Niepewność pomiaru Rozrzut wartości (szerokość przedziału), wewnątrz którego można usytuować wartość wielkości mierzonej. Nie może być ona wyznaczona całkiem dokładnie. Można ją oszacować. Pomiary są zawsze obarczone jakąś niepewnością. Nie wynika to z niedoskonałości aparatury i zmysłów obserwatora, ale jest nieodłączną cechą każdego pomiaru. Składa się na nią zwykle wiele czynników.
Długość; masa; czas sekunda; natężenie prądu amper A; Światłość kandela cd
Temperatura termodynamiczna kelwin K; Ilość materii mol
Statystyka- nauka o metodach pozyskiwania, prezentacji i analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe. Zajmuje się obserwacją świata lub posługuje się eksperymentem dla potwierdzenia swoich teorii. Badanie przebiega według schematu: zebranie dużej ilości danych, ich analiza i interpretacja. Potrzebny jest wtedy zestaw narzędzi - sprawdzonych metod, które umożliwią operowanie na dużych zbiorach danych.
Pomiar wszystkie czynności związanie z ustaleniem wielkości fizycznej
Wielkości proste bezpośredni, jednokrotny pomiar jednym przyrządem
Wielkości złożone musimy jednocześnie dokonać kilku pomiarów prostych
Błędy: Grube muszą być eliminowane, Systematyczne wiemy skąd się biorą, Przypadkowe niewielkie, zawsze, wiemy skąd, nie możemy tego kontrolować
Metoda zmiany znaku dla błędów systematycznych. Metoda zastępowania. Tabela poprawek.
Błąd bezwzględny: wartość pomiaru-wartość dokładna
Błąd względny: błąd bezwzględny/wartość dokładna
Wynik pomiary=wielkość otrzymana z pomiaru i błąd bezwzględny
Wartość dokładna=średnia z n pomiarów Xo
Teoria błędów przypadkowych Gaussa
Xi-wartość konkretnego pomiaru i=1,2,3…n
Nk-ilość pomiarów z takim samym wynikiem
Ʃ Nk=N - ilość wszystkich pomiarów
Nk/N - prawdopodobieństwo, że wynik będzie równy Nk
Ʃ|Xi-Xo|-suma wartości bezwzględnych błędu
Ʃ(Xi-Xo)^2/N - miara błędu na pomiar wariancja
Pierwiastek z wariancji=odchylenie standardowe
Na dole N-1 - odchylenie dla średniej
Y=x(z daszkiem)± σ
Miejsce znaczące: pierwsza cyfra po zerze
Najpierw błąd pomiaru do drugiego miejsca znaczącego, zaokrąglamy do pierwszego, 10%, ja więcej to błędy zawsze do góry, pomiar jedno miejsce dalej niż błąd (jak przed 5 nieparzysta to do góry)
(Δx)max * 100%/xmax = klasa dokładności mierników
Δx-błąd bezwzględny xmax-granica zakresu pomiarowego
Błąd względny=bezwzględny/wartość dokładna
Błąd paralaksy-błąd punktu widzenia
Współczynnik korelacji liniowej Pearsona
korelacja dodatnia-wzrostowi x towarzyszy wzrost y (+)
równanie regresji liniowej - równanie funkcji prostej, które określa zbieżność między dwiema cechami (jeśli proste się przetną jest zbieżność)
r=sgn(a)pierwiastek(|a||A|) [-1,1]
r-współczynnik korelacji; sgn(a)-signum współczynnika liniowego a, czyli znak a (+,-); |a||A|-iloczyn wartości współczynników
Im bliżej 1 lub -1 tym większa zbieżność cech; r=0-brak wpływu cech
y=ax+b; x=Ay+B; a=nƩxy-Ʃx*Ʃy/nƩx^2-(Ʃx)^2 n-liczba przypadków
b=Ʃy-aƩx/n; A=nƩxy-Ʃx*Ʃy/nƩy^2-(Ʃy)^2; B=Ʃx-AƩy/n
Skala Porządkowa: kodowanie musi zachować odrębność i porządek obiektów. Np. Wykształcenie: średnie, wyższe, itd.
