AKADEMIA BYDGOSKA

im. Kazimierza Wielkiego

Wydział Matematyki ,Techniki i Nauk Przyrodniczych

LABORATORIUM FIZYKI

Temat: Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za

pomocą wahadła prostego.

Wykonali:

Marcin Lewandowski

Bartosz Karczewski

BYDGOSZCZ 2003

Spis treści:

1. Część teoretyczna str.3

2. Przebieg ćwiczenia str.5

3. Ocena błędów str.6

1.Część teoretyczna

Wahadło proste jest najlepszym odwzorowaniem wahadła matema­tycznego, którego w praktyce nigdy nie da się zrealizować.

Wahadłem prostym nazywamy mały ciężarek (kulkę) zawieszoną na nierozciągliwej nici. Ciężar nici jest tak ma­ły, że można go pominąć. Zakładamy, że na ruch wahadła nie wpływa opór powietrza. Kulka odchylona o mały kąt od położenia równowagi porusza się ruchem harmonicznym. Można poka­zać, że przy tych założeniach, okres ruchu wahadła zależy tylko od długo­ści nici i przyśpieszenia ziemskiego. Niech długość wahadła będzie L, a masa kulki - m. Przypuśćmy, że wa­hadło jest odchylone o mały (4°) kąt α od pionu (patrz Rys.). Na kulkę działa pionowo siła przyciągania ziemskiego o wartości F= mg . Składowa F₁ siły ciążenia prostopadła do nici jest siłą nadającą ruch wahadłu w kierunku położenia równowagi. Dla małych kątów α :

F₁ = -Fsinα = -mgsinα = - mgα

Znak minus oznacza, że siła F₁ jest skierowana w kierunku prze­ciwnym niż ten, w którym odkłada się dodatnie kąty. Przyspieszenie styczne do toru ciężarka jest równe

α = L

gdzie jest przyspieszeniem kątowym.

Ponieważ składowa F₁ jest siłą przyspieszającą masę, to zgodnie z drugą zasadą dynamiki

F₁ = ma. Mamy więc:

mL = = -mg α, czyli = - α

Jest to równanie różniczkowe określające ruch wahadła matematycz­nego. Ponieważ obie wielkości g i L są dodatnie, to można przyjąć, że ich stosunek równa się kwadratowi pewnej wielkości

= ω²

i równanie różniczkowe przyjmuje postać

= - ω² α

Rozwiązaniem tego równania jest wyrażenie określające ruch harmoniczny

α (t) = Asin(ωt+φ₀)

gdzie:

A - amplituda kąta,

φ₀ - faza początkowa drgania,

ω - częstość kołowa drgania, która wiąże się z okresem T zależnością

ω =

Stąd mamy

T =

czyli

T = 2π√

Z tego wzoru możemy znaleźć wartość przyspieszenia ziemskiego g jeżeli znamy długość wahadła L i okres T

g = 4π² (2)

W przypadku, gdy pomiar długości wahadła jest niemożliwy albo utrudniony, przyspieszenie ziemskie można obliczyć według wzoru

g = 4π² (3)

gdzie:

l₁, l₂ - poziomy zawieszenia kulki przy różnych długościach wahadła,

T₂ ,T₁ - okresy drgań przy odpowiednich długościach wahadła.

2. Przebieg ćwiczenia

1. Ustalamy mniejszą długość wahadła mierząc poziom zawieszenia kulki l₁, wynik zapisujemy w tabeli. Odchylamy kulkę od położenia równowagi o mały kąt i mierzymy stoperem czas trwania m okresów (n = 10÷20). Aby zwiększyć dokładność, pomiary powtarzamy pięciokrotnie. Dane notujemy w tabeli.

2. Zwiększamy długość wahadła mniej więcej o l metr, mierzymy nowy poziom zawieszenia kulki l₁ i mierzymy czas trwania n okresów jak poprzednio. Dane notujemy w tabeli

	Poziom zawieszenia l1 = 10cm | Poziom zawieszenia l2= 91cm
Lp.	Liczba okresów	Czas trwania okresów	Okres T1 i	Średnia wartość okresu	Liczba okresów	Czas trwania okresów	Okres T2 i	Średnia wartość okresu
	n	T		T1śr	n	T		T2śr
	-	[s]	[s]	[s]		[s]	[s]	[s]
1	10	23,56	2,35	2,356	10	29,6	2,96	2,96
2	10	23,6	2,361	2,36	10	29,66	2,958	2,966
3	10	23,6	2,362	2,36	10	29,68	2,962	2,968
4	10	23,6	2,354	2,36	10	29,63	2,962	2,963
5	10	23,57	2,359	2,357	10	29,62	2,963	2,962

Obliczamy okresy drgań T₁ i ,T₂ i dla każdego z pomiarów oraz średnią wartość:

T₁śr =

T₂śr =

Przyspieszenie ziemskie g obliczamy zgodnie ze wzorem (3).

3. Ocena błędów

1. Sprawozdanie powinno zawierać:.

2. Opis ruchu wahadła matematycznego i wyprowadzenie wzorów1-3.

3. Wyniki pomiarów i obliczeń przedstawione w tabeli.

4. Wyznaczoną średnią wartość przyspieszenia ziemskiego.

5. Ocenę błędów:

• przyjęte błędy pomiarów bezpośrednich Δl₁ i Δl₂,

• obliczone błędy ΔT₁śr i ΔT₂śr metodą Studenta - Fishera,

• obliczony metodą różniczki zupełnej błąd bezwzględny Δg i względny Δg /g.

Błędy ΔT₁śr i ΔT₂śr obliczamy metoda Studenta - Fishera

gdzie:

n - ilość pomiarów (w naszym przypadku n = 5),

ˆ

s - odchylenie standardowe, stąd

tα/2 - odczytujemy z tabeli t-Studenta dla k = n - 1 stopni swobody i przyjętego poziomu ufności. Dla poziomu ufności 0.95 i k = 4 wartość tα/2 wynosi 2.78.

5

m

F₂

F= mg

d²α

dt²

d²α

dt²

d²α

dt²

d²α

dt²

g

L

g

L

d²α

dt²

2π

T

2π

ω

L

g

L

T²

l₂ - l₁

T₂ ²- T₁²

1

5

ΣT₁i

5

i=1

1

5

ΣT₂i

5

i=1

---