7. Obliczanie całki potrójnej

Własności całek potrójnych wykorzystane do ich obliczania: obszar całkowania wolno dzielić na części składowe, całka sumy funkcji jest równa sumie całek poszczególnych składników, czynnik stały wolno wytyczyć przed znak całki.

Tw: Jeżeli P: a≤x≤b; e≤y≤d; p≤z≤g to

Całka iterowana

Ω: α₁≤α≤α₂; β₁≤β≤β₂; ν₁≤ν≤ν₂

W całce iterowanej funkcja F(α,β,ν) jest najpierw całkowana względem ν, przy tym α i β traktuje się jako , następnie otrzymany wynik całkuje względem β, a α traktuje się jako . następnie otrzymany wynik całkuje się względem α.

8. Zmiana zmiennych w całce potrójnej

Tw: Jeżeli przekształcenie x=x(u,v,w) y=y(u,v,w) z=z(u,v,w) jest klasy C¹ i wzajemnie jednoznaczne w obszarze Ω oraz jakobian

, to

W przypadku gdy obszar całkowania jest walcem, kulą lub częściom z tych brył wskazane jest zamienić współrzędne prostokątne na współrzędne walcowe:

x=rcosϕ r≥0 y=rsinϕ 0<ϕ≤2∏ z=z -∞<z<∞

Wzór na zamiane zmiennych we współrzędnych walcowych:

9. Całka krzywoliniowa nieskierowana

Dany jest na płaszczyźnie R² łuk zwykły o końcach AB

L=AB o równaniach parametrycznych

l: x=x(t), y=y(t), t∈<t₁,t₂) łuk ten nie ma określonego kierunku.

1)Łuk dzielimy na części l₁,l₂,l₃,…l_n o długościach Δl_i gdzie i=1,2,…,n, ł_n=maxΔl_i - maksymalna długość łuków częściowych, jest to średnia podziału 1≤i≤n jeśli ł_n→0 przy n→∞ podział normalny.

2)Na każdym łuku obieramy punkt pośredni P_i(ξ_i,n_i) oraz tworzymy wartość funkcji w tym punkcie.

3)Tworzymy sumę całkową dla punktów P_i=S_n=Σϕ(ξ_i,n_i)Δl.

Def: Jeżeli dla każdego normalnego podziału łuku l granica ciągu sum całkowych S_n jest właściwa, niezależna od wyboru punktów pośrednich, to taką granicę nazywamy całką krzywoliniową nieskierowaną funkcji ϕ(x,y) po łuku l i oznaczamy

Obliczenie całki krzywoliniowej nieskierowanej:

1)Jeśli l∈R² ma równanie parametryczne l: x=x(t); y=y(t); t∈<t₁,t₂> to

2)Jeśli l∈R³ : l:x=x(t); y=y(t); z=z(t) t∈<t1,t2> to
3)Jeżeli l dany jest równaniem y=f(x), x∈<a,b>