WYKŁAD 7

KLASYCZNY RACHUNEK ZDAŃ (KRZ)

KRZ to narzędzie analizy logicznej języka naturalnego

→ rozumowań

→ argumentacji

→ struktury wypowiedzi

Interesują nas tylko zdania w sensie logicznym

→ zdania, które są prawdziwe lub fałszywe

→ nie są nimi pytania, prośby, zalecenia, rady etc.

Nie badamy budowy zdań prostych!

ZAPIS I ANALIZA ZDAŃ JĘZYKA NATURALNEGO.

PRZYKŁAD:

1. Jan jest miły, natomiast Piotr jest mądry.

2. Jeśli Stanisław tu przyjedzie, to Piotr się wścieknie.

3. Nie jest prawdą, że Piotr to furiat, ani to, że Piotr jest skąpy.

4. Kupię ci tego lizaka, ale tylko wtedy, gdy ładnie zjesz zupkę.

PRZYKŁAD .

Niech: p - Piotr jest miły,

q - Piotr jest bogaty.

1. Piotr nie jest miły. ¬p

2. Piotr jest miły i bogaty p∧q

3. Piotr jest niemiły, ale bogaty. ¬p∧q

4. Piotr nie jest bogaty; nie jest też miły. ¬q∧¬p

5. Piotr jest bogaty lub miły. q∨p

6. Jeśli Piotr jest bogaty, to jest też miły. q⇒p

7. Jeśli Piotr nie jest miły, to nie jest bogaty. ¬p⇒¬q.

8. Piotr nie jest jednocześnie miły i bogaty. ¬(p∧q)

UWAGA: 7. to nie to samo, co 4.!

PRZYKŁAD: p - Jan ma grypę,

q - Jan ma wysoką gorączkę,

r - Jan ma dreszcze.

1. Jeśli Jan ma wysoką gorączkę i dreszcze, to ma grypę. (q∧r)⇒p

2. Jan nie ma wysokiej gorączki, więc nie ma grypy. ¬q⇒¬p

3. Jan ma wysoką gorączkę i dreszcze, lecz nie ma grypy. (q∧r)∧¬p

4. Jeśli Jan ma wysoką gorączkę, to: ma dreszcze wtedy i tylko wtedy, gdy ma grypę. q⇒(r⇔p)

5. Jeśli Jan ma wysoką gorączkę lub dreszcze, to ma grypę. (q∨r)⇒p

ZAPIS SCHEMATÓW ROZUMOWAŃ

Jak zapisać schemat rozumowania, w którym występuje szereg przesłanek?

1. Identyfikujemy przesłanki.

• To nie są na ogół zdania proste!!!

2. Identyfikujemy wniosek.

• Wniosek też nie musi być zdaniem prostym!

3. Zapisujemy w formie schematu.

PRZYKŁAD 1:

Jeśli Jan otrzyma awans, to będzie mógł szybciej spłacić kredyt, Jan otrzymał awans; a zatem będzie mógł szybciej spłacić kredyt.

Przesłanki to:

(1) Jeśli Jan otrzyma awans, to będzie mógł szybciej spłacić kredyt - A⇒K

(2) Jan otrzymał awans - A

Wniosek to:

K - Jan będzie mógł szybciej spłacić kredyt.

SCHEMATYCZNIE:

[(A⇒K) ∧ A] ⇒ K

PRZYKŁAD 2:

Jeśli Jan otrzyma awans, to będzie mógł szybciej spłacić kredyt, Jan nie otrzymał awansu; a zatem nie będzie mógł szybciej spłacić kredytu.

[(A⇒K) ∧ ¬A] ⇒ ¬K

PRZYKŁAD 3:

Jeśli Jan otrzyma awans, to będzie mógł szybciej spłacić kredyt, Jan spłacił kredyt; a zatem nie otrzymał awansu.

[(A⇒K) ∧ K] ⇒ ¬A

PRZYKŁAD 4 :

Jeśli Jan otrzyma awans lub wygra proces, to będzie mógł szybciej spłacić kredyt, jednak nie dostał awansu ani nie wygrał procesu; a zatem nie będzie mógł szybciej spłacić kredytu.

Przesłanki:

(1) Jeśli Jan otrzyma awans lub wygra proces, to będzie mógł szybciej spłacić kredyt

(A∨P)⇒K

(2) Jan nie dostał awansu ani nie wygrał procesu - ¬A∧¬K

Wniosek:

Jan nie będzie mógł szybciej spłacić kredytu - ¬K

SCHEMATYCZNIE :

[((A∨P)⇒K) ∧ (¬A∧¬K)] ⇒ ¬K

WIELOZNACZNOŚĆ

PRZYKŁAD 1 :

Jan pójdzie do kina jeśli spotka Annę lub zdąży do pociągu.

(A∨P)⇒K LUB (A⇒K)∨P

PRZYKŁAD 2 (przypomnienie):

Ⴗ Jeśli nie dostanę podwyżki to się zwolnię i wybiorę się w góry.

Ⴗ Jutro pójdę na egzamin jeśli się przygotuję i spotkam się dzisiaj z Michałem.

Ⴗ Jeśli dzisiaj się spotkam z Michałem to spędzę miły wieczór a jutro pójdę na egzamin.

Ⴗ Przeczytam podręcznik lub przejrzę notatki i poproszę o wyjaśnienia Michała.

Ⴗ Jeżeli ukończę studia doktoranckie to będę pracował naukowo lub zatrudnię się w banku.

REPREZENTOWANIE INFORMACJI W KRZ.

PRZYKŁAD.

Firma X poszukuje pracowników. Wśród cech, które bywają wymagane są:

1) znajomość niemieckiego;

2) posiadanie prawa jazdy;

3) umiejętność obsługi arkusza Excel.

ANTONI: nie zna niemieckiego, nie ma prawo jazdy, nie zna Excela.

BARNABA: nie zna niemieckiego, nie ma prawa jazdy, zna Excela.

CEZARY: nie zna niemieckiego, ma prawo jazdy, nie zna Excela.

DAMIAN: nie zna niemieckiego, ma prawo jazdy, zna Excela.

EWARYST: zna niemiecki, nie ma prawo jazdy, nie zna Excela.

FILON: zna niemiecki, nie ma prawa jazdy, zna Excela.

GERWAZY: zna niemiecki, ma prawo jazdy, nie zna Excela.

HILARY: zna niemiecki, ma prawo jazdy, zna Excela.

Oznaczmy

p - dana osoba zna niemiecki;

q - dana osoba ma prawo jazdy

r - dana osoba zna Excela.

• Zapiszemy w tabeli:

niem. pr.j. Ex.

p q r

A 0 0 0

B 0 0 1

C 0 1 0

D 0 1 1

E 1 0 0

F 1 0 1

G 1 1 0

H 1 1 1

Wymagania na cztery stanowiska:

I. Ma znać niemiecki lub Excela.

II. Jeśli nie zna niemieckiego, to musi mieć prawo jazdy i znać Excela.

III. Musi mieć przynajmniej dwie z tych trzech cech.

IV. Musi mieć dokładnie dwie z tych trzech cech.

Którzy kandydaci spełniają warunki?

I. B,D,E,F,G,H

II. D,E,F,G,H

III. D,F,G,H.

IV. D,F,G.

Wymagania pracodawcy można zapisać w formie wyrażeń KRZ:

1. Jeśli nie zna niemieckiego ani Excela, musi mieć prawo jazdy: (¬p∧¬r)⇒q

2. Jeśli nie ma prawa jazdy, to musi znać niemiecki i Excela: ¬q⇒(p∧r)

3. Nie może mieć wszystkich trzech cech naraz: ¬(p∧q∧r)

4. Nie może mieć żadnej z tych trzech cech: ¬p∧¬q∧¬r

PYTANIE: skąd wiemy, którzy kandydaci spełniają stosowny warunek?

ODP: bo wiemy, co znaczy słowo i, lub, nie, ....

FUNKTORY KRZ

Czy rozumiemy następujące zdania:

(1) Podaj mi mleko i cukier.

(2) Nie ma tu ani Piotra, ani Michała.

(3) Proszę sok pomarańczowy lub jabłkowy.

(4) Jeśli wygram ten konkurs, to będę bardzo szczęśliwy.

NEGACJA (zaprzeczenie).

p ¬p

0 1

1 0

KONIUNKCJA.

p q p∧q

0 0 0

0 1 0

1 0 0

1 1 1

ALTERNATYWA.

p q p∨q

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 1

IMPLIKACJA.

p q p⇒q

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 1

RÓWNOWAŻNOŚĆ.

p q p⇔q

0 0 1

0 1 0

1 0 0

1 1 1

WARTOŚCIOWANIA.

p q r

0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

WARTOŚCIOWANIE - przypisanie zdaniom prostym wartości logicznych (prawdy i fałszu; 1 i 0)

IDEA: wartościowanie = stan świata - każdemu zdaniu przypisana jest pewna wartość logiczna (ustalony pewien fakt na temat świata). Zbiór wszystkich wartościowań opisuje klasę możliwych stanów rzeczywistości.

UWAGA

• „działanie” funktorów zależy tylko od wartości logicznych zdań prostych.

• Treść zdań prostych nie jest tu w ogóle przedmiotem analizy.

PRZYKŁAD 1:

Widzimy Polaka, który ma 1.81 wzrostu. Kiedy kłamie?

1) Jeśli jestem Polakiem, to mam 1.81 wzrostu.

2) Jeśli jestem Hindusem, to mam 2.50 m wzrostu.

3) Jestem Hindusem wtedy i tylko wtedy, gdy mam 2.50 wzrostu.

4) Jestem Polakiem lub jestem Hindusem.

5) Jeśli jestem Hindusem, to mam 1.81 wzrostu.

6) Jestem Hindusem dokładnie wtedy, gdy mam 1.81 wzrostu.

7) Jestem Polakiem i mam 2.50 wzrostu.

8) Jestem Hindusem i mam 2.50 wzrostu.

1,2,3,4,5 - PRAWDA

6,7,8 - FAŁSZ

Przypuśćmy, że powyższe zdania wypowiada Hindus, który ma 1.81 wzrostu.

W takiej sytuacji wartości logiczne zdań są następujące:

1,4,5,6 - PRAWDA

2,3,7,8 - FAŁSZ

TAUTOLOGIE KLASYCZNEGO RACHUNKU ZDAŃ

Niektóre wypowiedzi są prawdziwe niezależnie od okoliczności:

→ Pada deszcz lub nie pada deszcz.

→ Jeśli Jan jest wysoki i bogaty, to Jan jest wysoki.

→ Nie jest prawdą, że jednocześnie pada i nie pada.

Aby zgodzić się, że są to zdania prawdziwe, wystarczy wiedzieć, co znaczy „i”, „lub”, „nie jest prawdą, że”

Tautologia KRZ - wyrażenie KRZ, które jest prawdziwe niezależnie od układu wartości logicznych zdań składowych

IDEA:

• zdanie prawdziwe w każdej z możliwych sytuacji,

• prawdziwe na mocy samej swej struktury

• prawdziwe niezależnie od tego, jaka jest rzeczywistość

PRZYKŁAD 1:

1) Jest ciepło, albo nie jest ciepło.

2) Jeśli jestem bogaty, to jestem bogaty.

3) Nie jest prawdą, że jednocześnie pada i nie pada.

4) Jeśli Piotr jest miły i bogaty, to Piotr jest bogaty i miły.

PRZYKŁAD 2:

Czasami dwie wypowiedzi są równoważne na mocy samej swojej struktury:

A1. Przestań palić albo ja wychodzę. p∨q

B1. Jak nie przestaniesz palić, to wyjdę. ¬p⇒q

A2. Nie można kupić kawy i nie zapłacić. ¬(p∧¬q)

B2. Jeśli się kupi kawę, trzeba za nią zapłacić. p⇒q

A3. Nie dam rady zjeść i kanapki i ciastka. ¬(p∧q)

B3. Zrezygnuję z kanapki lub z ciastka. ¬p∨¬q

• tutaj zawsze A jest równoważne B.

• schematycznie: A ⇔ B

• zapis zdań w języku KRZ:

METODA TABELKOWA

Jak ustalić, czy coś jest tautologią?

PRZYKŁADY:

1. p∨¬p

2. (p∨q)⇔(p∧q)

3. (p∨q) ⇔ (¬p⇒q)

4. ¬(p∧¬q) ⇔ (p⇒q)

5. ¬(p∧q) ⇔ (¬p∨¬q)

6. [p∧(p⇒q)]⇒q

7. [q∧(p⇒q)]⇒p

USTALANIE WARTOŚCI LOGICZNYCH ZDAŃ ATOMOWYCH

PRZYKŁAD 1:

Wiemy, że poniższe zdania są prawdziwe. Czy umiemy odpowiedzieć na pytania?

(1) Nie byłem w górach ani nad morzem.

(a) Czy byłem w górach?

(b) Czy byłem nad morzem?

(2) Jan kupił jabłka i gruszki.

(a) Czy Jan kupił jabłka?

(b) Czy Jan kupił gruszki?

(3) Jan skłamał, mówiąc że przyjdzie w środę lub w czwartek.

(a) Czy Jan przyszedł w środę?

(b) Czy Jan przyszedł w czwartek?

PRZYKŁAD 2:

Wiemy, że prawdziwe są podane zdania A,B,C,D,E. Należy określić wartości logiczne zdań składowych w poszczególnych przypadkach:

A. ¬p∧¬q

B. ¬(p⇒q)

C ¬(p∨q)

D. p∧¬(q⇒r)

E. ¬[p⇒(q∨r)]

PRZYKŁAD 5:

Wiemy, że poniższe zdania są prawdziwe. Co wiadomo na temat Jana w poszczególnych wypadkach?

1) Nieprawda, że: jeśli Jan jest bogaty, to jest niewysoki lub jest blondynem.

2) Jan jest bogaty i nieprawda, że jeśli jest blondynem to nie jest wysoki.

PRZYKŁAD 6:

Dla jakich wartościowań prawdziwe są zdania:

A. p∨¬(q⇒r)

B. p⇒(q∧¬r)

C. ¬p∨¬(q⇒r)

POJĘCIE KONSEKWENCJI LOGICZNEJ

W zagadkach o Piotrze,... - na podstawie przesłanek (zeznań) wyciągaliśmy wniosek

• Informacje o winie były ukryte w przesłankach

• Wydobywaliśmy je nie korzystając z żadnej wiedzy szczegółowej (np. medycznej, meteorologicznej, fizycznej, chemicznej etc.) - jedynie z zasad logiki

• Prawdziwość przesłanek (zeznań) gwarantowała prawdziwość wniosku

• To jest przykład konsekwencji logicznej

PYTANIE: co znaczy, że zdanie W jest konsekwencją logiczną zbioru przesłanek P?

→ jeśli prawdziwe są wszystkie przesłanki P, to prawdziwe musi być też zdanie W.

→ w sytuacji, gdy wszystkie przesłanki P są prawdziwe, to zdanie W też będzie prawdziwe.

• Kiedy mówimy o konsekwencji logicznej interesuje nas tylko struktura rozumowania, a nie przedmiot .

• Aby sprawdzić, czy mamy do czynienia z konsekwencją logiczną musimy tylko zidentyfikować strukturę rozumowania

OGÓLNY SCHEMAT DZIAŁANIA:

1. Mamy przesłanki P (jedną lub kilka) i hipotezę H.

CEL: sprawdzić, czy H wynika logicznie z P

2. W jakich sytuacjach prawdziwe są jednocześnie wszystkie przesłanki P?

np.: w jakiej sytuacji jednocześnie prawdziwe są wszystkie zeznania świadków?

3. Czy w tej sytuacji (tych sytuacjach) prawdziwa jest hipoteza H?

jeśli TAK: H jest konsekwencją logiczną P

jeśli NIE: H nie jest konsekwencją logiczną P.

PRZYKŁAD 1:

Jest trzech podejrzanych o kradzież: Piotr, Robert i Stanisław.

Ustalono, iż:

WERSJA 1:

1) W kradzieży brał udział przynajmniej jeden z nich.

2) Jeśli Robert jest winny, to pozostali obaj są niewinni.

3) Nie jest prawdą, że Piotr i Stanisław są obaj winni.

4) Jeśli Stanisław jest winien, to Robert też.

5) Jeśli Piotr jest winien, to Robert też.

Kto jest winien?

Wersja 2:

1) Przynajmniej jeden z nich ma psa.

2) Jeśli Robert ma psa, to pozostali obaj nie.

3) Nie jest prawdą, że Piotr i Stanisław obaj mają psy.

4) Jeśli Stanisław ma psa, to Robert też.

5) Jeśli Piotr ma psa, to Robert też.

2 i 3 TO JEST TEN SAM PROBLEM!

UWAGA:

• aby rozwiązać, nie trzeba wiedzieć, co to jest kradzież, wina, pies…

• wystarczy znać strukturę logiczną wypowiedzi

• wyciągamy wniosek tylko poprzez analizę struktury przesłanek

Jest to przykład sytuacji, gdy stykamy się z konsekwencją logiczną.

PRZYKŁAD 2:

Trzech podejrzanych: Piotr, Robert i Stanisław:

1) W kradzieży brał udział co najmniej jeden, ale co najwyżej dwóch spośród nich.

