Imię i nazwisko:

Ćwiczenie nr M6

Wyznaczanie współczynnika lepkości metodą Stokesa.

Kierunek i rok:

Ocena

z kolokwium:

.......................................

data .......................

podpis...........................

Ocena

ze sprawozdania:

.......................................

data .......................

podpis...........................

Ocena

końcowa:

.......................................

data .......................

podpis...........................

Nazwisko prowadzącego

zajęcia:

Przepływ płynów

Jednym ze sposobów opisu ruchu płynu jest podzielenie płynu na nieskończenie małe elementy objętości, które możemy nazwać cząstkami płynu, i śledzenie ruchu każdej z tych cząstek. Jest to ogromne zadanie. Musielibyśmy przypisać każdej takiej cząstce współrzędne x, y, z i określić je jako funkcje czasu t. Dla cząstki płynu, która w chwili t₀ znajdowała się w punkcie x₀, y₀, z₀, współrzędne x, y, z w chwili t byłyby okreś1one przez funkcje x(x₀, y₀, z₀, t₀, t), y(x₀, y₀, z₀, t₀, t) i z(x₀, y₀, z₀, t₀, t) służące następnie do opisu płynu. Takie postępowanie, rozwinięte po raz pierwszy przez Josepha Louisa Lagramge’a (1736-1813), jest bezpośrednim uogólnieniem pojęcia mechaniki punktów materialnych.

Istnieje inne podejście, rozwinięte przez Leonharda Eulera (1707—1783), które w większości wypadków jest bardziej wygodne. Rezygnujemy w nim z prób opisania historii każdej cząstki płynu i zamiast tego określamy gęstość i prędkość płynu w każdym punkcie przestrzeni oraz w każdej chwili czasu. Ruch płynu będzie opisywany przez podanie gęstości ρ(x, y, z, t) oraz prędkości v(x, y, z, t) w punkcie (x, y, z) i w czasie t. W ten sposób koncentrujemy naszą uwagę na tym, co się dzieje w pewnym określonym punkcie przestrzeni oraz w pewnym określonym czasie, a nie na tym, co się dzieje z pewną określona cząstką. Jakakolwiek wielkość używana do opisu stanu płynu, na przykład ciśnienie p, będzie miała określoną wartość w każdym punkcie przestrzeni i w każdej chwili czasu. Chociaż przy takim opisie płynu koncentrujemy się na punkcie przestrzeni, a nie na cząstce płynu, to jednak nie możemy pominąć, przynajmniej dla krótkich przedziałów czasu dt, śledzenia samych cząstek. Do cząstek tych przecież, a nie do punktów przestrzeni, stosuje się prawa mechaniki. W celu zrozumienia istoty uproszczeń, które będziemy stosowali, rozważmy na początku pewne ogólne własności.

1. Przepływ być ustalony (laminarny) albo nieustalony. Mówi się, że ruch płynu jest ustalony, kiedy prędkość płynu v jest w dowolnie wybranym punkcie stała w czasie. Oznacza to, że w dowolnym punkcie przepływu ustalonego prędkość każdej przechodzącej przez ten punkt cząstki płynu jest zawsze taka sama. W pewnym innym punkcie cząstka może poruszać się z inną prędkością, ale każda następna cząstka przechodząca przez ten drugi punkt zachowuje się w nim zupełnie tak samo, jak zachowywała się cząstka pierwsza.

Warunki takie mogą być osiągnięte przy niskich prędkościach przepływu; przykładem takiego ruchu jest łagodnie płynący strumyk. W przepływie nieustalonym, zachodzącym na przykład w ujściach rzek podczas przypływu morskiego, prędkości v są funkcją czasu. W przypadku przepływu turbulentnego, jaki powstaje w wodospadach, prędkości zmieniają się bezładnie od punktu do punktu, a także w miarę upływu czasu.

2. Przepływ może być wirowy lub bezwirowy. Przepływ jest bezwirowy wtedy, gdy w żadnym punkcie element płynu nie ma względem tego punktu wypadkowej prędkości kątowej. Możemy sobie wyobrazić małe kółko z łopatkami zanurzone w poruszającym się płynie. Ruch płynu jest bezwirowy, gdy kółko nie obraca się podczas ruchu; w przeciwnym razie ruch jest wirowy. Ruch różnego rodzaju wirów jest przepływem wirowym.

3. Przepływ może być ściśliwy lub nieściśliwy. Zazwyczaj można przyjmować, że przepływ cieczy jest nieściśliwy. Jednak nawet bardzo ściś1iwy gaz może czasami podlegać nieistotnym zmianom gęstości. Przepływ jego jest wtedy praktycznie biorąc nieściśliwy. Takim przykładem prawie nieściśliwego przepływu jest ruch powietrza względem skrzydeł samolotu, podczas lotu z prędkością dużo mniejszą od prędkości głosu w powietrzu. W takich wypadkach gęstość jest stała, niezależna od x, y, z oraz t, i w związku z tym matematyczny opis przepływu jest znacznie uproszczony.

