Wydział : |
Imię i nazwisko : Paweł Rzadkowski, Jakub Słocki |
rok I |
Grupa 3 |
Zespół IV |
||||||
Pracownia fizyczna I |
Temat ćwiczenia : Wahadło fizyczne, wyznaczanie momentu bezwładności
|
Ćwiczenie nr: 1 |
||||||||
Data wykonania:
|
Data oddania: |
Zwrot do poprawy: |
Data oddania: |
Data zaliczenia: |
Ocena: |
Cel ćwiczenia.
Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z ruchem drgającym wahadła fizycznego, wyznaczanie momentów bezwładności brył sztywnych poprzez pomiar okresu ich drgań.
Wstęp teoretyczny.
Moment bezwładności punktu materialnego o masie m obracającego się wokół osi O w odległości r definiujemy jako:
(1)
Bryłę sztywną można traktować jako ciągły zbiór punktów materialnych o różnych odległościach od osi obrotu. Wobec powyższego moment bezwładności wyraża się następująco:
(2)
Wahadło fizyczne jest to bryła sztywna o masie m zawieszona w punkcie O różnym od środka ciężkości. Wahadło odchylone od pionu o kąt , a następnie puszczone swobodnie będzie wykonywać pod wpływem momentu siły ciężkości drgania zwane ruchem wahadłowym. Moment tej siły dla wychylenia , jest równy mgasin. Ruch ten opisuje II zasada dynamiki dla ruchu obrotowego, zgodnie z którą iloczyn momentu bezwładności I i przyspieszenia kątowego jest równy działającemu momentowi siły, czyli:
(3)
Siła mgsin jest zawsze skierowana przeciwnie do kierunku wychylenia - stąd znak minus we wzorze.
Jeżeli rozpatrujemy ruch dla małych kątów wychylenia ( mniejsze od 7 stopni) to sinus kąta można zastąpić samym kątem w mierze łukowej, ponieważ sin. Zatem równanie (3) przyjmuje postać:
(4)
Rozwiązaniem tego równania jest ruch harmoniczny prosty:
(5)
m (amplituda), (faza) - zależą od warunków początkowych. Okres drgań T związany bezpośrednio z częstością 0 wynosi:
(6)
IO jest momentem bezwładności bryły względem osi obrotu przechodzącej przez punkt zawieszenia O. Związek między IO i IS (momentem bezwładności względem środka ciężkości) wynika z tw. Steinera:
(7)
Tabele pomiarów.
pręt |
|
pierścień |
|||||
masa [kg] |
dł. l [m] |
dł. a [m] |
|
masa [kg] |
Rw [m] |
RZ [m] |
dł. b [m] |
|
|
|
|
|
|
|
|
il. wahnięć - n |
czas - t [s] |
|
il. wahnięć - n |
czas - t [s] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
podpis: .................................................................................................................
Przyczyny powstania błędów pomiarowych.
Błędy pomiarowe mogły powstać w wyniku:
a) niedoskonałości ludzkich zmysłów (opóźnione lub przedwczesne wystartowanie i zatrzymywanie stopera);
b) potrącenia stolika, na którym stał statyw przez sąsiednią grupę przeprowadzającą ćwiczenie (co mogło spowodować zakłócenie wahań brył);
c) zarówno pręt jak i pierścień nie były jednorodnymi i symetrycznymi bryłami (co zmienia położenie środka ciężkości oraz czyni wzory standardowe na moment bezwładności IS jedynie przybliżonymi);
Oszacowanie błędów pomiaru czasu.
