WYŻSZA SZKOŁA OFICERSKA SIŁ POWIETRZNYCH

W DĘBLINIE

KATEDRA PŁATOWCA I SILNIKA

WYBOCZENIE PRĘTÓW PROSTYCH

1. WIADOMOŚĆI WSTĘPNE

Wyboczenie to zjawisko gwałtownego przejścia od jednej postaci deformacji - osiowego ściskania pręta do jakościowo innej postaci deformacji - zginania. Zjawisko to powoduje gwałtowną redystrybucję sił wewnętrznych, przez co jest niebezpieczne dla konstrukcji. Zjawisko wyboczenia jest szczególnym przypadkiem szerszej grupy zjawisk określanych jako utrata stateczności konstrukcji.

Teoretycznie, gdy pręt jest idealnie symetryczny, a siła ściskająca idealnie osiowa i centryczna, istnieje dokładnie jeden stan deformacji w którym jest zachowana równowaga. Jeśli uwzględni się wpływ ugięcia na zmianę sił wewnętrznych (efekty drugiego rzędu) to możliwe jest drugie rozwiązanie. Drugie rozwiązanie istnieje tylko wtedy, kiedy siła ściskająca osiąga pewną wartość zwaną siłą krytyczną P_kr.

Moment, kiedy osiągana jest wartość krytyczna obciążenia zwany jest stanem bifurkacji (rozdwojenia), gdyż przy dalej rosnącym obciążeniu konstrukcja może zachować pierwotną postać (osiowe ściskanie), bądź przejść do nowego jakościowo stanu zginania ze ściskaniem.

W rzeczywistych, nieidealnych układach, pręty zawsze mają pewne niedokładności wykonania, siły mogą być ukośne lub obciążać pręty ekscentrycznie. W takiej sytuacji stan giętny pojawia się od początku deformacji. Jednak jego skutek jest niewielki aż do wartości sił zbliżonych do P_kr

Rozwiązanie dla pręta idealnego opisuje asymptotyczne zachowanie pręta rzeczywistego. Stąd dla pręta rzeczywistego obciążonego siłą znacznie mniejszą niż krytyczna można pominąć niebezpieczeństwo wyboczenia.

Zjawisko wyboczenia jest na tyle złożone, że zazwyczaj ograniczamy się do określenia siły krytycznej, przy której mogą istnieć dwa pobliskie stany deformacji: osiowy i giętny.

Dla prętów smukłych - których długość jest znaczna w porównaniu do rozmiarów przekroju - siła krytyczna wywołuje na tyle niewielkie naprężenia osiowe, że nie ma potrzeby rozważania wyjścia poza zakres sprężysty dla pobliskiego stanu giętnego. Mówi się o wyboczeniu sprężystym.

Dla prętów krępych - których długość jest niewielka w stosunku do wymiarów przekroju - siła krytyczna wywołuje naprężenia bliskie granicy plastyczności, więc sąsiednia postać giętna musi być rozpatrywana w zakresie niesprężystym. Wyboczenie jest niesprężyste.

Rozwiązania nie określają jakie będą naprężenia i ugięcia po wyboczeniu - tzw. zachowanie po krytyczne. Z reguły naprężenia po wyboczeniu rosną na tyle, że powodują pojawienie się stref plastycznych, bez względu na to, czy samo wyboczenie miało miejsce w zakresie sprężystym czy też plastycznym.

Obciążenie dopuszczalne oblicza się ze wzoru:

$$\ F_{\text{dop}} = \frac{F_{\text{kr}}}{x_{w}}$$	Fkr - obciążenie krytyczne	(1.1)
	xw – współczynnik bezpieczeństwa

Innym ważnym parametrem ściskanego pręta, ze względu na wyboczenie jest jego długość wyboczeniowa(l_w)

lw = μl	μ - współczynnik zależny od sposobu podparcia (zamocowania pręta) na obu końcach	(1.2)
	l - długość pręta

Smukłość pręta (λ)

$$\lambda = \frac{l_{r}}{i_{\min}}$$	lr - długość wyboczeniowa	(1.3)
	imin - najmniejszy promień bezwładności

Najmniejszy promień bezwładności

$$i_{\min} = \sqrt{\frac{I}{A}}$$	I- najmniejszy główny centralny moment bezwładności przekroju	(1.4)
	A- pole powierzchni przekroju

Dla większości materiałów, smukłością graniczna dla wyboczenia niesprężystego jest

$$\lambda_{\text{gr}} = \pi\sqrt{\frac{E}{R_{n}}}$$	E - współczynnik sprężystości wzdłużnej	(1.5)
	Rn - maksymalne naprężenie, dla którego można przyjąć ważność prawa Hooke’a.

