PROJEKT

MODEL EKONOMETRYCZNY

Wartość sprzedaży środków czystości (Y) w latach 1990 – 2000, a zależność z 10 potencjalnymi zmiennymi objaśnianymi X₁, X₂, X₃, X₄, X₅, X₆, X₇, X₈, X₉, X_10.

X₁ – zatrudnienie w tys. osób

X₂ - dostawy towarów biurowych w tys. Złotych

X₃ – średnie ceny sprzedawanych towarów

X₄ – powierzchnia sprzedaży w sklepach w tys. m²

X₅ – czas przestoju maszyn

X₆ – wartość maszyn i urządzeń w mln. złotych

X₇ – nakłądy inwestycyjne w mln. złotych

X₈ – wartość zakupionych surowców w mln. złotych

X₉ – nakłady na reklamę

X₁₀ – średni dochód na osobę w tys. złotych

t	Y	X1	X2	X3	X4
1	100	6	20	25	4
2	109	6	20	25	4
3	148	8	21	26	4
4	159	9	21	26	4
5	117	7	21	24	5
6	143	8	21	24	4
7	186	10	23	21	4
8	190	11	23	20	5
9	189	11	24	20	5
10	210	13	25	18	6
Średnie wart.	155,1	8,9	21,9	22,9	4,5
SUMA	1551	89

X5	X6	X7	X8	X9	X10
14	8	12	30	5	2
14	8	12	30	4	1,5
18	12	12	37	4	1,7
18	12	14	40	5	1,7
18	8	10	40	6	1,7
18	8	12	40	5	1,6
24	14	14	52	5	1,5
24	16	12	52	6	1,8
26	16	12	60	5	2
26	18	10	68	7	1,8
20	12	12	44,9	5,2	1,73

_ _ _ _ _

X₁ =8,9 X₂=21,9 X₃=22,9 X₄=4,5 X₅=20

_ _ _ _ _

X₆=12 X₇=12 X₈=44,9 X₉=5,2 X₁₀=1,73

Obliczamy współczynnik korelacji zależności zmiennej objaśnianej Y i potencjalnych zmiennych objaśniających X₁,...X₁₀:

r₁=0,9819 r₄=0,5773 r₇=0,0785 r₁₀=0,113

r₂=0,9312 r₅=0,9499 r₈=0,9273

r₃=0,8107 r₆=0,9508 r₉=0,5053

Zapisujemy wektor współczynników korelacji:

r₀=[0,9819; 0,9312; 0,8107; 0,5773; 0,9499; 0,9508; 0,0785; 0,9273; 0,5053; 0,113]

Obliczamy współczynniki korelacji między potencjalnymi zmiennymi objaśniającymi X₁,...,X₁₀

_{MACIERZ WSPÓŁCZYNNIKÓW KORELACJI MIĘDZY ZMIENNYMI OBJAŚNIJĄCYMI}

	1	0,9622	-0,8609	0,7078	0,9495	0,9565	-0,0715	0,9641	0,6328	0,2239
	0,9622	1	-0,9378	0,7728	0,974	0,9258	-0,1955	0,995	0,6434	0,2727
	-0,8609	-0,9378	1	-0,7898	-0,9006	-0,8124	0,2889	-0,926	-0,7041	-0,2549
R	0,7078	0,7728	-0,7898	1	0,6803	0,6467	-0,7067	0,7886	0,8547	0,4
	0,9495	0,974	-0,9006	0,6803	1	0,9158	-0,0722	0,9696	0,5759	0,2177
	0,9565	0,9258	-0,8124	0,6467	0,9158	1	0	0,9035	0,4977	0,2913
	-0,0715	-0,1955	0,2889	-0,7067	-0,0722	0	1	-0,211	-0,544	-0,283
	0,9641	0,995	-0,9257	0,7886	0,9696	0,9035	-0,2107	1	0,6804	0,255
	0,6328	0,6434	-0,7041	0,8547	0,5759	0,4977	-0,544	0,6804	1	0,3014
	0,2239	0,2727	-0,2549	0,4	0,2177	0,2913	-0,283	0,255	0,3014	1

1. Eliminowanie zmiennych quasi stałych

Wyznaczamy krytyczną wartość współczynnika zmienności:

Ö^*=0,15

Obliczamy odchylenia standardowe poszczególnych zmiennych objaśniających:

S₁= 2,211 S₂=1,640 S₃=2,7368 S₄=0,6708 S₅=4,3818

S₆=3,6878 S₇=1,2649 S₈= 12,0037 S₉=0,8718 S₁₀=0,1676

Następnie obliczamy współczynniki zmienności poszczególnych zmiennych objaśniających:

Ö₁=0,2484 Ö₂=0,0749 Ö₃=0,1195 Ö₄=0,1491 Ö₅=0,2191

Ö₆=0,3073 Ö₇=0,1054 Ö₈=0,2673 Ö₉=0,1677 Ö₁₀=0,0969

Odrzucamy wszystkie zmienne, których współczynnik zmienności jest mniejszy od krytycznego współczynnika zmienności, więc X2, X3, X4, X7, X10 odrzucamy, ponieważ można je uznać za quasi stałe, czyli nie wnoszą istotnych informacji do modelu.