Skala Interwałowa (przedziałowa): kodowanie musi zachować odrębność, porządek I równość przedziałów, wymagana stała jednostka pomiarów, brak zera bezwzględnego. Np. Temperatura w Celsjuszach
Skala Ilorazowa (stosunkowa): kodowanie zachowuje odrębność, porządek I równość przedziałów i stosunków między przedziałami. Jest zero bezwzględne. Np. Czas: minuty i sekundy, wysokość skoku w cm.
Szereg Statystyczny: zbiór wyników obserwacji uporządkowanych według określonych cech (kryteriów), których miernikiem są zmiennie.
Budowa szeregów statystycznych:
Szeregi proste i rozdzielcze (rozdzielcze od-do)
Szeregi czasowe (Np. Urodził się, żył, zmarł)
Szeregi przestrzenne
Szeregi rzeczowe
Szereg Rozdzielczy: uporządkowany (według przyjętych kryteriów) zbiór informacji dotyczących badanej cechy występujących w określonej zbiorowości lub próbie. Otrzymuje się go dzieląc zbiorowość statystyczną na klasy zbiorcze według pewnej cechy i podając liczebność każdej z tych klas, zwane liczebnościami klasowymi Np. I=1,2,3…,k
Szeregi rozdzielcze mogą dotyczyć zarówno cechy jakościowej jak i ilościowej
Charakteryzują one strukturę danej zbiorowości stąd nazwane są czasem szeregami strukturalnymi.
Miary: miary klasyczne do których zalicza się: średnią arytmetyczną, harmoniczną i geometryczną
Miary pozycyjne: do których zalicza się dominantę i kwantyle, przy czym szczególnie wyróżnia się medianę, czyli kwartyl drugi. Oprócz kwartyli wyróżnia się również decyle, percentyle, itp. Zwane ogólnie kwantylami.
Miary Tendencji Centralnej:
Kwantyle; Mediana; Dominanta; Średnia Arytmetyczna
Średnia Arytmetyczna: Wartość cechy którą posiadałaby każda jednostka zbiorowości, gdyby podział sumy wartości cech był równomierny, tzw. U każdej jednostki zbiorowości występowałaby ta sama wartość i cechy. Jest ona miarą prawidłową jedynie w odniesieniu do zbiorowości jednorodnych, o niewielkim zróżnicowaniu zmiennej. Nie należy jej stosować w przypadku rozkładów skrajnie ekstremalnych, bimodalnych i wielomodalnch. Nie oblicza się jej też w przypadku, gdy występują wartości skrajne. Nie należy jej stosować dla szeregu o otwartych przedziałach, jeśli przedziały te charakteryzują się dużą liczebnością.
Miary Procentowe:
Kwartale podział na 4 grupy po 25% wyników
Decyle podział na 10 grup po 10% wyników
Percentyle podział na 100 grup
2 kwartyle=mediana; 4 kwartyle=maximum
Mediana: Wartość środkowa; jeśli uporządkujemy dane od wartości najmniejszej do największej to mediana jest tą wartością, która dzieli rozkład na pół.
Dominanta (moda): wartość typowa, występująca najczęściej.
Miary zmienności (rozproszenia, dyspersji, zróżnicowania):
Rozstęp (różnica między max a min); Wariancja; Odchylenie Standardowe; Współczynnik zmienności.
Wariancja: suma różnic pomiędzy wartościami obserwacji a średnią dla całej grupy podniesiona do kwadratu i podzieloną przez liczbę obserwacji minus 1. Miara przeciętnego kwadratu błędu, który popełniamy, przewidując wartość obserwacji na podstawie średniej arytmetycznej. Im większa jej wartość tym większe zróżnicowanie badanej cechy.
Odchylenie Standardowe: średnia wartość wszystkich odchyleń od średniej.
Współczynnik Zmienności: stosunek wartości miary dyspersji do średniej, współczynnik zmienności oparty na odchyleniu standardowym postaci, oblicza się go również dla odchylenia ćwiartkowego.
