ESTYMACJA STATYSTYCZNA (duża próba)

W celu zbadania średnich wysokości sumy ubezpieczenia na życie wylosowano potencjalnych klientów firmy ubezpieczeniowej i na podstawie tej próby uzyskano następujące wyniki :

Suma ubezp. (w tyś zł)	L. klientów Ni	Środki przedział. X	Nisk.
10-20	70	15	70
20-30	85	25	155
30-40	110	35	265
40-50	90	45	355
50-60	60	55	415
Razem	415	x	x

1. Zbadaj przeciętny poziom, dyspersje oraz asymetrię w próbie

1. Oblicz średnią arytmetyczną, dominantę, medianę

tyś zł

Najwięcej klientów zadeklarowało sumę ubezpieczenia około 35,56 tyś zł

tyś zł

Połowa klientów zadeklarowała sumę ubezpieczenia powyżej 34,82 tyś zł, a połowa poniżej.

2. Oblicz odchylenie standardowe i współczynnik zmienności

Sumy ubezpieczenia deklarowane przez klientów różnią się średnio od średniej arytmetycznej 12,94 tyś zł.

Odchylenie standardowe stanowi 37,36% średniej arytmetycznej

3. Oblicz współczynnik skośności

Szereg jest zbliżony do symetrycznego (mała skośność ujemna)

2. Przeprowadź estymację średniej arytmetycznej

• Podaj nazwę estymatora szacowanego parametru.

Estymatorem jest średnia z próby

• Podaj właściwości stosowanego estymatora i jego rozkład.

Średnia z próby jest estymatorem zgodnym, nieobciążonym, najbardziej efektywnym

Rozkładem dokładnym jest rozkład t-Studenta, ponieważ jest nieznane odchylenie standardowe populacji. Rozkładem asymptotycznym jest rozkład normalny, więc będziemy z niego korzystać.

• Czym jest estymator (liczbą, zmienną losową)?

Estymator jest zmienną losową

• Oblicz oceny parametrów na podstawie wylosowanej próby.

tyś zł S_x=12,94 tyś zł

• Oblicz błąd standardowy szacunku.

tyś zł

Średnie z prób 415 elementowych różnią się średnio od średniej w populacji o 0,635 tyś zł. Średni błąd jaki będziemy popełniać szacując średnią populacji wynosi 0,635 tyś zł.

• Przeprowadź estymację punktową szacowanego parametru.

Zakładamy, że wartość średniej w populacji jest równa średniej z próby.

tyś zł D_x=0,635 tyś zł

• Załóż wysokość współczynnika ufności.

• Odczytaj z tablic rozkładu estymatora wartość statystyki.

• Oblicz maksymalny błąd szacunku.

tyś zł

Po uwzględnieniu współczynnika ufności maksymalny błąd szacunku wynosi 1,245 tyś zł

• Przeprowadź estymację przedziałową szacowanego parametru.

Przedział ufności budujemy odejmując od oceny z próby maksymalny błąd szacunku (dolna granica) i do oceny z próby dodajemy maksymalny błąd szacunku (górna granica).

Przedział o końcach 33,396 i 35,885 tysięcy zł. ,przy współczynniku ufności

obejmie nieznaną szacowaną średnią wysokość sumy ubezpieczenia w populacji

Zakładając, że powyższa próba jest próbą pilotażową, wyznacz minimalną liczebność próby przy wsp. ufności 0,99 taką, aby maksymalny błąd szacunku był nie większy niż:

• a) 2 tyś. zł. (przedział ufności nie szerszy niż 4 tyś zł.)

Wystarczyło wylosować 278 osób aby z maksymalnym błędem 2 tyś zł oszacować średnią populacji.

• b) 1 tyś. zł. (przedział ufności nie szerszy niż 2 tyś zł.)

Należy wylosować 1115 osób aby z maksymalnym błędem 2 tyś zł oszacować średnią populacji.

3. Oszacuj odsetek osób, które zadeklarowały sumę ubezpieczenia powyżej 50 tyś zl.

4. Oblicz minimalna liczebność próby, taką aby maksymalny błąd szacunku był nie większy niż 2%.

5. Zakładając, że rozkład sumy ubezpieczenia jest zbliżony do normalnego, oblicz wysokość sumy ubezpieczenia powyżej której znajduje się 15% osób.

---