1. WYBOCZENIE PRĘTÓW

Pręt obciążany zwiększającą się siłą ściskającą F, pozostanie prosty dopóki siła ta nie przekroczy wartości krytycznej F_kr. Po przekroczeniu wartości krytycznej siła ta powoduje ugięcie osi pręta zwane wyboczeniem.

Rysunek 1 Schemat obciążenia pręta

Wyboczenie jest jednym z przypadków utraty stateczności, która powoduje niekorzystną zmianę skutków obciążenia pręta. Wartość siły krytycznej F_kr przy wyboczeniu sprężystym pręta można wyprowadzić z równania Eulera. Jeśli moment gnący w pręcie który uległ wyboczeniu uzależnimy od wartości ugięcia M_g = F_krυ to równanie osi ugięcia pręta ma postać:

EIv^″ = −F_krv (2.1)

Stąd,

$v^{''} + \frac{F_{\text{kr}}}{\text{EI}}v = 0$ (2.2)

Rozwiązanie ogólne powyższego równania różniczkowego (jednorodnego) ma postać:

$v\left( x \right) = Asin\sqrt{\frac{F_{\text{kr}}}{\text{EI}}}x + Bcos\sqrt{\frac{F_{\text{kr}}}{\text{EI}}}\text{\ x}$ (2.3)

Stałe całkowania można wyznaczyć z warunków brzegowych:

v (x)|_x = 0 = 0 → B = 0 (2.4.1)

${v\left. \ \left( x \right) \right|}_{x = i} = 0 \rightarrow Asin\sqrt{\frac{F_{\text{kr}}}{\text{EI}}}l = 0$ (2.4.2)

Ciąg sił krytycznych Eulera wyznaczony na mocy 2-giego warunku:

$\sin\sqrt{\frac{F_{\text{kr}}}{\text{EI}}}l = 0 \rightarrow \sqrt{\frac{F_{\text{kr}}}{\text{EI}}} = \pi n\ \ \ \ gdzie\ n = 1,\ 2,\ 3,\ldots\ $ (2.5.1)

Czyli,

$F_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}n^{2}\text{EI}}{l^{2}}\text{\ \ \ \ \ }$ (2.5.2)

Znaczenie praktyczne ma najmniejsza z tych sił odpowiadająca n=1. Dalsze bowiem zwiększanie siły działającej na pręt, który powyboczeniu podlega zginaniu ze ściskaniem, prowadzi do pojawienia się odkształęcń trwałych, stąd:

$F_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}\text{EI}}{l_{r}^{2}}$ (2.6)

Gdzie:

l_r - długość zreukowana, określana zależnością l_r = α • l

W zależności na długość zredukowaną współczynnik α zależy od sposobów zamocowania końców pręta (a więc, od warunków brzegowych). Dzięki czemu nie trzeba rozwiązywać równania osi ugięcia pręta dla każdego rodzaju warunków brzegowych. Dla typowych rodzajów zamocowania wartości współczynnika α zamieszczono w tabeli.

α = 1

Rysunek 2 Wartość współczynnika α dla niektórych typów zamocowań prętów

Dzieląc obustronnie wyrażenie na siłę krytyczną przez przekrój A i wprowadzając zależność na moment bezwładnościI = Ai² (gdzie i – promień bezwładności), otrzymuje się zależność w postaci:

$\frac{F_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}\text{EI}}{l_{r}^{2}A}$ (2.7.1)

Następnie licznik i mianownik prawej strony równania dzielis się przez promień bezwładniośći

$\frac{F_{\text{kr}}}{A} = \frac{\pi^{2}\text{EI}}{l_{r}^{2}A}\ \frac{\frac{1}{i^{2}}}{\frac{1}{i^{2}}}$ (2.7.2)

Jeśli wprowadzimy pojęcie naprężenia krytycznego

$\sigma_{\text{kr}} = \frac{F_{\text{kr}}}{A}$ (2.8)

oraz smukłości pręta zdefiniowanej jako,

$\lambda = \frac{l_{r}}{i} = \frac{l_{r}}{\sqrt{\frac{I}{A}}}$ (2.9)

to otrzymamy wyrażenie na naprężenie krytyczne Eulera.

$\sigma_{\text{kr}} = \frac{\pi^{2}E}{\lambda^{2}}$ (2.10)

Powyższy wzór jest słuszny jeśli,

σ_kr ≤ σ_H    lub gdy   λ > λ_gr

Gdzie:

σ_H - granica proporcjonalności (najwieksza wartość naprężenia, przy której obowiązuje prawo Hooke’a)

λ_gr – smukłość graniczna

W przypadku gdy  λ > λ_gr to zachodzi utrata stateczności pręta, przy ktorej pojawiają się odkształcenia plastyczne; mówimy wówczas o wyboczeniu sprężysto-plastycznym. Nadal jednak naprężenia krytyczne są mniejsze od granicy plastycznościσ_kr < R_e, stąd wniosek, że wyboczenie jest bardziej niebezpieczne niż uplastycznienie pręta.