Niepewność pomiaru Rozrzut wartości (szerokość przedziału), wewnątrz którego można usytuować wartość wielkości mierzonej. Nie może być ona wyznaczona całkiem dokładnie. Można ją oszacować. Pomiary są zawsze obarczone jakąś niepewnością. Nie wynika to z niedoskonałości aparatury i zmysłów obserwatora, ale jest nieodłączną cechą każdego pomiaru. Składa się na nią zwykle wiele czynników.
Długość; masa; czas sekunda; natężenie prądu amper A; Światłość kandela Cd; temperatura termodynamiczna kelwin K; Ilość materii mol
Statystyka- nauka o metodach pozyskiwania, prezentacji i analizy danych opisujących zjawiska, w tym masowe. Zajmuje się obserwacją świata lub posługuje się eksperymentem dla potwierdzenia swoich teorii. Badanie przebiega według schematu: zebranie dużej ilości danych, ich analiza i interpretacja. Potrzebny jest wtedy zestaw narzędzi - sprawdzonych metod, które umożliwią operowanie na dużych zbiorach danych.
Pomiar wszystkie czynności związanie z ustaleniem wielkości fizycznej
Wielkości proste bezpośredni, jednokrotny pomiar jednym przyrządem
Wielkości złożone musimy jednocześnie dokonać kilku pomiarów prostych
Błędy: Grube muszą być eliminowane, Systematyczne wiemy skąd się biorą, Przypadkowe niewielkie, zawsze, wiemy skąd, nie możemy tego kontrolować
Metoda zmiany znaku dla błędów systematycznych. Metoda zastępowania. Tabela poprawek.
Błąd bezwzględny: wartość pomiaru-wartość dokładna
Błąd względny: błąd bezwzględny/wartość dokładna
Wynik pomiary=wielkość otrzymana z pomiaru i błąd bezwzględny
Wartość dokładna=średnia z n pomiarów Xo
Teoria błędów przypadkowych Gaussa
Xi-wartość konkretnego pomiaru i=1,2,3…n
Nk-ilość pomiarów z takim samym wynikiem
Ʃ Nk=N - ilość wszystkich pomiarów
Nk/N - prawdopodobieństwo, że wynik będzie równy Nk
Ʃ|Xi-Xo|-suma wartości bezwzględnych błędu
Ʃ(Xi-Xo)^2/N - miara błędu na pomiar wariancja
Pierwiastek z wariancji=odchylenie standardowe
Na dole N-1 - odchylenie dla średniej
Y=x(z daszkiem)± σ
Miejsce znaczące: pierwsza cyfra po zerze
Najpierw błąd pomiaru do drugiego miejsca znaczącego, zaokrąglamy do pierwszego, 10%, ja więcej to błędy zawsze do góry, pomiar jedno miejsce dalej niż błąd (jak przed 5 nieparzysta to do góry)
(Δx)max * 100%/xmax = klasa dokładności mierników
Δx-błąd bezwzględny xmax-granica zakresu pomiarowego
Błąd względny=bezwzględny/wartość dokładna
Błąd paralaksy-błąd punktu widzenia
Współczynnik korelacji liniowej Pearsona
korelacja dodatnia-wzrostowi x towarzyszy wzrost y (+)
równanie regresji liniowej - równanie funkcji prostej, które określa zbieżność między dwiema cechami (jeśli proste się przetną jest zbieżność)
r=sgn(a)pierwiastek(|a||A|) [-1,1]
r-współczynnik korelacji; sgn(a)-signum współczynnika liniowego a, czyli znak a (+,-); |a||A|-iloczyn wartości współczynników
Im bliżej 1 lub -1 tym większa zbieżność cech; r=0-brak wpływu cech
y=ax+b; x=Ay+B; a=nƩxy-Ʃx*Ʃy/nƩx^2-(Ʃx)^2 n-liczba przypadków
b=Ʃy-aƩx/n; A=nƩxy-Ʃx*Ʃy/nƩy^2-(Ʃy)^2; B=Ʃx-AƩy/n
Skala Porządkowa: kodowanie musi zachować odrębność i porządek obiektów. Np. Wykształcenie: średnie, wyższe, itd.
