Cele i rola zadań matematycznych w początkowym nauczaniu matematyki

 

Zadania matematyczne występujące w początkowym nauczaniu matematyki służą różnym celom:

- zadania - ćwiczenia ułatwiają kształtowanie i utrwalanie technik rachunkowych, uczą twórczego posługiwania się poznanymi prawami i własnościami działań arytmetycznych;

- zadania praktyczne ułatwiają sens pojęć i operacji matematycznych, wiążą matematykę z życiem i przygotowują uczniów do rozwiązywania różnych problemów;

-  zadania logiczne - sprzyjają wielostronnej aktywizacji i rozwijania myślenia, skłaniając uczniów do wykonywania wielu operacji myślowych oraz rozumowań logicznych, uczą pomysłowości i oryginalności w podejściu do zadań;

-  zadania tekstowe pozwalają na łączną realizację wszystkich wymienionych celów, stanowią podstawę pracy na edukacji matematycznej zarówno przy wprowadzaniu nowego materiału jak i przy zastosowaniu nabytych wiadomości.[16]

O tym, czym jest rozwiązywanie zadań w nauczaniu matematyki pisze G.Polya: „Nauczanie na lekcjach matematyki rozwiązywania zadań daje znakomitą sposobność do przekazywania pewnych pojęć i kształtowania określonych nawyków myślowych.”[17]

Rozwiązywanie zadań matematycznych ma więc duże walory kształcące, gdyż ułatwia wprowadzanie i konkretyzowanie pojęć matematycznych, pozwalając jednocześnie na wielostronną aktywizację myślenia uczniów. Nie bez znaczenia są też efekty wychowawcze osiągane w trakcie rozwiązywania zadań. Szczególnie doniosłą rolę ma systematyczny wzrost samodzielności uczniów, uczenie się wytrwałości w pokonywaniu trudności. Niektóre zadania matematyczne sprzyjają wzbudzeniu zainteresowania samym procesem poszukiwania rozwiązania dając możliwość przeżycia głębokiego zadowolenia, związanego z osiągnięciem sukcesu. Mogą dostarczać silnych motywacji do czynności rozwiązywania zadań i uczenia się matematyki, a także kształcić zamiłowanie do wysiłku umysłowego.

Czynności nauczycielskie i uczniowskie w toku rozwiązywania zadań matematycznych

 

Czynności nauczycielskie i ucznia w procesie kierowania rozwiązywaniem zadań matematycznych cechują różnice i podobieństwa. Łączy je nie tylko wspólne zadanie, ale i to, że mają charakter informacyjno-decyzyjny.[18] Są one świadomie przemyślane, zwrotne, gdyż z jednej strony zmierzają do pobudzenia uczniów do działania, z drugiej zaś są sygnałem o wykonaniu zadania, co z kolei jest pobudką do podjęcia przez nauczyciela kolejnych czynności. Czynności nauczyciela i ucznia są więc zespolone ze sobą, łączy je związek czasowy i przyczynowo-skutkowy. Czynności nauczyciela inicjują proces pracy uczniów, czynności ucznia są skierowane do niego samego. Podczas zajęć uczniowie wykonują również czynności skierowane do nauczyciela bądź do innych uczniów, co z kolei modyfikuje czynności nauczyciela. Różnice dotyczą stopnia udziału w rozwiązywaniu zadania. Czynności nauczycielskie są pod tym względem czynnościami kierowniczymi, czynności uczniowskie wykonawczymi.

Ze względu na różne zadania realizowane przez nauczyciela można wyodrębnić typowe rodzaje czynności nauczyciela i ucznia.

Współdziałanie ucznia z nauczycielem na zajęciach sprawia, że i jego czynności są zbliżone do czynności nauczyciela i ich klasyfikacja również będzie zbliżona do rodzajów czynności nauczyciela.

            Miernikiem podziału czynności nauczycielskich mogą być rodzaje zadań realizowanych przez niego w toku lekcji:[19]

-  kierowanie zdobywaniem przez ucznia informacji naukowych,

-  motywowanie ucznia do podjęcia wysiłku poznawczego,

-  naprowadzanie ucznia na właściwy tok pracy (w razie potrzeby),

-  kontrola uzyskanych rezultatów oraz korygowanie powstałych błędów.

