Wydział Budownictwa i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

Teoria Sprężystości i Plastyczności

Teoria płynięcia plastycznego.

Teoria płynięcia plastycznego.

Plastyczność – pojęcie badań matematycznych i fizycznych ciała stałego, oznaczające zdolność materiałów do ulegania nieodwracalnym odkształceniom pod wpływem zewnętrznych sił działających na ten materiał. Nieodwracalne odkształcenia powstają na skutek działania na ciała stałych naprężeń mechanicznych, przekraczających zakres, w którym jest ono zdolne do odkształceń sprężystych i jednocześnie na tyle małe, że nie powodują zniszczenia ciągłości jego struktury. Naprężenie przy którym rozpoczyna się proces plastyczny nazywane jest granicą plastyczności. Do złożonego stanu naprężenia niezbędne jest kryterium uplastycznienia.

Kryterium uplastycznienia (warunek plastyczności) – w wypadku złożonego stanu naprężenia umożliwia określenie czy materiał przekroczy granicę plastyczności.

Moduł Kirchhoffa (G) (moduł odkształcenia postaciowej, moduł sprężystości poprzecznej) – współczynnik uzależniający odkształcenie postaciowe materiału od naprężenia, jakie w nim występuje. Jest to wielkość określająca sprężystość materiału [Pa].

Teoria płynięcia plastycznego jest aktualnie najpowszechniej używanym sposobem opisu materiałów wykazujących cechy plastyczne.

Prawem plastycznego płynięcia nazywamy związek między składowymi tensora przyrostów odkształcenia a składowymi tensora naprężeń, jakie zachodzi w procesach odkształcenia ciał sztywno idealnie plastycznych. Prawa te są formułowane na podstawie założeń, które są przedmiotem nieustannej weryfikacji doświadczalnej. Potrzeba ciągłej weryfikacji wynika stąd, że nie zawsze otrzymuje się pełną zgodność teorii z doświadczeniem. Zgodność ta zależy w znacznym stopniu od rodzaju materiału oraz przeprowadzenia samego doświadczenia.

Powierzchnia płynięcia:

Powierzchnia płynięcia jest geometrycznym przedstawieniem równania opisującego kryterium uplastycznienia. Warunek plastyczności jest warunkiem zależnym od stanu naprężenia:

F(σ_ij) = 0

Powierzchnia plastyczności jest hiperpowierzchnią w przestrzeni sześciu naprężeń. Takiej powierzchni nie można narysować ale można rysować jej przekroje, rzuty bądź przypadki szczególne.

Interpretacja powierzchni plastyczności mówi, że punkt reprezentujący stan naprężeń może być:

1. Wewnątrz powierzchni:

(F(σ_ij)<0) − material jest w stanie sprezystym

1. Na powierzchni:

F(σ_ij) = 0 − moze wystapic proces plastyczny

Punkt reprezentujący stan naprężenia nie może wyjść poza powierzchnię, więc równanie powierzchni plastyczności może być jednocześnie traktowane jako ograniczone dla stanu naprężenia.

W przypadku plastyczności idealnej powierzchnia jest stała. W przypadku materiału ze wzmocnieniem (bądź osłabieniem) równanie powierzchni musi zawierać opis jej ewolucji co geometrycznie odpowiada rozszerzeniu się, przesuwaniu lub kurczeniu powierzchni.

Rozkład tensora prędkości odkształcenia na część sprężystą i plastyczną – równanie płynięcia:

$$\dot{\epsilon_{\text{ij}}} = \dot{e_{\text{ij}}^{e}} + \dot{e_{\text{ij}}^{\text{pl}}}$$

Materiał idealnie sprężysto – plastyczny HMH:

Dla materiału idealnie sprężysto – plastycznego kryterium uplastycznienia jest funkcją jedynie dewiatora naprężenia, więc zachowanie aksjatorów naprężenia i odkształcenia opisuje prawo Hooke’a. Warunek plastyczności może być zapisany następująco:

$$F\left( \sigma_{\text{ij}} \right) = s_{\text{ij}}s_{\text{ij}} - \frac{2}{3}\sigma_{y}^{2} = 0$$

Zachowania plastyczne są formułowane dla dewiatora naprężenia s_ij oraz dewiatora (prędkości) odkształcenia $\dot{\epsilon_{\text{ij}}}$.

Najprostsze równanie płynięcia dla stanów naprężeń będących na powierzchni plastyczności (F(σ_ij) = 0) ma postać:

$$\dot{e_{\text{ij}}^{\text{pl}}} = \lambda s_{\text{ij}}$$

Każda składowa tensora prędkości odkształceń plastycznych jest proporcjonalna do odpowiedniej składowej dewiatora tensora naprężenia. Sama wartość λ może być uważana za mnożnik Lageange’a wynikły z narzucenia ograniczeń na stan naprężenia. Część sprężysta ma postać:

$$\dot{e_{\text{ij}}^{e}} = \frac{1}{2\mu}\dot{s_{\text{ij}}}$$

μ − jest jedna ze stalych Lamego rowna modulowi Kirchoffa

Całkowita wartość prędkości odkształcenia:

$$\dot{e_{\text{ij}}} = \frac{1}{2\mu}\dot{s_{\text{ij}}} + \lambda s_{\text{ij}}$$

Mnożąc obie strony równania przez s_ij otrzymamy:

$$s_{\text{ij}}\dot{e_{\text{ij}}} = \frac{1}{2\mu}\dot{s_{\text{ij}}}s_{\text{ij}} + \lambda s_{\text{ij}}s_{\text{ij}}$$

Ponieważ $\dot{F} = 0$ to $s_{\text{ij}}\dot{s_{\text{ij}}} = 0$, więc dysponując warunkiem plastyczności można wyznaczyć λ jako funkcję $\dot{e_{\text{ij}}}$.

Stowarzyszone prawo płynięcia:

Bardziej ogólnym przypadkiem jest prawo płynięcia:

$$\dot{\epsilon_{\text{ij}}^{\text{pl}}} = \lambda\frac{\text{δF}}{\delta\sigma_{\text{ij}}}$$

F − rownanie powierzchni plastycznosci

Można łatwo wykazać, że HMH jest przypadkiem szczególnym stowarzyszonego prawa płynięcia.

Niestowarzyszone prawo płynięcia:

Definiuję się drugą powierzchnię G(σ_ij) w sposób analogiczny do powierzchni plastyczności. Osiągnięcie stanu plastycznego jest określane poprzez warunek:

F(σ_ij) = 0

Równanie płynięcia opisane jest następująco:

$$\dot{\epsilon_{\text{ij}}^{\text{pl}}} = \lambda\frac{\text{δF}}{\delta\sigma_{\text{ij}}}$$

Czyli ma kierunek prostopadły do powierzchni G(σ_ij).

W efekcie kierunek płynięcia plastycznego $\dot{\epsilon_{\text{ij}}^{\text{pl}}}$ na ogół nie jest prostopadły do powierzchni F(σ_ij).

Bibliografia:

1. Zdzisław Gabryszewski: „Teoria sprężystości i plastyczności”;

Wrocław: Oficyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, 2001

1. Jacek skrzypek: „Plastyczność i pełzanie: teoria, zastosowania, zadania”;

Warszawa: Państwowe wydawnictwo Naukowe, 1986

1. Tadeusz Bednarski: „Mechanika plastycznego płynięcia w zarysie”;

Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1995.