Monograficzne opracowanie liczb w klasie pierwszej.
Uczniowie, którzy przychodzą do szkoły w klasie I potrafią liczyć w zakresie 10 lub dalej, nie oznacza to jednak, że rozumieją pojęcie liczby. Nie znają też dokładnie terminów takich jak: „cyfra” i „liczba”.
Kształtowanie u dziecka pojęcia liczby naturalnej jest nadrzędnym celem edukacji matematycznej w klasach I - III.
Poznanie liczb w klasie pierwszej jest podzielone na trzy etapy:
Liczby pierwszej dziesiątki: od 0,1,2, … do 10.
Rozszerzenie numeracji do 20.
Rozszerzenie zakresu liczbowego do 100.
Pojęcie liczby jest pojęciem abstrakcyjnym. Liczba bowiem sama w sobie nie istnieje realnie. Liczba określa pewną ilość lub wielkość. Cyfry są znakami graficznymi służącymi do zapisywania liczb.
Liczbę naturalną należy rozpatrywać w trzech aspektach:
Aspekt kardynalny liczby
Aspekt porządkowy liczby
Aspekt miarowy liczby
Aspekt kardynalny. W tym aspekcie liczba związana jest z liczebnością zbiorów, określa ile elementów ma dany zbiór. W tym ujęciu liczba jest wspólną własnością wszystkich zbiorów między sobą równolicznych. Zbiorom równolicznym przyporządkowuje się tę samą liczbę elementów. Liczba kardynalna odpowiada na pytanie: ile? Ile jest elementów w zbiorze. Na jej określenie używamy liczebników głównych. Zatem, gdy na zajęciach wprowadzamy np. liczbę 5, dobrze jest zgromadzić na stole różne przedmioty pogrupowane po 5. Prosimy dzieci, aby je obejrzały i zastanowiły się: Co wspólnego możemy o nich wszystkich powiedzieć? Uczniowie powinni odpowiedzieć, że ich wspólną cechą jest to, że jest ich 5.
Dla kształtowania pojęcia liczby w aspekcie kardynalnym można stosować takie ćwiczenia jak:
Liczenie przedmiotów. Na przykład na stole jest 5 kasztanów. Do uczniów zwracamy się: Policz, ile ich jest?.
Ćwiczenia manipulacyjne. Układanie przedmiotów, tyle, ile wskazuje liczba, np. pokazujemy uczniom kartonik z cyfrą 5 mówiąc: Ułóż przed sobą tyle patyczków, ile wskazuje ta liczba., oraz inne typu:
- Włóż do każdej pętli po 3 kasztany.
- Wskaż w klasie zbiory dwuelementowe.
- Sprawdź, czy w dwóch zbiorach jest po 6 elementów.
- Włóż do pętli 5 kasztanów, połóż obok pętli kartonik z odpowiednią cyfrą.
Ćwiczenia związane z rysowaniem?, np.
- Zamaluj 4 piłki.
- Obrysuj pętlami po 5 grzybów.
- Narysuj tyle kółek, ile widzisz balonów.
- Narysuj w koszyku tyle jabłek, ile wskazuje cyfra napisana przy koszyku.
Aspekt porządkowy. Liczba w aspekcie porządkowym oznacza miejsce danego elementu w uporządkowanym zbiorze przedmiotów. Wszelkie liczenie, ustawianie po kolei, umieszczanie, itp. wiąże się z aspektem porządkowym liczby naturalnej. Liczba porządkowa mówi, o który z kolei element zbioru chodzi, który z kolei element danego zbioru właśnie rozpatrujemy. Odpowiada na pytanie: który z kolei? Na jej określenie używamy liczebników porządkowych, np. Pomaluj pierwszy koralik na czerwono a szósty na niebiesko.
Pomiędzy aspektem kardynalnym a porządkowym liczby istnieje ścisły związek. Na przykład podczas kolejnego przeliczania żetonów od pierwszego do szóstego należy zwrócić uczniom uwagę, że ważny przy tym przeliczaniu jest ostatni wypowiadany liczebnik, bo on oznacza liczbę kardynalną, czyli szósty ostatni żeton oznacza, że żetonów jest 6. Gdy dziecko liczy kasztany: jeden, dwa, trzy, to choć wypowiada liczebniki główne, to określone nimi liczby mają wyraźny aspekt porządkowy: określają, który z kolei jest dany żeton. Dla kształtowania pojęcia liczby w aspekcie porządkowym można stosować takie ćwiczenia jak:
- Podaj mi trzeci lizak od prawej strony.
- Pomaluj czwartą piłkę w rzędzie licząc od strony lewej.
- Ponumeruj kubeczki, do szóstego od prawej włóż łyżeczkę.
- Pod piątą choinką narysuj grzybka.
- W szóstym pudełku narysuj trzy guziki.
- Stań na trzecim schodku.
- Weź do ręki czwartą od dołu książkę.
Aspekt miarowy. Liczba w aspekcie miarowym określa, ile razy w danej wielkości mieści się wielkość jednostkowa. Wynik pomiaru zależy od wyboru jednostki; przy zmianie jednostki zmienia się wartość liczbowa wyniku, choć wielkość mierzona jest ta sama. Ćwiczenia kształtujące pojęcie liczby w tym aspekcie to np.