4.Wreszcie przepływ może być lepki lub nielepki. Lepkość w ruchu płynów jest odpowiednikiem tarcia w ruchu ciał stałych. W wielu przypadkach, takich jak zagadnienia smarowania, lepkość jest bardzo istotną cechą. Czasem jest jednak do pominięcia. Lepkość wywołuje pojawienie się sił stycznych między warstwami płynu poruszającymi się względem siebie. Wynikiem lepkości są również stopniowe straty (dysypacja) energii mechanicznej.

Przy omawianiu dynamiki płynów ograniczymy się głównie do przepływów ustalonych, bezwirowych, nieściśliwych i nielepkich.

Przepływ laminarny cieczy:

Ruch warstwowy, czyli laminarny – nazwa ta pochodzi stąd, że wyróżnić możemy warstwy cieczy poruszające się z różnymi szybkościami. Chodzi tu zresztą o szybkości niewielkie, a grubość płynącej w ten sposób warstwy cieczy jest rzędu grubości warstwy granicznej. Przykład przepływu laminarnego stanowi ciecz płynąca przez wąską rurkę np. kapilarę. Rozkład szybkości przepływu cieczy w rurce przedstawia rysunek:

Największą szybkość przepływu posiada ciecz płynąca wzdłuż osi rurki, na ściankach szybkość ta spada do zera, gdyż ciecz przylega do ścianek. Między atomami cieczy i naczynia wytworzą się tzw. siły przylegania, które powodują, że ciecz przy ściankach nie porusza się.

Warto zwrócić uwagę na to, że przepływ laminarny cieczy przez rurkę jest przepływem wirowym.

Przepływ turbulentny cieczy:

Gdy wartość liczby Reynoldsa dla przepływu cieczy lepkiej w rurze przekracza 1160, przepływ zmienia swój charakter: z laminarnego staje się turbulentny. Tę zmianę charakteru możemy za Reynoldsem pokazać za pomocą doświadczenia pokazanego niżej:

Do płynącej przez rurę cieczy wprowadzamy za pomocą dodatkowej rurki wąski strumień zabarwionej cieczy. Gdy przepływ jest laminarny, zabarwiony strumień płynie prostolinijnie, gdy zwiększymy szybkość przepływu, po przekroczeniu krytycznej wartości liczby Reynoldsa strumień zabarwionej cieczy staje się nieregularny – tworzą się zagięcia.

Rozkład szybkości przepływu cieczy wzdłuż średnicy rurki ma przy przepływie turbulentnym inny przebieg niż przy przepływie laminarnym, co przedstawia rysunek:

T – przepływ turbulentny, L – przypływ laminarny.

Ruch ciał w płynach.

Zagadnienie oporów, które występują przy ruchu ciał w cieczach i gazach ma duże znaczenie praktyczne, gdyż zjawiska te obserwujemy na co dzień. Wszystkie ciała w naszym otoczeniu poruszają się w powietrzu. Występowanie oporów ruchu w płynach wiąże się z lepkością tych substancji.

W cieczy wytwarza się gradient prędkości: warstwy cieczy, których głębokości różnią się o ∆z mają różnicę prędkości ∆v, przy czym ∆v/∆z = v/d. Sąsiednie warstwy ślizgają się więc po sobie, a przy tym występuje opór. Występowanie oporów przy ruchu względem warstw wewnątrz cieczy nazywamy tarcie wewnętrznym.

Pamiętając, że siła lepkości F_L ma zwrot przeciwny do zwrotu wektora prędkości możemy zapisać wzór:

i_v – wersor prędkości.

Jednostką współczynnika lepkości jest [1N s m^-2 =1kg m^-1 s^-1] (w starszych podręcznikach spotyka jest jednostkę: [1 puaz = 10^-1 kg m^-1s^-1]).

Na ciało poruszające się w płynie z prędkością v działa ze strony płynu siła F_C, którą możemy rozłożyć na składowe: siłę oporu czołowego F_o = -i_vF_o skierowaną przeciwnie do wektora prędkości v oraz siłę nośną F_N prostopadłą do wektora v. Będziemy się obecnie zajmowali tylko siłą oporu czołowego F_o. Zamiast napisać gotowy wzór na siłę F_osporóbujemy odgadnąć ten postać tego wzoru na podstawie ogólnych rozważań. Wymieńmy więc najpierw czynniki, od których może zależeć siła F_o: właściwości fizyczne płynu, a więc jego gęstość ς i współczynnik lepkości η, prędkość ciała względem płynu v, a także wielkość ciała, którą można scharakteryzować przez jego wymiary liniowe l w kierunku prostopadłym do v (np. długość, promień). Z wymienionych wielkości można utworzyć tylko jedną wielkość bezwymiarową: jest nią iloraz vlς /η zwany liczbą Reynoldsa i oznaczony przez Re:

Wzór na siłę można więc przedstawić w postaci następującej:

gdzie: k = k(Re) jest pewną funkcją liczby Reynoldsa, Re. Wykładniki potęg we wzorze na siłę można ze sobą powiązać uwzględniając wymiary występujących tam wielkości fizycznych. Okazuje się, że wzór należy przepisać w postaci:

gdzie występuje nieznana funkcja liczby Reynoldsa, Re.

