PRAWO KIRCHOFFA i PROMIENIOWANIE CIAŁA CZARNEGO : Dla każdego ciała istnieje cała rodzina krzywych widmowego rozkładu promieniowania W = W() (W - całkowita emisja energetyczna promieniowania). Każda krzywa odpowiada określonej temperaturze. Aby wytłumaczyć przebieg tych krzywych w fizyce rozpatruje się wyidealizowane ciało zwane ciałem doskonale czarnym. Ciało doskonale czarne jest idealnym ciałem, jeśli chodzi o własności związane z promieniowaniem i pochłanianiem. Całkowicie pochłania promieniowanie elektromagnetyczne padające na jego powierzchnie. Tworzone modele ciała dosk. czarnego służą do badania zależności W = W(,T) ; Badania nad modelami doświadczalnymi ciał dosk. czarnych doprowadziły do sformułowania szeregu ważnych praw. m.in. prawa Kirchoffa ( dW wyprom. = dW pochłon. ) które głosi, że stosunek widmowej zdolności emisyjnej W(,T) do widmowej zdolności pochłaniania A(,T) dla każdej długości fali i w każdej temperaturze T jest jednakowy dla wszystkich ciał : W(,T) / A(,T) = E(,T) ; Z tego prawa wynika, że ciało znajdujące się w stanie równowagi termodynamicznej tym silniej absorbuje, im silniej emituje. Dla ciała doskonale czarnego widmowa zdolność pochłaniania (absorbowania) A(,T) = 1 ,co oznacza że ciało doskonale czarne całkowicie pochłania padające promieniowanie. Natomiast zdolność emisyjna c.dosk.cz. EvT = dW wyp./ dv [J/m2] .II. PRAWO STEFANA-BOLTZMANA i WIENA : Prawo Wiena . Ze wzrostem temperatury widmo promieniowania ciała doskonale czarnego przesuwa się w stronę fal krótszych. Oznacza to, że ze wzrostem temperatury długość fali, dla której spektralna zdolność emisyjna jest maksymalna przesuwa się w kierunku niższych wartości. max.T = b = const. [m.*K] T/ max = const. (krzywe) Prawo Stefana-Boltzmana .Strumień energii R* emitowany w całym zakresie spektralnym z jednostki powierzchni ciała doskonale czarnego (tzn. całkowita zdolność emisyjna) jest proporcjonalny do czwartej potęgi temperatury T w skali Kelvina .R*=σ . III. ROZKŁAD PROMIENIOWANIA CIAŁA CZARNEGO WEDŁUG JEANSA i PLANCKA : Wyjaśnienie prw rządzących promieniowaniem ciała doskonale czarnego (a także ciał rzeczywistych ) wymaga przyjęcia, Ze promieniowanie elektromagnetyczne jest emitowane oraz absorbowane w postaci osobnych porcji energii (kwantów) o wartości E = hc / , gdzie h=6,626*10-34 Js jest stałą Plancka, a jest długością emitowanej (absorbowanej) fali. Założenie to oznacza, że energia fali powinna być całkowitą wielokrotnością hc/ : En = nhc / (n=0,1,2, ...) Założenia te pozwoliły na teoretyczne wyznaczenie spektralnej zdolności emisyjnej ciała doskonale czarnego (wzór Plancka) zgodnej z doświadczeniem. Wzór Plancka na zdolność emisyjną c.dosk.cz. : (,T) =( 2c2 / 5 )* ( h / exp (hc/kT) - 1) - długość emitowanej fali elektromagnetycznej ; k - stała Boltzmana h - stała Plancka ; Krzywa teoretyczna otrzymana ze wzoru Plancka jest zgodna z krzywą doświadczalną w ramach błędów doświadczalnych. Energia oscylatora promieniującego nie zależy od temperatury tylko od częstości. - hv - energia kwantu.