W przypadku gdy λ < λ_gr to w celu wyznaczenia napręzenia krytycznego, należy posłużyć się zależnościami okreslonymi empirycznie:

Wzorem Tetmajera – Jasińskiego:

σ_kr = a − bλ (2.11.1)

Lub wzorem Johnsona – Ostenfelda:

σ_kr = A − Bλ² (2.11.2)

Gdzie:

a, A, b, B – stałe materiałowe określone doświadczalnie.

Tabela 1 Wartości a, A, b, B w MPa dla typowych materiałów konstrukcyjnych

Materiał	Wzór Tetmajera-Jasińskiego	Wzór Johnsona-Ostenfelda
		a
Stal niskowęglowa	105	310
Stal (0,28–0,37%C)	100	464
Stal niklowa (do 5% Ni)	86	470
Drewno miękkie (świerk)	100	29,3
^1) Wartość w aproksymacji Ostenfeldea wyznacza się z warunku ciągłości krzywej Eulera i krzywej aproksymacyjnej

Kryterium wyboczenia pręta można sformułować następująco;

$F \leq \frac{F_{\text{kr}}}{n_{w}}\ \ \ \ czyli\ \ \ \ F \leq \frac{\pi^{2}\text{EI}}{n_{w}l_{r}^{2}}$ (2.12.1)

lub,

$\sigma \leq \frac{\sigma_{\text{kr}}}{n_{w}}\text{\ \ \ \ czyli\ \ \ \ }\frac{F}{A} \leq \frac{\sigma_{\text{kr}}}{n_{w}}$ (2.12.2)

Gdzie:

n_w – współczynnik bezpieczeństwa ze względu na wyboczenie

Stosowanie tych kryteriów napotyka na problemy związane z faktem, że zależność między od jest opisana wzorem Eulera dla  λ > λ_groraz wzorem Tetmajera-Jasińskiego lub Johnsona-Ostenfelda gdy  λ < λ_gr. Poza tym. Przy bardzo małej smukłości pręta utrata stateczności jest równoznaczna z uplastycznieniem materiału

Rysunek 3 Krzywa Eulera, Johnsona-Ostenfelda, Tetmajera-Jasińskiego

Dlatego też można w obliczeniach inżynierskich stosować tzw. Uproszczone kryterium wyboczenia:

$\sigma \leq \beta k_{c}\text{\ \ \ \ czyli\ \ \ \ }\frac{F}{A} \leq \beta k_{c}$ (2.13)

Gdzie:

k_c – dopuszczalne naprężenie materiału na ściskanie

β – współczynnik zależny od smukłości pręta oraz rodzaju materiału

Tabela 2 Wartość współczynnika β dla niektórych gatunków stali

Materiał	λ
	20
St05 St35 St35x	0,950
18G2 18G2A	0,950

1. PRZYKŁAD 1

Belka ABC, zamocowana przegubowo w punkcie A i podparta prętem BD, przenosi równomiernie rozłożone obciążenie q. Określić na podstawie kryterium wyboczenia średnicę d pręta BD. Dane: q = 31 kN/m, l = 2 m, E = 200000 MPa, σ_H = 200 MPa, współczynnik bezpieczeństwa na wyboczenie n_w = 2.

1. Równanie równowagi dla belki ABC

$\sum_{}^{}{F_{x} = 0;\ \ \ F\cos{60^{o} - R_{\text{Ax}} = 0}}$

$\sum_{}^{}{F_{y} = 0;\ \ - 2ql + R_{\text{Ay}} + \operatorname{Fsin}{60^{o} = 0}}$

$\sum_{}^{}{M_{(A)} = 0;\ \ \ \ 2qll - F\sin{60^{o}l = 0}}$ (3.1)

Stąd,

RAx = 2ql • ctg60^o	(3.2)
RAy = 0
$$F = \frac{2ql}{\sin 60^{o}}$$

1. Kryterium wyboczenia pręta BD

$$F \leq \frac{F_{\text{kr}}}{n_{w}}$$	(3.3)

po zastosowaniu wzoru Eulera

$$\frac{2ql}{\sin 60^{o}} \leq \frac{\pi^{2}\text{EI}}{n_{w}l_{r}^{2}}$$	(3.4)

Gdzie geometryczny moment bezwładności dla przekroju kołowego

$$I = \frac{\text{πd}^{4}}{64}$$	(3.5)

Długość zredukowana (zamocowanie przegubowe obu prętów) równa się długości pręta BD l_r = 2l

