Miara łukowa kąta

Dziedziną funkcji trygonometrycznych jest miara kąta wyrażona za pomocą miary łukowej.

Niech dany będzie kąt miary ၡ . Zakreślamy okrąg o środku będącym wierzchołkiem tego kąta i dowolnym promieniu długości r.
Niech l oznacza długość łuku, który jest częścią wspólną okręgu i obszaru kąta.

Miarą łukową nazywamy stosunek długości otrzymanego łuku do długości promienia.

Jednostki miary łukowej

Radian - to miara takiego kąta środkowego, którego ramiona wycinają z okręgu o środku w jego wierzchołku łuk o długości równej promieniowi tego okręgu.

Radian to kąt, którego miara łukowa wynosi jeden.

Kąt pełny ma miarę 2ၰ radianów, więc 2ၰ rad = 360°

Zależności między miarą stopniową i miarą łukową

 
       
- przelicza radiany na stopnie

Przykłady

rad = (
)⁰ =36⁰

rad =
⁰ = 7,5⁰

rad =
⁰ = 270⁰

=
⁰ = 90⁰

           
- przelicza stopnie na radiany

Przykłady

15⁰ =

75⁰ =

225⁰ =

1' = (
)⁰ =
( 1 minuta =
stopnia)

1⁰ =

Ćwiczenie

Znajdź:

1. miarę łukową kątów : 30⁰, 45⁰, 60⁰, 210⁰

2. miarę stopniową kątów: 3π rad; 6,5π rad;
   rad;
   rad.

Kąty o mierze dodatniej i ujemnej.

Kąt to część płaszczyzny wycięta z niej przez dwie półproste o wspólnym początku. Natomiast kątem skierowanym nazywamy uporządkowana parę półprostych o wspólnym początku. Uporządkowana para półprostych to taka para, w której jedną z półprostych uważamy za pierwszy element pary, a drugi - za drugi. Tę pierwszą półprostą nazywamy początkowym ramieniem kąta, druga - końcowym.

Każdemu kątowi skierowanemu można przypisać wiele różnych miar stopniowych. Każda z nich określa, o jaki kąt trzeba obrócić początkowe ramie kąta, żeby pokryło się z ramieniem końcowym. Umawiamy się przy tym, że jeśli obracamy w kierunku przeciwnym do wskazówek zegara, to miara kąta jest dodatnia, a jeśli w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, to miara jest ujemna.

Kąt dodatni np. 30⁰ i kąt 390⁰ kąt ujemny np. -300⁰

Dwie miary stopniowe tego samego kąta skierowanego różnią się o pewna liczbę „pełnych obrotów”, czyli o wielokrotność 360⁰. to samo można powtórzyć dla miary łukowej : każdy kąt skierowany ma nieskończenie wiele miar łukowych, różniących się o wielokrotność 2π.

Jeśli umiejscawiamy kąty skierowane w układzie współrzędnych, to ich wierzchołek leży w początku układu współrzędnych, a ich początkowym ramieniem jest dodatnia półoś osi x.

---