Rachunek prawdopodobieństwa jest działem matematyki, który zajmuje się wykrywaniem i badaniem praw rządzących zdarzeniami losowymi.

Podstawowe pojęcia

Doświadczenie losowe - doświadczenie, wynik którego nie jesteśmy w stanie z góry określić, eksperyment, który może być powtarzany wielokrotnie w tych samych warunkach i prowadzi do jednego z możliwych wyników. Wyniki doświadczeń losowych nazywamy zdarzeniami losowymi.

Zdarzenie elementarne - pierwotnym pojęciem rachunku prawdopodobieństwa.

Zbiór zdarzeń elementarnych - zbiór
.

Przestrzeń próby - zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia losowego (eksperymentu). Są to wszystkie podzbiory zbioru
, łącznie ze zbiorem pustym
, oraz zbiorem pełnym (zawierającym wszystkie elementy
).

Zdarzenie pewne - zachodzi zawsze (zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych,
)

Zdarzenie niemożliwe - nie zachodzi nigdy (zbiór niezawierający żadnego zdarzenia elementarnego,
).

Niezależność zdarzeń

Zdarzenia losowe A i B są niezależne, wtedy i tylko wtedy, gdy
.

W przeciwnym wypadku zdarzenia nazywamy zależnymi.

Definicje prawdopodobieństwa

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (P. Laplace, 1812)

Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A nazywamy stosunek liczby zdarzeń elementarnych sprzyjających zaistnieniu zdarzenia A do liczby wszystkich zdarzeń elementarnych.

Definicja ta jest oparta na następujących założeniach:

- zbiór zdarzeń elementarnych ma skończoną liczbę elementów.

- wszystkie zdarzenia elementarne są „jednakowo możliwe”.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa nie może być stosowana, gdy zbiór zdarzeń elementarnych jest nieskończony lub zdarzenia elementarne nie są „jednakowo możliwe”.

Geometryczna definicja prawdopodobieństwa

Jeśli zbiór wszystkich możliwych zdarzeń jest nieskończony można skorzystać z tzw. geometrycznej definicji prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo jest ilorazem dwóch miar w przestrzeni jedno-, dwu- lub trzywymiarowej (miary te mogą być długość, pole, objętość).

Częstościowa definicja prawdopodobieństwa (R. von Mises, 1931)

W praktyce nie zawsze znana jest liczebność zbioru zdarzeń elementarnych lub liczba zdarzeń sprzyjających. Wtedy można skorzystać z tzw. częstościowej definicji prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest to granica częstości tego zdarzenia, gdy liczba doświadczeń n dąży do nieskończoności, tzn,

Korzystanie z tej definicji wymaga nieskończenie wiele doświadczeń, a ponadto nie wiadomo czy granica ta istnieje.

Dobrym przybliżeniem nieznanej wartości prawdopodobieństwa dla dużych prób losowych jest częstość względna z próby (tzw. wskaźnik struktury)

Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa (A. N. Kołmogorow, 1933).

Niech Ω oznacza zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych, zaś X - wszystkie możliwe do utworzenia podzbiory zbioru Ω. Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję, która każdemu zdarzeniu
przyporządkowuje liczbę P(A), zwaną prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A, w taki sposób, aby spełnione były następujące warunki:

1. Wartość prawdopodobieństwa zawiera się w przedziale
   .

2. Prawdopodobieństwo zdarzenia pewnego wynosi 1.

.

3. Jeśli zdarzenia
wykluczają się parami (tj.
dla
), to prawdopodobieństwo sumy tych zdarzeń jest równe sumie ich prawdopodobieństw.

Z trzech w/w aksjomatów wynikają następujące wnioski:

1. Prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego jest równe 0.

2. Suma prawdopodobieństw zdarzenia A i zdarzenia przeciwnego do A jest rowne 1.

Zadania:

1. Rzucamy symetryczną monetą trzy razy.

a) Zapisz zbiór zdarzeń elementarnych tego doświadczenia.

b) Oblicz prawdopodobieństwo następujących zdarzeń:

A - Reszka wypadnie 2 razy;

B - Reszka i orzeł wypadną na przemian;

C - Wypadnie więcej niż jedna reszka;

D - W pierwszym rzucie wypadnie reszka.

2. Rzucamy trzykrotnie monetą. Niech A oznacza zdarzenie - otrzymane wyniki nie są identyczne, a B - zdarzenie - co najwyżej jedna reszka. Sprawdź czy zdarzenia A i B są niezależne.

3. Z urny zawierającej 6 kul białych i 4 czerwonych losujemy 2 razy po jednej kuli:

a) bez zwracania

b) ze zwracaniem.

Oblicz prawdopodobieństwo, że wśród wylosowanych kul będą 1 biała i 1 czerwona.

4. Z przystanku regularnie odjeżdża autobus co 10 min. Przychodzimy na przystanek w pewnej chwili. Jakie jest prawdopodobieństwo że będziemy czekać na autobus nie dłużej niż 4 min?

Rachunek prawdopodobieństwa - podstawowe pojęcia dr Rumiana Górska

---