Czyli,

$$\frac{2ql}{\sin 60^{o}} \leq \frac{\pi^{2}E\text{πd}^{4}}{64n_{w}l_{r}^{2}}$$	(3.6)

Stąd,

$$d \geq \sqrt[4]{\frac{591\text{gl}^{3}n_{w}}{\pi^{3}E}}\ \ \ \ czyli\ d \geq 8,3cm$$

Przyjmijmy, że średnica d = 8,3cm

1. Smukłość pręta BF

$$\lambda = \frac{l_{r}}{l} = \frac{l_{r}}{\sqrt{\frac{I}{A}}} = \frac{2l}{\sqrt{\frac{\text{πd}^{4}}{64}\frac{4}{\text{πd}^{2}}}} = \frac{8l}{d} = 193$$

1. Smukłość graniczna

$$\lambda_{\text{gr}} = \pi\sqrt{\frac{E}{\sigma_{H}}} = 99$$

Wynik obliczeń d jest poprawny, gdyż λ > λ_gr (siłę F_kr należało wyznaczyć ze wzoru Eulera)

1. PRZYKŁAD 2

Pręt o przekroju prostokątnym utwierdzony dolnym końcem jest obciążony na swobodnym, górnym końcu siłą F. Zaprojektować wymiary pręta na podstawie kryterium wyboczenia. Dane: F = 550 kN, l = 50 cm, stałe materiałowe dla stali węglowej (o zawartości 0,28-0,37% C) a = 463 MPa, b = 3,62 MPa, E = 200000 MPa, λ_gr = 100 oraz n_w = 3.

1. Kryterium wyboczenia pręta

$$F \leq \frac{F_{\text{kr}}}{n_{w}}$$

Ponieważ geometryczny moment bezwładności względem osi y jest mniejszy niż moment bezwładności względem osi z, to utrata stateczności pręta nastąpi w płaszczyźnie xz, a więc kryterium wyboczenia Eulera przyjmie postać;

$$F \leq \frac{\pi^{2}EI_{y}}{n_{w}l_{r}^{2}}$$

Gdzie geometryczny moment bezwładności dla przekroju prostokątnego;

$$I_{y} = \frac{{2h(h)}^{3}}{12} = \frac{h^{4}}{6}$$

Długość zredukowana pręta (zamocowanie sztywne pręta) wynosi;

l_r = αl = 2l

Wówczas,

$$F \leq \frac{\pi^{2}E \bullet h^{4}}{n_{w}\left( 2l \right)^{2} \bullet 6}$$

Stąd,

$$h \geq \sqrt[4]{\frac{{24Fn}_{w}l^{2}}{\pi^{2}E}}$$

Czyli,

h ≥ 4, 7cm

1. Smukłość pręta

$$\lambda = \frac{l_{r}}{l} = \frac{l_{r}}{\sqrt{\frac{I_{y}}{A}}} = \frac{2l}{\sqrt{\frac{h^{4}}{6}\frac{1}{{2h}^{2}}}} = 4\sqrt{3}\frac{1}{h} = 73,7$$

Ponieważ smukłość pręta przy wymiarze h = 4,7cm jest mniejsza od smukłości granicznej λ < λ_gr, to obliczenia należy powtórzyć przy zastosowaniu wzoru Tetmajera-Jasińskiego.

1. Kryterium wyboczenia pręta przy zastosowaniu wzoru Tetmajera-Jasińskiego

$$\sigma \leq \frac{\sigma_{\text{kr}}}{n_{w}}\text{\ \ \ \ czyli\ \ \ }\frac{F}{A} \leq \frac{a - b\lambda}{n_{w}}$$

Po podstawieniu A=2h2, $\lambda = 4\sqrt{3}\frac{1}{h}$, otrzymujemy zależność.

$$\frac{F}{{2h}^{2}} \leq \frac{a - b \bullet 4\sqrt{3}\frac{1}{h}}{n_{w}}$$

Stąd,

$$2ah^{2} - 8b\sqrt{3}lh - n_{w}F \geq 0\ \ \ \ \ D:h \in (0,\ + \infty)$$

Po podstawieniu danych nierówność ma postać,

928h² − 25h − 1, 65 ≥ 0   D : h ∈ (0,   + ∞) 

Stąd,

h ≤ −3, 1cm,  h ≥ 5, 8cm

Po odrzuceniu ujemnego rozwiązania h = 5,8cm

LITERATURA

1. Niezgodziński. M.E.: „Wytrzymałość Materiałów”, PWN, Warszawa 2002 (strony 155-164)

2. Siemieniec. A.: „Wytrzymałość Materiałów – Część I”, Uczelniane Wydawnictwo Naukowo-Dydaktyczne, Kraków 2002 (strony 313-329)