2. Metoda wskaźników pojemności informacyjnej

Za pomocą tej metody wyszukuje się kombinacji zmiennych objaśniających, której wartość wskaźnika integralnej pojemności informacyjnej jest maksymalna.

Pierwszym krokiem jest wypisanie wszystkich kombinacji zmiennych, których jest 2^m-1, a w naszym przypadku m=5, czyli mamy 31 kombinacji.

C₁=X₁ C₂=X₂ C₃=X₃ C₄=X₄ C₅=X₅

C₆=(X₁:X₂) C₇=(X₁:X₃) C₈=(X₁:X₄) C₉=(X₁:X₅) C₁₀=(X₂:X₃)

C₁₁=(X₂:X₄) C₁₂=(X₂:X₅) C₁₃=(X₃:X₄) C₁₄=(X₃:X₅) C₁₅=(X₄:X₅)

C₁₆=(X₁:X₂:X₃) C₁₇=(X₁:X₂:X₄) C₁₈=(X₁:X₂:X₅)

C₁₉=(X₁:X₃:X₄) C₂₀=(X₁:X₃:X₅) C₂₁=(X₁:X₄:X₅)

C₂₂=(X₂:X₃:X₄) C₂₃=(X₂:X₃:X₅) C₂₄=(X₂:X₄:X₅)

C₂₅=(X₃:X₄:X₅) C₂₆=(X₁:X₂:X₃:X₄) C₂₇=(X₁:X₂:X₃:X₅)

C₂₈=(X₁:X₂:X₄:X₅) C₂₉=(X₁:X₃:X₄:X₅) C₃₀=(X₂:X₃:X₄:X₅)

C₃₁=(X₁:X₂:X₃:X₄:X₅)

Następnym krokiem jest wyliczenie poszczególnych wskaźników integralnej pojemności informacyjnej dla danych kombinacji:

H₁=0,9641 H₂=0,9023 H₃=0,9040 H₄=0,8603 H₅=0,2553

H₆=0,9573 H₇=0,9549 H₈=0,9289 H₉=0,7469 H₁₀=0,9429

H₁₁=0,8949 H₁₂=0,7346 H₁₃=0,9268 H₁₄=0,7741 H₁₅=0,6639

H₁₆=0,9614 H₁₇=0,9332 H₁₈=0,8462 H₁₉=0,9462 H₂₀=0,8604

H₂₁=0,807 H₂₂=0,9327 H₂₃=0,8598 H₂₄=0,7922 H₂₅=0,8266

H₂₆=0,9521 H₂₇=0,8971 H₂₈=0,8564 H₂₉=0,8738 H₃₀=0,868

H₃₁=0,896

Największym wskaźnikiem integralnej pojemności informacyjnej jest wskaźnik H1, więc najlepszą kombinacją jest C1=X1. Model ekonometryczny będzie wyglądał następująco:

Ý=a₀+a₁*X₁

SZACOWANIE PARAMETRÓW

3. Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów

Klasyczna metoda najmniejszych kwadratów polega na takim wyznaczeniu parametrów modelu, ażeby suma kwadratów między zaobserwowanymi wartościami zmiennej objaśnianej a odpowiednimi wartościami modelowymi była najmniejsza.

Ý=a+b*X₁

b=16,1

a=11,81

Model będzie ostatecznie wyglądał następująco:

Ý =16,1*X₁+11,81

Obliczenia do tej metody znajdują się w załączniku.

4. Weryfikacja modelu

Weryfikacja modelu ma na celu stwierdzenie czy model dobrze opisuje zjawisko. Weryfikację przeprowadza się na dwóch płaszczyznach:

0. merytorycznej

1. statystycznej

a)

Ý=16,1*X₁+11,81

Dany model pod względem merytorycznym nie ma żadnych uchybień.

b)weryfikacja statystyczna

Dopasowanie modelu wyraża współczynnik determinacji, wskazuje on jaka część ogólnej zaobserwowanej zmienności zmiennej objaśnianej została wyjaśniona przez model ekonometryczny. Przyjmuje on wartości z przedziału <0;1>

Miarą ogólnej zaobserwowanej zmienności zmiennej objaśnianej jest suma kwadratów odchyleń wartości tej zmiennej od jej średniej.