Wymienionym rodzajom zadań odpowiadają poszczególne rodzaje czynności nauczycielskich, im z kolei odpowiadają czynności uczniowskie.

Czynności nauczycielskie mogą mieć różny charakter i zależą od typu rozwiązywanych zadań matematycznych oraz od stopnia ich trudności. Składają się na nie czynności: przygotowawcze, motywujące, informujące, naprowadzające, kontrolne i korektywne. W takiej kolejności będę je omawiała w połączeniu z istotnymi sprawami dotyczącymi planowania zadań i czynności przed zajęciami, informacji, motywacji, kontroli.

Czynności przygotowawcze - poprzedzają przeprowadzenie zajęcia, związane są przede wszystkim z planowaniem. W zakres czynności przygotowawczych wchodzić będzie planowanie zadań, dobór treści, czynności i ich układów do poszczególnych etapów rozwiązywania zadania i form wzajemnego komunikowania się, analiza zadania pod kątem stopnia trudności, podział zadań na główne i pomocnicze. Na czynności przygotowawcze składają się także: rozłożenie zadań i czynności w czasie dla uzyskania rytmicznej organizacji zajęcia, przewidywanie tempa pracy poszczególnych uczniów, ustalenie form kontroli, oceny oraz czynności korektywnych.[20]

Czynności motywujące to zabiegi nauczyciela zmierzające do wzbudzenia napięcia emocjonalnego uczniów przed i w toku wykonywania zadań, jego podtrzymania i utrwalania.[21] Ogromną rolę w pozytywnym nastawieniu emocjonalnym uczniów w procesie rozwiązywania zadań matematycznych odgrywają takie elementy jak: nowość zadań, stopień ich trudności, odpowiedni dobór, związek z otaczającą rzeczywistością, sposoby przedstawienia treści i rozwiązań zadań. Działania motywujące mają zachęcać, nastawiać do pokonywania trudności. Czynności motywujące występują w różnych momentach rozwiązywania zadania matematycznego. Szczególne miejsce przypada im w momencie poprzedzającym rozwiązanie nowego zadania lub samodzielnego jego wykonania. Motywowanie w tym przypadku obejmuje wywołanie ciekawości, zainteresowania. Motywacyjna funkcja nauczyciela związana z wprowadzaniem zadania polega na dokładnym objaśnieniu, przypomnieniu i powtórzeniu algorytmu rozwiązywania zadania. W toku samodzielnego rozwiązywania zadań tekstowych nauczyciel stosuje motywowanie przez naprowadzanie. Przez te czynności czuwa nad przebiegiem rozwiązania zadania, ma orientację w pracy uczniów. Może więc podejmować indywidualne zabiegi motywujące takie jak pomaganie, zwracanie uwagi na popełnione błędy, zachętę do podejmowania wysiłku. Na końcu pracy uczniów nad zadaniem występują, czynności motywujące przez kontrolę, które wiążą się z oceną pracy. Motywując przez kontrolę nauczyciel najpierw poleca uczniom sprawdzić rozwiązanie zadania, a następnie - dla upewnienia się - kontroluje ich pracę. Ustalenie stanu wykonania zadania jest podstawą przejścia do pracy nad kolejnym zadaniem albo zastosowania czynności korektywnych.

Czynności informujące nauczyciela w kierowaniu rozwiązywaniem zadań matematycznych przez uczniów sprowadzają się do zapoznania uczniów z treścią zadań, przeprowadzeniem analizy (ustalenie wielkości danych i szukanych). Kolejny rodzaj czynności informujących dotyczy ustalenia planu rozwiązania, wyboru odpowiedniej metody, a także sprawdzeniem wyniku. Ilość czynności informujących zależy od stopnia trudności zadania.W rozwiązywaniu zadań matematycznych, kiedy uczeń nie jest w stanie ich samodzielnie rozwiązać nauczyciel podejmuje cały ciąg czynności informujących. Dzięki tym czynnościom nauczyciel może stale panować nad przebiegiem pracy każdego ucznia i w porę zapobiegać trudnościom.[22]

