2.I. OPTYMALIZACJA ROZKROJU MATERIAŁU.
Model rozkroju nazywany jest również w literaturze modelem minimalizacji odpadów. Do rozwiązywania tych problemów wykorzystuje się metodę programowania liniowego.
W optymalizacji rozkroju materiału występować mogą następujące przypadki.
Jeden format materiału wyjściowego pociąć można na różne elementy wyrobu złożonego. Określa się możliwe technologicznie strategie rozkroju materiału wyjściowego. Dla każdej strategii określa się wielkość powstającego odpadu. Zadanie formułuje się następująco:
Określić program cięcia zapewniający uzyskanie określonej liczby elementów przy minimalnej wielkości odpadu.
Kilka różnych formatów materiału wyjściowego rozkroić na żądane elementy wyrobu złożonego. Określa się technologicznie możliwe strategie rozkroju dla każdego formatu wyjściowego. Dla każdej strategii określa się wielkość powstającego odpadu. Wtedy zadanie formułuje się następująco: Określić strukturę materiału wyjściowego tak aby uzyskać minimum odpadu przy określonej liczbie elementów.
Dla wymienionych przypadków liniowy model ma następującą postać:
xj ≥ 0
F = 
gdzie:
aij - liczba sztuk elementu „i” otrzymana z jednostki materiału wyjściowego przy danej strategii rozkroju „j”
xj - liczba jednostek materiału wyjściowego, która będzie rozkrojona daną strategią „j”
bi - założona liczba elementów
cj - odpad jednostki materiału wyjściowego przy strategii rozkroju „j”
W skład wyrobu złożonego wchodzą różne elementy w określonych ilościach. Wtedy można optymalizować nie tylko wielkości odpadu, ale również liczbę kompletów (wyrobów złożonych). Mając możliwe technologicznie strategie rozkroju zadanie formułuje się następująco:
Określić program cięcia zapewniający uzyskanie maksymalnej liczby kompletów (wyrobów złożonych) przy określonej liczbie i strukturze materiału wyjściowego.
Dla tego przypadku liniowy model ma następującą postać:
xj ≥ 0
F = xj+1 →max
gdzie:
aij - liczba sztuk elementu „i” otrzymana z jednostki materiału wyjściowego przy danej strategii rozkroju „j”
xj - liczba jednostek materiału wyjściowego, która będzie rozkrojona daną strategią „j”
B - określona wielkość materiału wyjściowego
di - liczba sztuk elementu „i” w jednostce wyrobu złożonego
xj+1 - liczba sztuk wyrobu złożonego (liczba kompletów)
Konkretne przykłady rozkroju.
Na jeden komplet wyrobu składają się:
1 detal typu A
3 detale typu B
5 detali typu C
Detale wycinane są z blachy siedmioma strategiami. W tabeli podano liczbę detali i odpad z jednego arkusza dla każdej strategii cięcia.
Detale |
Strategie rozkroju |
||||||
|
I |
II |
III |
IV |
V |
VI |
VII |
A |
2 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
B |
0 |
1 |
0 |
3 |
2 |
1 |
0 |
C |
0 |
1 |
3 |
0 |
2 |
4 |
6 |
Odpad |
0 |
0,5 |
0,5 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
0,1 |
Ile razy należy zastosować możliwe strategie rozkroju aby otrzymać nie mniej niż 1200 kompletów minimalizując odpady.
Zakład produkujący puszki otrzymuje surowiec o dwóch formatach arkuszy blachy 1,5×1 i 1,8×1. Na komplet wyrobu składają się 2 sztuki denka i 1 ściana boczna. Dla każdego formatu arkusza blachy stosować można trzy strategie rozkroju. W tabeli podano liczbę detali i odpad dla każdego formatu i każdej strategii.
|
Format A |
Format B |
||||
Detale |
strategie rozkroju |
strategie rozkroju |
||||
|
I |
II |
III |
I |
II |
III |
Denko |
70 |
15 |
10 |
30 |
20 |
- |
Ścianka boczna |
- |
20 |
30 |
25 |
30 |
50 |
Odpad |
0,1 |
0,2 |
0,2 |
0,3 |
0,4 |
0 |
Jaką strukturę wsadu należy zamówić aby otrzymać 10000 sztuk puszek przy minimalnym odpadzie.
Modele zadań.
2x1 + x2 + x3 ≥ 1200
x2 + 3x4 + 2x5 + x6 ≥ 3600
x2 + 3x3 + 2x5 + 4x6 + 6x7 ≥ 6000
F = 0,5x2 + 0,5x3 + 0,1x4 + 0,1x5 + 0,1x6 + 0,1x7 → min
x - liczba sztuk blach ciętych daną strategią
70x1 + 15x2 + 10x3 + 30x4 + 20x5 = 20000szt
20x2 + 30x3 + 25x4 + 30x5 + 50x6 = 10000szt
F = 0,1x1 + 0,2x2 + 0,2x3 + 0,3x4 + 0,4x5 →min
Zakład produkuje trzy wyroby, które wycinane są z pręta wyjściowego o długości 5,6 m. długości poszczególnych wyrobów wynoszą: A - 1,2 m.; B - 1,6 m.; C - 1,9 m. Wyprodukować należy nie mniej niż 200 szt. - A; 300 szt. - B; 100 szt. - C. Wyjściowy pręt można ciąć dziewięcioma różnymi strategiami. W tabeli podana jest liczba detali i odpad dla każdej strategii cięcia.
Detale |
Strategie cięcia |
||||||||
|
I |
II |
III |
IV |
V |
VI |
VII |
VIII |
IX |
A |
4 |
- |
1 |
1 |
2 |
3 |
3 |
- |
- |
B |
- |
3 |
- |
1 |
2 |
- |
1 |
2 |
1 |
C |
- |
- |
2 |
1 |
- |
1 |
- |
1 |
2 |
Odpad |
0,8 |
0,8 |
0,6 |
0,9 |
0 |
0,1 |
0,4 |
0,5 |
0,2 |
Jakie strategie cięcia stosować aby otrzymać nie mniej ( lub dokładnie ) niż podana liczba wyrobów przy minimalnym odpadzie. Jak będzie wyglądał model liniowy zadania gdy wprowadzimy dodatkowo. Jakie strategie cięcia zastosować aby zminimalizować odpad przy równoczesnym zmaksymalizowaniu zysku. Zysk na wyrób wynosi: A - 50; B - 200; C - 400.
Będzie to problem z zakresu programowania liniowego wielokryterialnego.
Mamy dwie funkcje kryterium. Pierwsza o postaci jak poprzednio.
F = 0,8x1 + 0,8x2 + 0,6x3 + 0,9x4 + 0,5x5 + 0,1x6 + 0,4x7 + 0,5x8 + 0,2x9 →min
Druga funkcja będzie miała postać.
50*4x1 + 200*3x2 + (50 + 2*400)x3 + (50 + 200+400)x4 + (2*50 + 2*200)x5 + (3*50 + 1*400)x6 + (3*50 + 1*200)x7 + (2*200 + 1*400)x8 + (1*200 + 2*400)x9 → max
Aby zadanie miało rozwiązanie to do układu nierówności z pierwszego przypadku o postaci:
4x1 + x3 + x4 + 2x5 + 3x6 + 3x7 ≥ 200
3x2 + x4 + 2x5 + x7 + 2x8 + x9 ≥ 300
2x3 + x4 + x6 + x8 + 2x9 ≥ 100
należy dodać układ nierówności ograniczających obszar rozwiązań dopuszczalnych od góry wprowadzając ograniczenie wynikające z możliwości produkcyjnych. Produkcja wyrobów ma być nie większa niż A - 400; B - 500; C - 200.
Otrzymane nierówności:
4x1 + x3 + x4 + 2x5 + 3x6 + 3x7 ≤ 400
3x2 + x4 + 2x5 + x7 + 2x8 + x9 ≤ 500
2x3 + x4 + x6 + x8 + 2x9 ≤ 200
Zmieniamy przykład 2.
Zakład produkuje puszki z surowca w postaci dwóch rodzajów blachy: 21500 mb o szerokości 1,5 m. i 14000 mb o szerokości 1,8 m. Z każdej postaci blach wycina się elementy sześcioma strategiami w ilościach podanych w tabeli
Elementy |
Blacha o szerokości 1,5 m. |
Blacha o szerokości 1,8 m. |
||||
|
I |
II |
III |
IV |
V |
VI |
Denko |
70 |
15 |
10 |
30 |
20 |
- |
Ścianka boczna |
- |
20 |
30 |
25 |
30 |
50 |
Zmaksymalizować liczbę otrzymanych puszek wiedząc, że każda puszka ma dwa denka i jedną ściankę boczną.
oznaczenia
X1 → x6 - ilość metrów blachy ciętej daną strategią
X7 - liczba puszek
zapis modelu
x1 + x2 + x3 ≤ 21500
x4 + x5 + x6 ≤ 14000
70x1 + 15x2 + 10x3 + 30x4 + 20x5 = 2x7
20x2 + 30x3 + 25x4 + 30x5 + 50x6 = x7
F = x7 → max
rozwiązanie:
X1 = 20625
X3 = 875
∑ 21500
x6 = 14000
x7 = 726250
Do wyprodukowania drążków o długości A = 0,6 m.; B = 1,5 m. ; C = 2,5 m. , których ilości powinny odpowiadać ilościom A : B : C równym 2 : 1 : 3 przeznacza się 1000 belek o długości 3m. Określić program cięcia zapewniający uzyskanie maksymalnej liczby kompletów. Zastosować można cztery strategie cięcia. Liczby sztuk blach przy każdej strategii podaje tabela.
|
Strategie cięcia |
|||
|
I |
II |
III |
IV |
A |
5 |
2 |
- |
- |
B |
- |
1 |
2 |
- |
C |
- |
- |
- |
1 |
x1 → x4 - liczba belek ciętych daną strategią
x5 - liczba kompletów
x1 + x2 + x3 + x4 ≤ 1000
5x1 + 2x2 = 2x5
x2 + 2x3 = x5
x4 = 3x5
F = x5 → max
Wyszukiwarka