Skala Interwałowa (przedziałowa): kodowanie musi zachować odrębność, porządek I równość przedziałów, wymagana stała jednostka pomiarów, brak zera bezwzględnego. Np. Temperatura w Celsjuszach
Skala Ilorazowa (stosunkowa): kodowanie zachowuje odrębność, porządek I równość przedziałów i stosunków między przedziałami. Jest zero bezwzględne. Np. Czas: minuty i sekundy, wysokość skoku w cm.
Szereg Statystyczny: zbiór wyników obserwacji uporządkowanych według określonych cech (kryteriów), których miernikiem są zmiennie.
Budowa szeregów statystycznych:
Szeregi proste i rozdzielcze (rozdzielcze od-do)
Szeregi czasowe (Np. Urodził się, żył, zmarł)
Szeregi przestrzenne; Szeregi rzeczowe
Szereg Rozdzielczy: uporządkowany (według przyjętych kryteriów) zbiór informacji dotyczących badanej cechy występujących w określonej zbiorowości lub próbie. Otrzymuje się go dzieląc zbiorowość statystyczną na klasy zbiorcze według pewnej cechy i podając liczebność każdej z tych klas, zwane liczebnościami klasowymi Np. I=1,2,3…,k
Szeregi rozdzielcze mogą dotyczyć zarówno cechy jakościowej jak i ilościowej
Charakteryzują one strukturę danej zbiorowości stąd nazwane są czasem szeregami strukturalnymi.
Miary: miary klasyczne do których zalicza się: średnią arytmetyczną, harmoniczną i geometryczną
Miary pozycyjne: do których zalicza się dominantę i kwantyle, przy czym szczególnie wyróżnia się medianę, czyli kwartyl drugi. Oprócz kwartyli wyróżnia się również decyle, percentyle, itp. Zwane ogólnie kwantylami.
Miary Tendencji Centralnej:
Kwantyle; Mediana; Dominanta; Średnia Arytmetyczna
Średnia Arytmetyczna: Wartość cechy którą posiadałaby każda jednostka zbiorowości, gdyby podział sumy wartości cech był równomierny, tzw. U każdej jednostki zbiorowości występowałaby ta sama wartość i cechy. Jest ona miarą prawidłową jedynie w odniesieniu do zbiorowości jednorodnych, o niewielkim zróżnicowaniu zmiennej. Nie należy jej stosować w przypadku rozkładów skrajnie ekstremalnych, bimodalnych i wielomodalnch. Nie oblicza się jej też w przypadku, gdy występują wartości skrajne. Nie należy jej stosować dla szeregu o otwartych przedziałach, jeśli przedziały te charakteryzują się dużą liczebnością.
Miary Procentowe:
Kwartale podział na 4 grupy po 25% wyników
Decyle podział na 10 grup po 10% wyników
Percentyle podział na 100 grup
2 kwartyle=mediana; 4 kwartyle=maximum
Mediana: Wartość środkowa; jeśli uporządkujemy dane od wartości najmniejszej do największej to mediana jest tą wartością, która dzieli rozkład na pół.
Dominanta (moda): wartość typowa, występująca najczęściej.
Miary zmienności (rozproszenia, dyspersji, zróżnicowania):
Rozstęp (różnica między max a min); Wariancja; Odchylenie Standardowe; Współczynnik zmienności.
Wariancja: suma różnic pomiędzy wartościami obserwacji a średnią dla całej grupy podniesiona do kwadratu i podzieloną przez liczbę obserwacji minus 1. Miara przeciętnego kwadratu błędu, który popełniamy, przewidując wartość obserwacji na podstawie średniej arytmetycznej. Im większa jej wartość tym większe zróżnicowanie badanej cechy.
Odchylenie Standardowe: średnia wartość wszystkich odchyleń od średniej.
Współczynnik Zmienności: stosunek wartości miary dyspersji do średniej, współczynnik zmienności oparty na odchyleniu standardowym postaci, oblicza się go również dla odchylenia ćwiartkowego.