Nierówności wielomianowe

Nierównością wielomianową n-tego stopnia z jedną niewiadomą nazywamy nierówność postaci:

(*) a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀>0,

lub

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀<0,

lub

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀Ⴓ0,

lub

a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀Ⴃ0.

Przy rozwiązywaniu powyższej nierówności wykorzystujemy zasadę:

• jeżeli pierwiastkami wielomianu: a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + a_n-2x^n-2 + ... + a₃x³ + a₂x² + a₁x + a₀
  są liczby: x₁, x₂, ..., x_k przy czym x₁<x₂<...<x_k, to w każdym z przedziałów:

(-Ⴅ; x₁), (x₁; x₂), ..., (x_k; Ⴅ) wielomian ma stały znak.

 

Aby rozwiązać nierówność wielomianową postaci (*) należy:

1. lewą stronę nierówności rozłożyć na czynniki co najwyżej 2-go stopnia,

2. każdy z czynników przyrównać do zera i wyznaczyć pierwiastki wielomianu (tzn. miejsca zerowe),

3. zaznaczyć pierwiastki na osi liczbowej w kolejności rosnącej,

4. poprowadzić wężyk przechodzący przez kolejne miejsca zerowe według zasady:
   wężyk prowadzimy od prawej do lewej strony osi zaczynając rysowanie z góry jeżeli a_n>0 lub z dołu jeżeli a_n<0.

 

Uwaga: jeżeli pierwiastek jest parzystej krotności to prowadząc wężyk wykonujemy odbicie symetryczne w miejscu danego pierwiastka:

ZADANIE 1

Rozwiąż nierówność: (x - 3)(1 - x)(x + 4)³(2 - x)² > 0.

Rozwiązanie:

Lewa strona nierówności jest rozłożona na czynniki liniowe, zatem wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika:

x - 3 = 0 lub 1 - x = 0 lub (x + 4)³ = 0 lub (2 - x)² = 0

x = 3 lub x = 1 lub x = -4 trzykrotny lub x = 2 dwukrotny.

Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej i prowadzimy wężyk zgodnie z zasadą opisaną powyżej

a_nxⁿ = xთ(-x)თx³თ(-x)² = -x⁷, a_n = -1 < 0

Ponieważ współczynnik a_n przy najwyższej potędze zmiennej x jest ujemny więc wężyk prowadzimy zaczynając z dołu:

Odczytujemy znak dodatni:

(x - 3)(1 - x)(x + 4)³(2 - x)² > 0 მ x ჎ (-Ⴅ; -4) ჈ (1; 2) ჈ (2; 3).

ZADANIE 2

Rozwiąż nierówność: x⁵თ(x⁴ - 8x² - 9)(4 - x⁴)(x² + 6x - 7) Ⴃ 0

Rozwiązanie:
Wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika:

x⁵ = 0 მ x = 0 pięciokrotny,

lub x⁴ - 8x² - 9 =0

podst. x² = z i z Ⴓ 0

z² - 8 z - 9 = 0

၄_z = 64 - 4თ(-9) = 100,

nie spełnia założenia z Ⴓ 0

z podstawienia x² = 9

x = -3 lub x = 3

x⁴ - 8x² - 9 =0 მ x = -3 lub x = 3

lub 4 - x⁴ = 0

(2 - x²)(2 + x²) = 0

2 + x² = 0, x² = -2 nie ma rozwiązań,

4 - x⁴ = 0 მ

lub x² + 6x - 7 = 0

၄ = 36 + 28 = 64

x² + 6x - 7 = 0 მ x = -7 lub x = 1

Zaznaczamy pierwiastki na osi liczbowej, ustalamy znak współczynnika przy najwyższej potędze zmiennej x i prowadzimy wężyk.

a_nxⁿ = x⁵თx⁴თ(-x⁴)თx² = -x¹⁵ , a_n = -1 <0

Odczytujemy znak niedodatni (Ⴃ0)

x⁵თ(x⁴ - 8x² - 9)(4 - x⁴)(x² + 6x - 7) Ⴃ 0 მ x ჎<-7; -3> ჈ <-
; 0> ჈ <1;
> ჈ <3; Ⴅ).

