Funkcja produkcyjnego popytu na towaru ξ(ksi)
ξ=(ξ1, ξ2,... ξk) Funkcja ksi wyraża zależność optymalnego popytu x na towary od ceny p towaru wytwarzanego i cen v nakładów.
ξ- ma ciągłe pochodne cząstkowe w otoczeniu każdego punktu (p,v)> Θ-jest jednorodne stopnia zerowgo
Funkcja podaży towaru przyjmuje wartości rzeczywiste nieujemne
Y=f(x)=f [ξ (p,v)]=y (p,v)
Alokacją dopuszczalną nazywamy każdy n°m wymiarowy wektor x=(x1, x2, ..., xm) spełniający warunek:
Alokację x∈F(a) nazywamy optymalną w sensie Pareto (Pareto-optymalną) jeżeli nie istnieje alokacja x∈F(a) taka, że:
Model równowagi rynkowej Arrowa-Hurwicza
Model opisuje zachowanie się grupy handlowców (m handlowców) którzy przybywają z towarami na rynek, aby je sprzedać i za uzyskane w ten sposób pieniądze kupić inne potrzebne im towary.
Zakładamy, że ceny towarów są jednolite na całym rynku.
Wektorem nadmiernego popytu na towary nazywamy wektor
Równanie różniczkowe zwyczajne jest to równanie w którym występują pochodne yI,yII, ...y (n) pewnej nieznanej funkcji y=y(t) W równaniu różniczkowy może też wystąpić szukana funkcja y=y(t) oraz zmienna niezależna t
Warunki początkowe i brzegowe . Problem Cauchiego Chcąc wyznaczyć stała c1,...cn wyst w rozw ogólnym rów n-tego rzędu musimy narzucić na rozw ogólne pewne warunki. Liczba tych warunków musi być równa rzędowi równania n Warunki odnoszące się do jednegoo punktu t0∈I nazywamy warunkami początkowymi. Warunki odnoszące się do więcej niż jednego punktu I nazywamy warunkami brzegowymi.
Twierdzenie (o istnieniu jednoznaczności rozw problemu Cauchiego)
Jeżeli wyst w rów (*) funkcja f traktowana jako funkcja n+1 zmiennych t, y, yI...yn-1 Jest ciągłą i ma ograniczone pochodne cząstkowe
W pewnym obszarze D⊂R n+1 zawierającym punkt (t 0, y0, t10,..y n-10) to istnieje przedział (a,b) oraz określana dla t∈(a,b) dokładnie jedna n-krotnie różniczkowalna w sposób ciągły funkcja y=y(t) spełniająca równanie (*) i warunki początkowe tego równania