Czynności naprowadzające stosowane są już w toku rozwiązywania zadania matematycznego. Ich celem jest zapobieganie niewłaściwemu kierunkowi pracy ucznia. Do tych czynności zaliczam: przypominanie reguł, twierdzeń, wiadomości, powtórzenia, objaśnienia dotyczące rozwiązywania zadań złożonych, ułatwienie znalezienia brakujących elementów do rozwiązania zadania, pomoc w analizie zadania. Dzięki tym czynnościom nauczyciel może łatwiej pokierować pracą uczniów pomagając im w znalezieniu szczegółowych rozwiązań. Częściami składowymi czynności naprowadzających są:

- stwierdzenie wspólnego miejsca, w którym powstał błąd lub niezdecydowania w pracy;
- ustalenie istoty błędu;
- ustalenie sposobu poprawy;
- udzielenie dodatkowych wyjaśnień;

- sprawdzenie poprawności wykonania zadania.[23]

Czynności naprowadzające powinny być przygotowane do każdego zadania polecanego uczniom do samodzielnego rozwiązania, bowiem stale pojawia się potrzeba niesienia dodatkowej pomocy.

Czynności kontrolne mają na celu sprawdzenie - głównie dzięki obserwacji - stanu rozwiązania zadań przez każdego ucznia w celu nie dopuszczenia do powstania zaległości i błędów.[24] Nauczyciel powinien przewidzieć, w jaki sposób skontroluje zadania rozwiązywane przez uczniów na lekcji (kontrola bieżąca). Kontrolę zadania może poprzedzić samokontrolą zadania wykonaną przez ucznia. Sprawdzenie rozwiązania przebiega w momencie, kiedy uczeń porównuje wyniki swego rozwiązania z oczekiwanym. Z reguły uczniowie nie potrafią wskazać błędów w rozwiązaniu, dlatego zadania nauczyciel powinien tak konstruować, aby ich wynik był łatwy do sprawdzenia. Czynności kontrolne wiążą się również z obserwacją przebiegu działania uczniów prowadzących do rozwiązania zadania. Owa obserwacja zachowania uczniów pozwala wniknąć w aspiracje i motywy wyznaczające stosunek do powierzonych zadań, pozwala także ustalić możliwości i braki każdego ucznia. Momentami, na które nauczyciel powinien zwrócić uwagę - chcąc przeprowadzić korektę pracy, są zachowania uczniów, takie jak: nieuwaga, bezmyślne przytakiwanie, brak uczestnictwa w pracy, a także stwierdzony błąd w zadaniu. Wprowadzenie do procesu rozwiązywania zadań matematycznych systemu kontroli sprzyja wykrywaniu błędów uczniowskich i zapobiega powstawaniu trudności w uczeniu się matematyki.

Czynności korektywne są stosowane wówczas, gdy pierwsza czynność informacyjna dotycząca danego zadania nie przynosi spodziewanego wyniku i trzeba zadanie ponownie rozwiązać, lecz innym sposobem, bardziej zrozumiałym dla ucznia, o czym nauczyciel przekonuje się nieraz w toku rozwiązywania zadania lub w trakcie jego kontroli.[25] Czynności korektywne są więc wyrazem nastawienia nauczyciela na zapobieganie trudnościom, które mogą pojawić się w toku rozwiązywania zadań matematycznych.

Przedstawiony powyżej podział czynności nauczycielskich nie jest rozłączny, gdyż informacja również odgrywa rolę w motywowaniu ucznia, kontrola to także informowanie i motywowanie, naprowadzanie zaś to zarówno informowanie, motywowanie, jak i kontrolowanie. Wszystkie te czynności wikłają się wzajemnie. Równocześnie jednak każdy rodzaj czynności odgrywa swoistą rolę w procesie kierowania rozwiązywaniem zadań matematycznych.

Wymienione i pokrótce scharakteryzowane czynności nauczyciela wpływają na czynności ucznia. Ze względu na to, że praca ucznia w toku lekcji przebiega nieco inaczej niż praca nauczyciela, dlatego też celowe jest wyodrębnienie rodzajów czynności uczniowskich.

Czynnościom informującym nauczyciela odpowiadają czynności ucznia dotyczące opracowania informacji.[26] Są to czynności wykonawcze. Czynności motywujące (a więc i naprowadzające) nauczyciela również łączą się z czynnościami wykonawczymi ucznia.

Czynności opracowania informacji związane są z poznaniem i zrozumieniem treści zadania a także obejmują ćwiczenia dla wytworzenia umiejętności rozwiązywania zadań matematycznych. W ich skład wchodzą czynności związane z opracowywaniem algorytmów rozwiązywania zadań oraz czynności praktyczne związane z wykorzystaniem ich w działaniu.

W całym procesie rozwiązywania zadań matematycznych obok czynności związanych z opracowaniem informacji ważne miejsce powinny zajmować czynności związane z samokontrolą uczniów[27] dotyczącą przebiegu i rozwiązania danego zadania. W początkowej nauce rozwiązywania zadań matematycznych przeważa kontrola ze strony nauczyciela, jednak w miarę kształtowania się u dzieci samokrytycyzmu zastępowana jest ona kontrolą wzajemną uczniów, a w późniejszym czasie przechodzi w pełną samokontrolę ze strony ucznia.

Krytyczne nastawienie ucznia powinno występować nie tylko po wykonaniu zadania, lecz już w toku pracy nad nim. Czuwanie ucznia nad jakością opracowania poszczególnych etapów rozwiązywania zadania ułatwia ostateczną samoocenę całości zadania, a także samokontrolę wyniku.

Z samokontrolą bardzo ściśle związane są czynności autokorektywne.[28] Czynności te dotyczą dostrzegania i poprawy błędów w rozwiązywanych zadaniach matematycznych. Dostrzeganie błędów w zadaniach i ich korekta jest dla ucznia jedną z najtrudniejszych czynności, a własne stwierdzenie błędu lub ustalenie braków w zadaniu jest podstawą do przeprowadzenia autokorekty.

Czynności ucznia związane są z każdym elementem treści nauczania matematyki. W szczególności można do nich zaliczyć:

1. Zapamiętanie wiadomości.

2.  Rozumienie wiadomości.

3.  Stosowanie wiedzy w sytuacjach typowych.

4.  Stosowanie wiedzy w sytuacjach problemowych.[29]

Wyszczególnione cztery kategorie czynności mają układ hierarchiczny, tworząc pewnego typu taksonomię.

Na szczeblu klas początkowych można umownie wyróżnić różne typy zadań matematycznych, odpowiadające powyższym czynnościom, jakie uczeń powinien wykonać.

Oto proponowana lista poszczególnych rodzajów zadań i czynności uczniowskich:

1.         Zadania na zapamiętanie wiadomości.

1.1.    Rozpoznawanie i odczytywanie symboli i schematów.

1.2.    Odczytywanie i zapamiętanie słownictwa matematycznego.

1.3.    Stosowanie algorytmów działania.

2.         Zadania na rozumienie wiadomości.

2.1.    Wykonywanie czynności konkretnych oraz z użyciem ich przedstawień graficznych i symbolicznych.

2.2.    Rozwiązywanie prostych zadań beztekstowych.

2.3.    Dokonywanie porównań, przyporządkowań i klasyfikacji.

2.4.    Czytanie i analizowanie danych zadania.

2.5.    Uzupełnianie zadania.

3.       Zadania na stosowanie wiedzy w sytuacjach typowych.

3.1.    Naśladowanie i odwzorowywanie (rozwiązywanie zadania w oparciu o zadanie podobne rozwiązywane już wcześniej).

3.2.    Rozwiązywanie prostych zadań tekstowych.

3.3.    Układanie i przekształcanie zadań według wzoru - formuły.

3.4.    Wykonywanie czterech podstawowych działań matematycznych (w pamięci i pisemnie).

4.          Zadania na stosowanie wiedzy w sytuacjach problemowych.

4.1.    Odszukanie i zinterpretowanie problemu.

4.2.    Rozwiązywanie złożonych zadań tekstowych i beztekstowych typu problemowego.

4.3.    Abstrahowanie i dokonywanie uogólnień.

4.4.    Przekształcanie formy zadania na inną równoważną.

 