Wzór na siłę oporu czołowego przy ruchu ciał w płynach zapisuje się najczęściej w postaci zwanej wzorem Newtona:

S – powierzchnia rzutu ciała na płaszczyznę prostopadłą do wektora prędkości v,

C – bezwymiarowy współczynnik zależny od kształtu ciała, jego orientacji względem płynu oraz od liczby Reynoldsa: C = f(Re).

Wartość współczynnika C wyznacza się doświadczalnie, tylko w bardzo szczególnych przypadkach, można ją znaleźć z rozważań teoretycznych.

Rozważmy tu dokładniej ruch w płynie ciała o kształcie kulistym. W 1851 roku G.Stokes znalazł teoretyczne rozwiązanie tego zagadnienia w przypadku bardzo małych liczb Reynoldsa, Re <<1, stwierdzając, że C = 24/Re. Ponieważ dla kuli mamy S = πr² oraz l = 2r, możemy przepisać wzór Newtona następująco:

Wzór ten nosi nazwę wzoru Stokesa. Porównanie z doświadczeniem pokazuje, że jest to wzór przybliżony (błąd wynosi około 5%). Lepsze przybliżenie daje wzór:

Współczynnik C oporu czołowego dla kuli jest obecnie znany na podstawie doświadczeń w bardzo szerokim zakresie liczb Reynoldsa. Współczynnik C maleje ze wzrostem Re, początkowo zgodnie ze wzorem Stokesa, następnie coraz wolniej, a począwszy od Re ≈ 10³ do około Re ≈ 10⁵ jest stały i wynosi około 0,45. oznacza to, że w tym zakresie liczb Reynoldsa siła oporu czołowego zależy od kwadratu prędkości ciała. Ta zmienność współczynnika C, a więc i siły oporu czołowego jest związana z liczbą Reynoldsa, z tym, że przy małych liczba Re siła oporu czołowego zależy głównie od lepkości płynu, natomiast przy dużych wartościach Re istotną rolę zaczyna odgrywać bezwładność płynu. Zależność współczynnika C oporu czołowego od liczby Reynoldsa można przedstawić empirycznym wzorem:

Wartość stałej A i wykładnika x są różne w różnych zakresach Re.

Ruch kuli w płynie przy Re<<1.

W tym przypadku siła oporu czołowego zgodnie ze wzorem Stokesa, jest proporcjonalna do pierwszej potęgi prędkości kuli:

gdzie:

Przyjmijmy, że kula spada w płynie pod wpływem siły ciężkości. W tym wypadku zatem siłą zewnętrzną F działającą na kulę jest różnica ciężaru kuli i siły wyporu (siły Archimedesa):

m – masa kuli, m_p– masa płynu o objętości równej objętości kuli.

Równanie ruchu kuli będzie więc miało postać:

Siły F i F₀ są skierowane wzdłuż jednej prostej (kierunku pionowego), możemy więc przepisać równanie ruchu w postaci skalarnej:

Możemy teraz scałkować to równanie, aby znaleźć zależność prędkości kuli v od czasu t. Przepiszmy więc równanie w postaci:

i rozdzielmy zmienne v i t:

Niech w chwili t₀ prędkość kuli wynosi v₀. całkując powyższe równanie otrzymamy:

czyli:

ostatecznie więc otrzymujemy zależność prędkości od czasu w postaci:

Wyrażenie:

maleje w czasie, a więc dla dostatecznie długiego czasu t jest on zaniedbywalnie mały i prędkość kuli osiąga wartość graniczną:

która nie zależy od prędkości początkowej v₀.

Korzystając z wcześniej wprowadzonych wzorów możemy prędkość graniczną przedstawić w postaci:

lub też, uwzględniając fakt, że:

ρ – gęstość kuli,

ρ_p – gęstość płynu, w którym porusza się kula.

Z powyższego wzoru korzysta się przy wielu zagadnieniach praktycznych.

Wszystkie omawiane przeze mnie wzory dotyczą ruchu w płynie o nieograniczonych wymiarach, natomiast przy użyciu ciał w płynie ograniczonym rozmiarami naczynia należy wprowadzić poprawki związane z istnieniem ścianek. Dlatego wzór na prędkość graniczną opadania kuli w płynie przyjmie postać: