31. Schrodinger

Położenie cząstki w przestrzeni w danej chwili określone jest w mechanice kwantowej przez zadanie funkcji falowej (tzw. funkcja ). Prawdopodobieństwo dw tego, że cząstka znajduje się w elemencie objętości dv, jest proporcjonalne do i do elementu objętości dV :

dw=

gdzie: jest kwadratem modułu funkcji Symbol oznacza sprzężenie zespolone funkcji . Wielkość jest gęstością prawdopodobieństwa i opisuje prawdopodobieństwo przebywania cząstki w danym punkcie przestrzeni. Intensywność fali de Broglie'a określona jest przez wielość .

Z definicji funkcji wynika warunek normalizacji prawdopodobieństwa

w którym potrójną całką objętościową obliczamy po współrzędnych x, y, z w granicach od do tj. po całej nieskończonej przestrzeni. Warunek normalizacji oznacza, że znalezienie się cząstki gdziekolwiek w przestrzeni stanowi zdarzenie pewne i jego prawdopodobieństwo powinno być równe 1.

Funkcja falowa stanowi podstawową charakterystykę stanu mikroobiektów (atomów, cząsteczek, cząstek elementarnych). Za jej pomocą obliczamy średnią wartość wielkości fizycznej L, charakteryzującej obiekt, który znajduje się w stanie opisywanym przez funkcję falową :

gdzie jest wartością średnią wielkości L

Podstawowe równanie różniczkowe mechaniki kwantowej dla funkcji falowej nazywamy zależnym od czasu równaniem Schrodingera. Określa ono funkcję dla mikrocząsteczek poruszających się w polu sił o energii potencjalnej z prędkością v<<c gdzie c jest prędkością światła w próżni. Równanie Schrodingera ma postać

gdzie jest operatorem Laplace'a, m - masą cząstki, , a h jest stałą Plancka, a jednostką urojoną.

Uzupełnienie równania Schrodingera stanowią warunki, jakie należy nałożyć na funkcję

a) funkcja powinna być skończona, jednoznaczna i ciągła :

b) pochodne powinny być ciągłe

c) funkcja powinna być całkowalna, tzn. całka

powinna być skończona

W przypadku gdy funkcja U nie zależy od czasu rozwiązanie równania Schrodingera z czasem ma postać :

przy czym zależne od współżędnych części funkcji falowej spełnia stacjonarne równanie Schrodingera:

,

gdzie W jest energią cząstki.

Funkcje które spełniają równanie Schrodingera przy zadanej postacie , nazywamy funkcjami własnymi. Istnieją one jedynie dla określonych wartości W, nazywanych wartościami własnymi energii. Zbiór wartości własnych W tworzy widmo energetyczne cząstki. W zależności od postaci funkcji widmo energetyczne cząstki może być dyskretne lub ciągłe. Wyznaczanie wartości własnych i funkcji własnych stanowi najważniejsze zadanie mechaniki kwantowej.

W przypadku, gdy, zależne od czasu równanie Schrodingera ma rozwiązanie w postaci:

Zależność stanu cząstki od czasu opisuje okresowa funkcja czasu, zmieniająca się w częstość kołową określoną przez energię W cząstki. Odpowiada to powiązaniu energii cząstki W z częstością fali de Broglie'a

Jeżeli cząstka znajduje się w określonym stanie energetycznym o energii W = const, to prawdopodobieństwo dw znalezienia jej w elemencie objętości dV nie zależy od czasu . Taki stan cząstki nazywamy stanem stacjonarnym. Atom znajdujący się w stanie stacjonarnym ma stałą energię i nie emituje fal elektromagnetycznych.