OSK=13160,9

Miarą obserwowanej zmienności zmiennej objaśnianej nie wyjaśnionej przez model jest suma kwadratów odchyleń zmiennej objaśnianej od wartości modelowej.

SKR=491,649

Współczynnik rozbieżności- mierzy tę część zaobserwowanej zmienności, która nie została przez model wyjaśniona. Jest odwrotnością współczynnika determinacji.

WR=SKR/OSK R²=1-WR

WR=0,037 R²=0,963

Współczynnik determinacji jest bliski jeden, więc można uznać, że model pasuje do wyników obserwacji bardzo dobrze.

0. badanie istotności parametrów

t_k=b_k/d_k

b₁=16,1

SKR=491,649

T=10 a=0,1 n-m-1=8

Q=10-2=8

Wyliczamy odchylenie standardowe:

S=7,84

Obliczamy szacunkowy błąd średniej dla X₁:

d₁=7,84*29=227,4

Empiryczna statystyka studenta wynosi:

t₁=16,1/1,72=9,36

Krytyczna wartość statystyki studenta wynosi:

t*=1,86

t₁>t* więc należy przyjąć, że zmienna objaśniana jest istotna dla danego modelu ekonometrycznego.

BADANIE WŁASNOŚCI ODCHYLEŃ LOSOWYCH

E
-8,41
0,59
7,39
2,29
-7,51
2,39
13,19
1,09
0,09
-11,11

5. Badanie symetrii składnika losowego

Hipoteza:

H_o: m/n=1/2

H₁: m/n¹1/2

Sprawdzamy ilość reszt dodatnich i ujemnych:

n=10 liczba wszystkich reszt

m=7 reszty dodatnie

h=3 reszty ujemne

Wyznaczamy

t_emp=8,7

Wyznaczamy ze statystyki t-studenta wartość teoretyczną:

t_teor=1,833

t_emp >t_teor, więc odrzucamy hipotezę H0, czyli badane reszty modelu można uznać za nie symetryczne.

6. Badanie heteroscetastyczności

H₀: s₁²=s₂²

H₁: s₁²>s₂²

n₁=4

n₂=6

s₁²=130,9/2=65,45

s₂²=360,7/4=90,175

F_e=65,45/90,175=0,726

F_a=4,32 dla a=0,10

F_e<F_a więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Ho, czyli należy przyjąć, że nie występuje heteroscetastyczność.

7. Badanie normalności rozkładu

H₀: rozkład normalny

H₁: rozkład nie normalny

Szacuje odchylenie standardowe:

S=7,01 n=10 K₁=1 K₂=5

Przeprowadzamy standaryzację reszt:

e’₁=-1,2 e’₂=0,08 e’₃=1,05 e’₄=0,327 e’₅=-1,07

e’₆=0,341 e’₇=1,882 e’₈=0,155 e’₉=0,013 e’₁₀=-1,585

Porządkujemy reszty od największej do najmniejszej:

-1,585 -1,2 -1,07 0,013 0,08 0,155 0,327 0,341 1,05 1,882

Sprawdzamy, które cele są pełne, a które puste (bez dystrybuant)

[0;0,1) [0,1;0,2) [0,2;0,3) [0,3;0,4) [0,4;0,5) [0,5;0,6) [0,6;0,7) [0,7;0,8)

2 1 0 2 0 1 2 0

[0,8;0,9) [0,9;1]

1. 1

Mamy trzy puste cele, więc K=3

K₁<K<K₂ , więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy Ho, czyli reszty mają rozkład normalny.

VIII. Badanie losowości składnika losowego

H₀: losowe

H₁: nielosowe

A – dodatnie

B - ujemne

a=0,05

Serie: BAAABAAAAB

Z tablicy rozkładu serii odczytujemy K₁ i K₂:

K₁=2

K₂=7

Liczba serii naszego modelu wynosi:

K_e=5

K_e należy do (K₁;K₂), więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, czyli reszty są losowe.

IX. Badanie autokorelacji składnika losowego

Zakładamy hipotezy:

H0: j=0

H1: j>0

a=0,05

n=10

m+1=2

Testowanie statystyką Durbina - Watsona

DW=736,79/491,649=1,5

Następnie odczytujemy z tablic Durbina – Watsona wartości d_l i d_u

d_l=0,879

d_u=1,320 dla a=0,05 i n=10 stopni swobody

DW>d_u , więc nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy H₀, czyli brak autokorelacji składnika losowego w modelu.

WSZYSTKIE TABELE ZNAJDUJĄ SIĘ NA DOŁĄCZONEJ DYSKIETCE W POSTACI ARKUSZA KALKULACYJNEGO EXCEL 97