- Zmierz przy pomocy ołówka szerokość ławki.
- Zmierz krokami długość klasy.
- Sprawdź ile patyczków potrzeba do zmierzenia długości książki.
- Zmierz długość swojej ręki przy pomocy ołówka.
- Zmierz stopami długość swojego skoku.
Realizując ten aspekt liczby można posłużyć się klockami z zestawu Cuisenaire`a, np. pomiar szerokości zeszytu za pomocą klocka o długości 3 cm (klocek niebieski) można wykonać na dwa sposoby. Pierwszy polega na tym, że bierzemy kilka niebieskich klocków i układamy je na brzegu zeszytu jeden obok drugiego, sprawdzając ile ich się zmieści. Drugi sposób różni się tym, że zamiast kilku niebieskich klocków bierzemy tylko jeden i odkładamy go odpowiednią ilość razy wzdłuż brzegu zeszytu. Następnie możemy do mierzenia posłużyć się klockiem o innej długości, uświadamiając uczniom, że otrzymana w wyniku pomiaru liczba jest inna od poprzedniej, ponieważ zmieniliśmy jednostkę mierzącą lecz przedmiot mierzony pozostał ten sam. Warto też zwrócić uczniom uwagę na fakt, że tego rodzaju pomiary dają nam jedynie wynik przybliżony.
Dopiero synteza tych trzech aspektów może dać prawidłowy obraz liczby rozumianej jako abstrakcyjny obiekt matematyczny. Zadaniem nauczyciela jest więc dążenie do tego, by w umyśle dziecka powstało pojęcie liczby naturalnej jako synteza liczby kardynalnej, liczby porządkowej i liczby będącej wynikiem mierzenia.
W monograficznym opracowaniu liczby powinny wystąpić następujące elementy:
Sposób powstania danej liczby.
Aspekt kardynalny liczby.
Aspekt porządkowy liczby.
Aspekt miarowy liczby.
Nauka pisania cyfry odpowiadającej danej liczbie.
Rozkład liczby na składniki.
Porównywanie nowej liczby z innymi wcześniej poznanymi.
Zastosowanie nowej liczby w rozwiązywaniu zadań matematycznych.
Ponieważ poszczególne aspekty liczb zostały już szerzej omówione. Warto zwrócić jeszcze uwagę na pierwszy z wymienionych etapów wprowadzania nowej liczby ,czyli sposób jej powstania. Powstanie danej liczby może się odbywać przez zwiększenie liczby poprzedniej o 1 lub zmniejszenie liczby następnej o 1. W tym etapie możemy wykorzystać:
Ćwiczenia manipulacyjne, np.
- Do kredek, które masz w pudełku dołóż jeszcze jedną kredkę. Policz, ile masz teraz kredek?
Ćwiczenia typu rysunkowego, np.
- Policz ile jest piłek na tym rysunku. Dorysuj jeszcze jedną piłkę. Ile jest teraz piłek na rysunku?
Ćwiczenia typu słownego, np.
- W autobusie jechało 7 osób. Na przystanku wysiadł jeden pasażer. Ile pasażerów zostało w autobusie?
Ćwiczenia typu symbolicznego ( po wprowadzeniu formuły dodawania i odejmowania ), np.
- Jeżeli do liczby 8 dodasz 1, to ile otrzymasz? Zapisz odpowiednie działanie.
Pojęcie liczby naturalnej kształtujemy zawsze w kontekście działań arytmetycznych: dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz w kontekście rozwiązywania zadań tekstowych
Na szczególną uwagę zasługuje liczba 0. Przykładem traktowania zera jako liczby kardynalnej są ćwiczenia polegające np. na narysowaniu w pętli tyle elementów, ile pokazuje napisana obok liczba, czyli 0. Zbiór oznaczony liczbą 0 jest zbiorem pustym. Nic w nim nie rysujemy. Jednak sformułowanie „zero to znaczy nic” jest błędem, ponieważ zero jest liczbą jak inne i należy traktować 0 jako jedną z liczb naturalnych. Aby dziecko mogło rozumieć zero jako jedną z liczb, konieczne jest takie kierowanie procesem jej poznania, jak ma to miejsce w przypadku pozostałych liczb, a zatem w sytuacji, kiedy czegoś nie ma, na pytanie: ile jest? odpowiadamy; zero, np. zero jabłek, zaś w przypadku zapisywania odpowiedzi do zadania tekstowego nie zapiszemy: w koszyku nic nie zostało, czy w koszyku nie ma jabłek, tylko: W koszyku zostało 0 jabłek.
Pojęcie liczby naturalnej jest kształtowane nie tylko w początkowym etapie kształcenia matematycznego i nie jest zarezerwowane tylko dla klasy pierwszej. W miarę jak zwiększa się zakres liczbowy w następnych etapach edukacji oraz w klasie drugiej, trzeciej, czy nawet w starszych klasach uczeń rozszerza i wzbogaca swoje pojęcie na temat liczb i ich własności.