Drgania układu o jednym stopniu swobody

Liczbę współrzędnych koniecznych i wystarczających do wyznaczenia położenia punktu materialnego, układu takich punktów lub ciał nazywamy liczbą stopni swobody.

Układ mechaniczny o jednym stopniu swobody (rys. 20a) jest najprostszym modelem fizycznym reprezen-tującym całą klasę układów rzeczywistych określo-nych czterema parametrami: masą - m, stałą sprężystości - k, współczynnikiem tłumienia - c i siłą wymuszającą - P(t). Na przykładzie takiego modelu wprowadzono pojęcie częstotliwości własnej, określono wpływ tłumienia na drgania układu oraz przeanalizowano jego reakcję na działanie siły wymuszającej.

W rozważanym układzie przyjęto, że przemieszczenie u(t) masy m odmierza się od położenia równowagi. W czasie drgań na masę działają następujące siły (rys. 20b):

P = P (t) - siła wymuszająca drgania układu,

G = m·g - ciężar drgającej masy,

D = -m·ü (t) - siła bezwładności drgającej masy,

S = b·ú(t) - siła tłumienia,

R = c [u(t) + l_s] - reakcja sprężystej więzi,

l_s - statyczne ugięcie układu wywołane ciężarem G = c·l_s.

Warunek równowagi sił można przedstawić w postaci równania:

P+G+D-R-S=0

Po wykorzystaniu poprzednich zależności otrzymano równanie różniczkowe ruchu drgającego układu o jednym stopniu swobody:

P(t) =u cubum⋅+⋅+⋅&&&

Dzieląc obie strony równania przez m i wprowadzając oznaczenia:

ω₀ = √c/m

δ = b/(2*m)

otrzymano:

u** + 2*δ * u* + ω₀² * u =P(t)/ m

Przekształcenie Laplace'a jest operatorem przekształcającym sygnał x(t) na pewną funkcję zespoloną X(s) zgodnie ze wzorem:

Dziedzinę funkcji X(s) (L-transformaty) tworzą te wartości zmiennej zespolonej s, dla których całka we wzorze jest zbieżna.

Transformata Laplace'a zasadnicze zastosowanie to rozwiązywanie równań różniczkowych. Dokładnie rzecz ujmując, dla wielu klas równań różniczkowych zastosowanie transformaty Laplace'a sprowadza problem rozwiązania równania różniczkowego do problemu rozwiązania pewnego liniowego równania algebraicznego.

• Równania różniczkowe zwyczajne
  Najwdzięczniejszym obiektem zastosowań transformacji Laplace'a jest rozwiązywanie równań różniczkowych zwyczajnych o stałych współczynnikach. Równania takie pojawiają się często podczas opisu układów elektrycznych, mechanicznych czy też układów automatyki.

• Równania różniczkowe cząstkowe
  Przekształcenie Laplace'a może być użyte do rozwiązywania niektórych równań różniczkowych cząstkowych. W elektrotechnice sztandarowym przykładem są linie długie - obwody elektryczne, których rozmiary geometryczne powodują opóźnienia istotnie wpływające na zachowanie układu.

• Równania całkowe
  Transformacja Laplace'a ma zastosowanie dla rozwiązywania pewnych klas równań całkowych czy też różniczkowo całkowych. W postaci takiego równania mogą być sformułowane np. równania opisujące linię długą.

• Transmitancja
  Cechą charakterystyczną liniowych obwodów elektrycznych jest fakt, że transformata Laplace'a dowolnego napięcia lub prądu w układzie jest liniowa kombinacją transformat napięć (prądów) wymuszających oraz warunków początkowych występujących na pojemnościach (napięcia) i indukcyjności (prądów). Własność ta jest konsekwencją liniowości równań opisujących obwód oraz niezmienności w czasie parametrów obwodu (wartości pojemności, indukcyjności, oporności itd.). Cecha ta jest własnością nie tylko obwodów elektrycznych. Mają ją np. liczne układy mechaniczne czy układy automatycznego sterowania. Ogólnie układy takie tworzą klasę układów liniowych niezmiennych ze względu na przesunięcia w dziedzinie czasu. Transformatę Laplace'a stosuje się także do badania odpowiedzi impulsowej układu oraz badania stabilności układu.

Warunki Dirichleta - warunki wystarczające aby funkcja okresowa posiadała reprezentację w postaci szeregu Fouriera oraz posiadała transformatę Fouriera. Warunki te były sformułowane przez niemieckiego matematyka Piotra Gustawa Dirichleta.

Twierdzenie

Przypuśćmy, że
jest funkcją okresową o okresie T. Jeśli f spełnia następujące trzy warunki (zwane warunkami Dirichleta):

1. funkcja f jest bezwzględnie całkowalna, tzn.:

,

2. funkcja f w przedziale jednego okresu ma skończoną liczbę maksimów lokalnych i minimów lokalnych,

3. funkcja f w przedziale jednego okresu posiada skończoną liczbę punktów nieciągłości pierwszego rodzaju,

to f ma reprezentację w postaci szeregu Fouriera.

Transformacja Fouriera jest transformacją całkową z dziedziny czasu w dziedzinę częstotliwości. Została nazwana na cześć Jeana Baptiste'a Josepha Fouriera. Transformata jest wynikiem transformacji Fouriera (transformata jest funkcją, a transformacja operacją na funkcji, dającą w wyniku transformatę). Transformacja Fouriera rozkłada funkcję na szereg funkcji okresowych tak, że uzyskana transformata podaje w jaki sposób poszczególne częstotliwości składają się na pierwotną funkcję.

Transformata Fouriera opisana jest wzorem:

gdzie i - jednostka urojona (i² = − 1).

W praktyce, często zmienna x oznacza czas (w sekundach), a argument transformaty ξ  częstotliwość (w Hz=1/s). Funkcja f może być zrekonstruowana z
poprzez transformację odwrotną: