Całkowanie numeryczne

Całkowanie numeryczne przeprowadzamy wtedy, gdy niemożliwe jest znalezienie analitycznej postaci funkcji pierwotnej do funkcji całkowanej (lub gdy nie potrafimy tego zrobić ). Oczywiście całkowanie numeryczne daje nam całkę oznaczoną, czyli liczbę będącą wartością całki oznaczonej w granicach, w których całkujemy.

Przedstawiona zostanie tutaj metoda całkowania, zwana metodą trapezów. Oparta jest ona na interpretacji graficznej całki. Otóż całkę można interpretować jako pole powierzchni pod krzywą, będącą wykresem funkcji podcałkowej, jak na rysunku.

Jeżeli pole pod krzywą podzielimy na wąskie paski, a krzywą przybliżymy linią łamaną o punktach załamania na granicach pasków, to każdy pasek przyjmie kształt trapezu. Suma pól tych trapezów jest (w mniejszym lub większym przybliżeniu) równa polu pod krzywą, czyli wartością całki.

Pole wybranego trapezu (pomiędzy punktami na osi 0X — x_i a x_i+1) wynosi:

.

Naszym zadaniem będzie policzenie całki:

,

przyjmując krok całkowania (odległość pomiędzy kolejnymi punktami x_i i x_i+1) równy 0,001.

Realizacja tego zadania w arkuszu kalkulacyjnym jest bardzo prosta.

1. Na arkusz wprowadzamy tabelkę funkcji podcałkowej (kolumny A i B na obrazku).

2. W kolejnej kolumnie (na obrazku kolumna C) liczymy powierzchnie pasków według podanego wcześniej wzoru na pole trapezu. Wartość pierwszej komórki w kolumnie C dajemy równą 0, a następnie liczymy w kolejnej komórce pole paska, jak w formule widocznej w pasku formuły. Formułę tę kopiujemy wzdłuż kolumny.

3. Pozostaje już tylko zsumować te paski, co na obrazku zostało zrobione w komórce D2. I to jest nasza szukana wartość całki oznaczonej.

Ograniczenia metody:

1. Funkcja podcałkowa musi być określona na całym przedziale całkowania (żadnych punktów osobliwych, wybuchania do plus czy minus nieskończoności).

2. Funkcja musi być ciągła na całym przedziale całkowania (nie może być skoków funkcji). Jeśli istnieją punkty nieciągłości, to musimy podzielić obszar całkowania na podobszary ciągłe i je całkować, a później dodajemy te całki do siebie.

3. Funkcja musi być gładka na obszarze całkowania (tzn. musi mieć ciągła pochodną — nie może być punktów załamania, „ostrych kantów” na wykresie). Jeśli ten warunek nie jest spełniony, to postępujemy jak w punkcie 2., tzn. dzielimy odpowiednio obszar całkowania na podobszary.

4. Funkcja musi być dostatecznie wolnozmienna. Nie może być szybkich zmian wartości funkcji, których nie dałoby się uchwycić podziałem na paski, bo wtedy całkowanie nie ma sensu — nie dostaniemy poprawnej wartości.

UWAGA: Czasami jest tak, że w pewnym punkcie (zazwyczaj na brzegach przedziału całkowania) funkcja podcałkowa „matematycznie” ma określoną wartość, ale arkusz kalkulacyjny nie może jej obliczyć i podaje np. błąd dzielenia przez zero czy błąd liczby spoza zakresu dziedziny którejś z funkcji we wzorze funkcji podcałkowej (tak jest w naszym przypadku na obu końcach przedziału całkowania — zarówno w punkcie 0 jak i w punkcie 1). Wtedy albo w tych punktach podajemy explicite wartość funkcji, albo liczymy ją dla bardzo bliskiego punktu (dużo bliższego niż krok całkowania).

Istnieją jeszcze inne metody całkowania (np. metoda Simpsona czy metoda Romberga),ale przedstawiona wyżej jest najprostsza do zastosowania.

---