Rozwiązywanie zadań matematycznych przebiega zawsze według określonego schematu. Trudno jest jednak taki schemat opracować w postaci gotowego algorytmu, bowiem każde zadanie matematyczne jest inne i wymaga ono zawsze twórczej aktywności dziecka rozwiązującego dane zadanie. Niezależnie od treści i stopnia trudności zadania matematycznego można wyróżnić podstawowe etapy, które należy przebyć w rozwiązywaniu zadań matematycznych. W tym celu omówię czynności ucznia w rozwiązywaniu zadań tekstowych, które stanowią podstawę pracy na lekcjach, zarówno przy wprowadzaniu nowego materiału, jak i stosowaniu nabytej wiedzy.

W rozwiązywaniu zadań tekstowych można wyróżnić następujące etapy:

1. Odczucie sytuacji problemowej w zadaniu tekstowym.

2.  Zrozumienie treści zadania.

3.  Przypomnienie niezbędnych wiadomości.

4.  Szukanie pomysłu i wybór sposobu rozwiązania zadania.

5.   Wykonanie zaplanowanych czynności.

6.    Analiza poprawności wykonania i kontrola wyniku.[30]

Z powyższej listy czynności nie wynika, że czynności te są zawsze wykonywane w podanej kolejności. Może zdarzyć się, że przypomnienie niezbędnych wiadomości występuje wcześniej niż zrozumienie zadania. Może ono mieć też miejsce równolegle z czynnością szukania pomysłów rozwiązania.

Podstawowym warunkiem prawidłowego rozwiązania zadania jest zrozumienie jego treści, przy równoczesnym rozumieniu wiadomości przez ucznia, które są niezbędne dla pomyślnego rozwiązania zadania. Bardzo istotną rolę odgrywa w tym procesie analiza poprawności wykonania.

W zadaniach na zapamiętanie wiadomości faza zrozumienia treści ogranicza się w zasadzie do zrozumienia polecenia lub pytania zawartego w zadaniu. Znalezienie pomysłu rozwiązania może nie występować wcale lub też ogranicza się do uświadomienia sobie przez ucznia faktu, że wykonanie zadania polega na zastosowaniu konkretnego wzoru, formuły, schematu.

W największym stopniu w tego typu zadaniach jest preferowana czynność przypominania niezbędnych wiadomości, będąc często jedynym bardzo istotnym składnikiem rozwiązania.

W zadaniach na stosowanie wiadomości w sytuacjach typowych na ogół najistotniejszy jest etap wykonania zaplanowanych czynności oraz znalezienie pomysłu i wybór drogi rozwiązania.

W zadaniach zaś na stosowanie wiadomości w sytuacjach nietypowych występują najczęściej wszystkie wyszczególnione wcześniej czynności uczniów. Najrzadziej w praktyce przeprowadzana jest kontrola wyników - efektów rozwiązania.

Kierowanie działalnością uczniów w procesie rozwiązywania zadań.

 

Kierowanie procesem rozwiązywania zadań matematycznych sprowadza się do przedstawienia wzorca działania, omówienia kolejnych operacji i schematów czynności. Konieczne jest ponadto wyposażenie uczniów w orientację szczegółową, na którą składają się 3 umiejętności:

1)  rozpoznawanie typu zadania,

2)  posługiwanie się różnymi metodami rozwiązywania zadań,

3)  wybór racjonalnej metody rozwiązania.[31]

Optymalny schemat kierowania czynnościami poznawczymi ucznia przez nauczyciela wyznacza psychologiczny schemat procesu interioryzacji J.Galpierina (o czym już mówiłam wcześniej).