2) Jeśli Piotr jest winien, to Stanisław też.

3) Nie jest prawdą, że Robert i Stanisław są obaj winni.

4) Robert - jeśli jest winien - to mógł popełnić kradzież tylko samotnie.

5) Stanisław nie mógł popełnić kradzieży sam.

6) Piotr jest niewinny.

Kto jest winien?

Przesłanki:

1) W kradzieży brała udział 1 lub 2 osoby.

2) Jeśli Robert jest niewinny, to Stanisław też.

3) Stanisław nigdy nie pracuje sam.

4) Robert nigdy nie współpracuje ze Stanisławem.

Hipotezy:

H1. Piotr jest winny.

H2. Robert jest winny.

H3. Stanisław jest niewinny.

KROK 1.

W jakich sytuacjach prawdziwe są jednocześnie wszystkie przesłanki?

ODP: Są dwie takie sytuacje:

p r s

1 0 0

1 1 0

KROK 2.

a)Czy hipoteza H1 jest prawdziwa we wszystkich (dwóch) sytuacjach?

TAK: a zatem H1 jest wnioskiem logicznym z P

(mamy pewność co do winy Piotra)

b)Czy hipoteza H2 jest prawdziwa we wszystkich (dwóch) sytuacjach?

NIE: a zatem H2 nie jest wnioskiem logicznym z P

(nie mamy pewności co do winy Roberta)

c)Czy hipoteza H3 jest prawdziwa we wszystkich (dwóch) sytuacjach?

TAK: a zatem H3 jest wnioskiem logicznym z P

(mamy pewność co do braku winy Stanisława)

PRZYKŁAD:

Przesłanki to: p⇒q, r⇒q, p∨r.

Hipoteza: q

PRZYKŁAD:

Przesłanki to: p⇒q, ¬p

Hipoteza: ¬q

PRZYKŁAD:

Przesłanki to: p, ¬q⇒¬p, q⇔(r∨s), ¬r

Hipoteza: s

KROK 1. Kiedy prawdziwe są wszystkie przesłanki?

KROK 2: Jak się wtedy zachowuje nasza hipoteza?

PODSUMOWANIE:

• Ogólny cel: „transmisja” wiedzy od przesłanek do wniosków.

• Zakładamy prawdziwość przesłanek - chcemy uzasadnić prawdziwość hipotez (wniosków)

• Pytamy: czy prawdziwość przesłanek „wymusza” prawdziwość hipotezy?

OGÓLNY PRZEPIS:

1. Zidentyfikować te wartościowania (światy) przy których prawdziwe są wszystkie przesłanki P.

2. Sprawdzić, czy we wszystkich tych światach prawdziwa jest hipoteza H.

TAK - H jest konsekwencją logiczną P

NIE - H nie jest konsekwencją logiczną P

PRZYKŁAD

Osoba O otrzymała następujące instrukcje:

(A) Kup pietruszkę lub rzodkiewkę lub szczypiorek.

(B) Jeśli kupisz pietruszkę to nie kupuj nic innego.

(C) Nie kupuj jednocześnie rzodkiewki i szczypiorku.

Osoba O postąpiła zgodnie z instrukcjami.

Co można stąd wywnioskować:

H1. Osoba O kupiła rzodkiewkę lub szczypiorek.

H2. Jeśli osoba O kupiła szczypiorek, to nie kupiła pietruszki.

H3. Osoba O kupiła dokładnie jedną rzecz.

H4. Nie jest prawdą, że osoba O kupiła pietruszkę.

H5. Jeśli osoba O kupiła rzodkiewkę, to nie kupiła nic innego.

SCHEMAT DZIAŁANIA:

KROK 1: w jakich sytuacjach O postąpiła zgodnie z instrukcjami?

KROK 2 - dla każdej hipotezy H z osobna:

• czy we wszystkich tych sytuacjach prawdziwa jest H?

→ jeśli TAK: mamy pewność że H jest prawdziwa

→ jeśli NIE: nie mamy pewności - nie ma konsekwencji logicznej

ZAGADKI:

PRZYKŁAD: Dziwna wyspa:

1. „Na wyspie jest złoto wtedy i tylko wtedy gdy jestem rycerzem”

1) czy jest złoto?

2) kim jest rozmówca?

2. „Jeśli jestem rycerzem, to zjem swój kapelusz”

1) kto to jest?

2) czy zje kapelusz?

3. „Jestem łotrem lub 2+2=4”

Kto to jest?

---