|
|
pręt |
|
|
pierścień |
|
|
|
Nr pom. |
Ilość wahnięć |
czas [s] |
okres wahnięcia [s] |
|
Nr pom. |
Ilość wahnięć |
czas [s] |
okres wahnięcia [s] |
|
n |
t |
T |
|
|
n |
t |
T |
1 |
20 |
26.60 |
1.330000 |
|
1 |
20 |
22.05 |
1.102500 |
2 |
20 |
26.75 |
1.337500 |
|
2 |
30 |
33.10 |
1.103333 |
3 |
30 |
40.16 |
1.338667 |
|
3 |
20 |
23.12 |
1.156000 |
4 |
40 |
53.44 |
1.336000 |
|
4 |
20 |
22.87 |
1.143500 |
5 |
20 |
26.65 |
1.332500 |
|
5 |
40 |
44.69 |
1.117250 |
6 |
40 |
53.91 |
1.347750 |
|
6 |
20 |
22.74 |
1.137000 |
7 |
30 |
40.11 |
1.337000 |
|
7 |
20 |
22.90 |
1.145000 |
8 |
70 |
93.81 |
1.340143 |
|
8 |
40 |
44.81 |
1.120250 |
9 |
40 |
53.60 |
1.340000 |
|
9 |
30 |
33.69 |
1.123000 |
10 |
40 |
53.66 |
1.341500 |
|
10 |
30 |
33.84 |
1.128000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
wartość średnia [s]: |
|
|
1.338106 |
|
wartość średnia [s]: |
|
|
1.127583 |
całkowity błąd pomiaru [s]: |
|
|
0.001548 |
|
całkowity błąd pomiaru [s]: |
|
|
0.005629 |
odchylenie stand. poj. pomiaru [s]: |
|
|
0.004896 |
|
odchylenie stand. poj. pomiaru [s]: |
|
|
0.017801 |
Błędy pozostałych mierzonych wielkości są zaznaczone w tabeli pomiarów.
Długość a jest to odległość osi obrotu od środka ciężkości. W przypadku pierścienia długość a określona jest przez RZ - b.
Obliczenie momentu bezwładności.
1. Na podstawie doświadczenia.
Po przekształceniu wzoru (6) celem obliczenia I0 mamy:
(8)
Podstawiając do wzoru (8) wartości zmierzone (za T podstawiamy wartość średnią) otrzymujemy:
pręt |
pierścień |
I0 = 0.0818557 [kg m2] |
I0 = 0.0497898 [kg m2] |
Bezwzględny błąd policzonych wielkości otrzymamy ze wzorów:
(9)
Podstawiając odpowiednie wartości otrzymujemy:
pręt |
pierścień |
IO= 0.0003734 [kg m2] |
IO = 0.0006141 [kg m2] |
Aby policzyć moment bezwładności względem środka ciężkości wykorzystujemy tw. Steinera (7):
(10)
Podstawiając do wzoru (10) otrzymujemy:
pręt |
pierścień |
IS = 0.0312626 [kg m2] |
IS = 0.0275638 [kg m2] |
Błąd przeniesiony na wartość IS wynosi (rachunki analogiczne):
pręt |
pierścień |
IS = 0.0005296 [kg m2] |
IS = 0.0006916 [kg m2] |
2. Na podstawie przewidywań teoretycznych.
Wzór na moment bezwładności pręta względem środka ciężkości ma postać:
(11)
Natomiast pierścienia:
(12)
Podstawiając do wzorów (11) i (12) otrzymujemy:
pręt |
pierścień |
IS = 0.0313593 [kg m2] |
IS = 0.0243645 [kg m2] |
Na podstawie prawa przenoszenia błędów błąd wyniku teoretycznego momentu bezwładności wynosi:
a) dla pręta:
(13)
b) dla pierścienia:
(14)
Po podstawieniu wartości liczbowych mamy następujące wartości błędów:
pręt |
pierścień |
1S = 0.0000958 [kg m2] |
1IS = 0.0002343 [kg m2] |
Zestawienie wyników.
wartości [kg m2] |
pręt |
pierścień |
teoretyczne IS |
0.0314/1/ |
0.0244/3/ |
doświadczalne IS |
0.0313/6/ |
0.0276/7/ |
doświadczalne I0 |
0.0819/4/ |
0.0498/7/ |
W tabeli zamieszczone są wyniki wraz z błędami.
Wartości doświadczalne nie pokrywają się z wartościami teoretycznymi, jednakże różnią się minimalnie w granicach błędów systematycznych.
Sprawozdanie z ćwiczenia laboratoryjnego z fizyki ( pracownia fizyczna I ).
Wykonali: Paweł Rzadkowski, Jakub Słocki.
4