscyloskop.

2. Zaobserwować i przerysować przebiegi napięć na wyjściu oporu R (CH1) oraz na wyjściu układu RLC (CH2) dla dowolnej częstotliwości i dla częstotliwości rezonansowej. Należy zauważyć, że zgodnie ze wzorem (7) podczas rezonansu przesunięcie fazowe między prądem a napięciem na całym obwodzie jest równe zeru.

3. Wyłączyć w oscyloskopie generator podstawy czasu. W tym celu należy włączyć przycisk DISPLAY i wybrać opcję XY na panelu wyświetlacza.

4. Zaobserwować i przerysować wykres zależności U_Y=f(U_X) dla dowolnej częstotliwości i dla częstotliwości rezonansowej. Podczas rezonansu, ze względu na brak przesunięcia fazowego między tymi napięciami powinno obserwować się linię prostą. Dla innych częstotliwości – elipsę lub okrąg.

5. Opracowanie wyników

Ad. I

1. Wykreślić zależności I = I(f) i wyznaczyć częstotliwości rezonansowe f_r. Na wykresach zaznaczyć dla wybranych punktów w pobliżu maksimum krzywej prostokąt (krzyżyk) niepewności, uwzględniając dokładność przyrządów. Rodzinę krzywych rezonansowych dla danej wartości pojemności C i różnych oporów R należy wykreślić we wspólnym układzie współrzędnych ze wskazaniem rezystancji tłumiącej.

2. Obliczyć współczynnik dobroci D obwodu dla różnych kombinacji R i C wykorzystując zależność:

(11)

gdzie: U_C - napięcie na kondensatorze podczas rezonansu (zmierzone woltomierzem), U - napięcie zasilające obwód ( na wyświetlaczu generatora).

Ad.II.

1. Narysować przebiegi czasowe napięć na wyjściu oporu R (CH1) oraz na wyjściu układu RLC (CH2) dla dowolnej częstotliwości i dla częstotliwości rezonansowej.

2. Wykreślić zależność U_Y=f(U_X) dla dowolnej częstotliwości i dla częstotliwości rezonansowej.