Strategia ta może być z powodzeniem stosowana przy kształtowaniu umiejętności rozwiązywania zadań matematycznych.

Zaproponowany model nauczania czynności został zinterpretowany, zaadoptowany i wykorzystany przez M. Cackowską. W nauczaniu początkowym matematyki sprowadza się do 6 etapów:

-  czynności wstępne,

-  czynności manipulacyjno-rachunkowe wykonywane z wykorzystaniem przedmiotów rzeczywistych,

-  czynności manipulacyjno-ruchowe wykonywane z wykorzystaniem zastępników przedmiotów rzeczywistych,

-   czynności umowne z wykorzystaniem środków graficznych,

-   czynności werbalne (głośnie i ciche),

-    czynności umysłowe wykonywane z wykorzystaniem symboli matematycznych.[32]

Etap orientacji wstępnej wymaga przedstawienia zadań w postaci sytuacji problemowych, budzących ciekawość uczniów oraz takiej pracy nad nimi, aby uczniowie uświadomili sobie w miarę dokładnie strukturę zadań oraz rejestr czynności składających się na proces ich rozwiązania.

Na tym etapie zadania winny być analizowane przy pomocy czynności ruchowych wykonywanych przez same dzieci lub czynności manipulacyjnych z konkretami, celem unaocznienia problemów matematycznych zadań. Praktyczne wykonanie przez dzieci tych czynności zaspokaja ich potrzebę ruchu i działania, sprzyja koncentracji ich uwagi i pobudzeniu zainteresowań, a co najważniejsze umożliwia przeprowadzenie różnych operacji matematycznych.

Gdy wykonanie czynności praktycznych przebiega sprawnie, należy je stopniowo przenieść na płaszczyznę bardziej abstrakcyjną, gdzie ich realizacja będzie przebiegać w formach umownych - na rysunkach i różnorodnych schematach. Sporządzanie schematów wymaga wyodrębnienia danych z zadania, ustalenia ich zależności i przedstawienia całego problemu matematycznego w postaci obrazowej, co jest równoznaczne z praktycznym rozwiązaniem zadania.

Modelowanie czynności na schematach aktywizuje równolegle dwa poziomy myślenia - konkretne i abstrakcyjne, ułatwia dzieciom wykonywanie trudnych operacji intelektualnych. Jest to ważny krok na drodze interioryzacji czynności.

W dalszym etapie kształtowania umiejętności rozwiązywania zadań matematycznych należy je stopniowo zastępować czynnościami werbalnymi, treścią których są już tylko opisy działań wykonywanych nad zadaniami.

Wszystkim opisanym przeze mnie formom czynności powinny towarzyszyć działania symboliczne wykonywane na materiale znakowym, które są naturalną formą rejestracji rozwiązań zadań.

Dopiero wtedy, gdy analizowanie zadań danego typu w formach czynnościowych przebiega sprawnie i szybko, można pozwolić uczniom na pomijanie rozwiązań czynnościowych i dokonywania ich od razu w formach symbolicznych.[33]

Opisany model nauczania czynnościowego moim zdaniem stwarza optymalne warunki dla kształtowania u uczniów skutecznej i trwałej umiejętności rozwiązywania zadań matematycznych. Z tego też względu każdy nowy typ zadań powinien być opracowany z uwzględnieniem wszystkich opisanych form czynności stanowiących podstawę kształtowania czynności umysłowych uczniów.

Opracowła:
Agnieszka Grodzińska

[1]     Słownik poprawnej polszczyzny, Pod. red. W. Doroszewskiego, Warszawa 1973, s. 952.

[2]     Z. Cackowski, Problemy i pseudoproblemy, Warszawa 1964, s. 97.

[3]     J. Poplucz, Optymalizacja działania pedagogicznego, Warszawa 1984, s.97.

[4]     W. Kojs, Szkic do teorii zadań dydaktycznych, Warszawa, s. 2-3.

[5]     G.Kufit, Cele lekcji a zadania i czynności uczniów w procesie uczenia się środowiska społeczno-przyrodniczego w kl. I - III, „Nauczanie początkowe” 1985/1986 nr 2.

---