ZADANIE 3

Rozwiąż nierówność: x⁴ + 2x³ - x - 2 < 0

Rozwiązanie:
Rozkładamy lewą stronę nierówności na czynniki metodą grupowania:

x³(x + 2) - (x + 2) < 0

(x + 2)(x³ - 1) < 0

czynnik x³ - 1 = (x - 1)(x² + x + 1) ze wzoru a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b² )

Nierówność ma postać:
(x + 2)(x - 1)(x² + x + 1) < 0
x + 2 = 0 lub x - 1 = 0 lub x² + x + 1 = 0
x = -2 lub x = 1, równanie x² + x + 1 = 0 nie ma pierwiastków (၄<0)

x⁴ + 2x³ - x - 2 < 0 მ x ჎ (-2; 1).

ZADANIE 4

Rozwiąż nierówność: x⁴ - 7x³ + 17x² - 17x + 6 Ⴃ 0

Rozwiązanie:
Rozkładamy lewą stronę nierówności na czynniki odgadując pierwiastek całkowity wśród liczb:

Ⴑ1, Ⴑ2, Ⴑ3, Ⴑ6.

W(1) = 1 - 7 + 17 - 17 + 6 = 7 - 7 = 0 tzn. x = 1 jest pierwiastkiem tzn. wielomian jest podzielny przez dwumian (x - 1)

Po wykonaniu dzielenia:
(x⁴ - 7x³ + 17x² - 17x + 6) : (x - 1) = x³ - 6x² + 11x - 6

Odgadujemy pierwiastki całkowite wielomianu: 
x³ - 6x² + 11x - 6 wśród liczb: Ⴑ1, Ⴑ2, Ⴑ3, Ⴑ6

W(2) = 8 - 24 + 22 - 6 = 30 - 30 = 0 tzn. x = 2 jest pierwiastkiem wielomianu więc wielomian dzieli się przez dwumian x - 2.

Po wykonaniu dzielenia:
(x³ - 6x² + 11x - 6) : (x - 2) = x² - 4x + 3
x⁴ - 7x³ + 17x² - 17x + 6 = (x - 1)( x³ - 6x² + 11x - 6) = (x - 1)(x - 2)( x² - 4x + 3)

Nierówność ma postać:
(x - 1)(x - 2)( x² - 4x + 3) Ⴃ 0

Wyznaczamy miejsca zerowe każdego czynnika:
x - 1 = 0 lub x - 2 = 0 lub x² - 4x + 3 = 0
x = 1 lub x = 2 ၄ = 16 - 12 = 4

lub

x = 1 dwukrotny lub x = 2 lub x = 3

Odczytujemy znak niedodatni: x⁴ - 7x³ + 17x² - 17x + 6 Ⴃ 0 მ x ჎ <2; 3> ჈ {1}.

Nierówności wielomianowe można rozwiązywać również nieco inną metodą.

ZADANIE 5

Rozwiąż nierówność: (x - 3)(x² + x - 2) < 0

Rozwiązanie:

(x - 3)(x² + x - 2) < 0

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji występujących w nawiasach

x - 3 = 0 lub x² + x - 2 = 0

x = 3 lub ၄ = 1 - 4(-2) = 1 + 8 = 9

lub

Mając wyznaczone miejsca zerowe funkcji występujących w nawiasach (funkcji liniowej i funkcji kwadratowej) szkicujemy ich wykresy w jednym układzie współrzędnych.

Na rysunku zaznaczamy znakami „+” i „-„ wzdłuż osi X wartości dodatnie i ujemne narysowanych funkcji.

Aby wartości iloczynu funkcji występującego po prawej stronie nierówności były ujemne, składniki iloczynu muszą mieć przeciwne znaki. Z rysunku możemy odczytać, że wartości funkcji y = x - 3 oraz y = x² + x - 2 maja przeciwne znaki w przedziale (-
;-2), a także w przedziale (1;3). Zatem rozważana nierówność jest spełniona dla x
.

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadania:1 str.44, 3,4,5 str. 45, 1 str. 55 z podręcznika.

---