KAP zadania treningowe 2012

1. Dane jest r-nie:

u =

Niech A=:

a)
, b)
, c)
,

d)
, e)
.

który z układów jest hiperboliczny i dlaczego.

2. Niech A to macierz diagonalizowalna. Pokazać w sposób elementarny, że:

3. Dane jest równanie:

podać rozwiązanie dla t>0.

4. Dane jest nieliniowe równanie skalarne:

Jak długo rozwiązanie pozostanie ciągłe? W którym miejscu pojawi się nieciągłość?

5. Dla równania z zad. 4 rozważ:

1. f(x) =
   

2. f(x) =
   

Podaj rozwiązanie dla czasu t=1/8.

6. Liniowe równanie hiperboliczne:

c>0

zdyskretyzowano wzorem Laxa:

Przypominając sobie wiadomości z MOMPów pokaż, że wzór ten jest warunkowo stabilny.

Napisz równanie zastępcze i na tej podstawie wywnioskuj co stanie się z nieciągłością warunku początkowego (w rozwiązaniu numerycznym).

Porównaj efekt ze schematem upwind (jednostronnym) analizowanym na wykładzie.

7. Dane jest nieliniowe zagadnienie brzegowe. Zaproponuj iteracyjny algorytm rozwiązania tego zagadnienia wykorzystujący metodę kwazilinearyzacji (met. Newtona)

a)

b)

λ(Τ) -znana różniczkowalna funkcja Τ (na przykład λ(Τ) = exp (Τ))

c)

8. Zaproponuj iteracyjny algorytm rozwiązania r-nia Falknera i Skan (teoria warstwy przyściennej) metodą kwazilinearyzacji

9. Dana jest macierz:

A=

Wyznacz wektory i wartości własne tej macierzy.

Czy metoda Jacobiego jest zbieżna dla układu Au=f (podaj dowód wykorzystujący oszacowanie drugiej normy odpowiedniej macierzy). Ile iteracji trzeba wykonać, żeby zredukować błąd rozwiązania 10 razy (w zależności od N czyli rozmiaru macierzy).

A metoda Gaussa-Seidela (podobne ale trudniejsze)?