. IV.ZJAWISKO FOTOELEKTRYCZNE (FOTOEFEKT) : Po oświetleniu powierzchni katody światłem o częstotliwości v większej niż pewna, charakterystyczna dla danego materiału wartość graniczna v gr , w układzie popłynie prąd elektryczny (tzw. fotoprąd) Pojawienie się fotoprądu jest wywołane emisją elektronów z powierzchni katody. Aby elektron mógł opuścić metal należy dostarczyć mu pewną minimalną wartość energii którą nazywamy pracą wyjścia. W tym przypadku energię tę elektron uzyskuję w wyniiku absorpcji energii fali elektromagnetycznej. Dla większości metali wartość pracy wyjścia jest bliska 4 eV. Przy stałym oświetleniu katody, wzrost różnicy potencjałów pomiędzy katodą a anodą powoduje początkowo wzrost wartości fotoprądu, a następnie wartość fotoprądu ulega nasyceniu. W zakresie nasycenia wartość fotoprądu jest wprost proporcjonalna do oświetlenia powierzchni i nie zależy od innych parametrów. Podsumowując : 1.prędkość elektronów i ich energia jest funkcją tylko częstotliwości V=f(v) E=f(v) (nie zależy od oświetlenia) 2.dla każdej katody istnieje pewna graniczna częstość poniżej której fotoefekt nie nastąpi. 3.Natężenie prądu (ilość elektronów) zależy od oświetlenia. (rys ) .V.ZJAWISKO COMPTONA . jest to zmiana długości fali elektromagnetycznej w wyniku rozpraszania jej na swobodnych elektronach. Zjawisko to można wyjaśnić przyjmując korpuskularny charakter fali elektromagnetycznej ,tzn. przyjmując, że fala elektromagnetyczna o częstotliwości v i długości jest strumieniem cząstek (fotonów) o energii E=hv (E=hc/) i wartości pędu p.=h/ . Wówczas rozpraszanie fali elektromagnetycznej rozpatrywać możemy jako proces zderzania fotonów o pędzie p0f i energii E=hc/0 ze spoczywającymi elektronami. W wyniku tego zderzenia elektron uzyskuje pęd pe ,a pęd fotonu maleje do wartości pf .Tym samym długość rozpraszanej fali elektromagnetycznej zwiększa się do wartości =h/pf . Równocześnie o kąt ulega zmianie kierunek propagacji fali. Zmiana długości fali jest tym większa, im większy jest kąt rozproszenia. Zależność zmiany długości fali od kąta rozpraszania wyznaczyć można wykorzystując prawo zachowania pędu : p.0f = pf + pe oraz prawo zachowania energii hv + mec2 = hv' + Ek ; Zasada zachowania pędu dla dwóch kierunków równoległego i prostopadłego x,y względem kier. Padania fotonu : x: hv/c = (hv'/c) cos + pcos y: 0 =( hv'/c )sin -psin z.z.e. + z.z.p. = (1-cos ) ,gdzie =h/(m0c) Z powyższego wzoru (wzór Comptona) wynika, że zmiana długości fali w zjawisku Comptona nie zależy od energii fotonu padającego, lecz jedynie zależy od kąta jego rozproszenia . .VI. FALE MATERII (FALE DE BROGLIE'A) : L.de Broglie założył, że dualizm cząstkowo-falowy jest własnością charakterystyczną nie tylko dla fali elektromagnetycznej, ale również dla cząstek o masie spoczynkowej różnej od zera. Oznacza to, że cząstki takie jak np. elektron powinny również wykazywać własności falowe. Fale te nazwał on falami materii. Założył, że długość fal materii określona jest tym samym związkiem, który stosuje się do fotonów. Hipoteza de Broglie'a została po raz pierwszy eksperymentalnie potwierdzona w 1924 roku przez .C.J.Davissona i L.G.Germera .Pokazali oni, że elektrony podobnie ja światło, mogą ulegać dyfrakcji. Foton ma energię fali, którą nazywamy kwantem : E=hv Pęd fotonu p.=mc=hv/c=h/ ;foton jest cząstką posiadającą mase m=hv/c2 ,prędkość fotonu c=/T=v
.XI. - RÓWNANIE SCHROEDINGERA : Funkcje falową dla danej cząstki, lub bardziej złożonego układu fizycznego, otrzymujemy rozwiązując równanie różniczkowe nazywane równaniem Schroedingera . Jeżeli energia potencjalna cząstki U nie zależy od czasu, to równanie to jest równaniem niezależnym od czasu i nazywa się stacjonarnym równaniem Schroedingera. Rozwiązanie tego równania jest możliwe tylko dla pewnych wartości energii E, które nazywamy dozwolonymi energiami układu, gdyż tylko takie wartości energii może dany układ fizycznie posiadać. Rozwiązując równanie Schroedingera dla dozwolonych wartości energii E, otrzymujemy funkcje falową (x,y,z) opisujące stany o tych energiach (stany stacjonarne). Stacjonarne równanie Schroedigera jest równaniem na wartości własne operatora energii całkowitej (tzw.operatora Hamiltona) . Równ. : 2m/h2 *(E-U) Stacjonarne równanie Schr. Opisuje własności falowe cząstki. .XII. CZĄSTKA W JAMIE POTENCJAŁU . W przypadku gdy energia potencjalna pola jest równa zero w obszarze [0, l] a poza nim U0 .Taki kształt energii potencjalnej nazywamy jamą (studnią) potencjału. Upraszczając gdy U0 niesk. (nieskończona studnia potencjału) Wtedy dla dowolnej energii E cząstka nie może opuścić jamy potencjału, albo innymi słowy prawdopodobieństwo tego, że cząstka znajduje się poza obszarem [0,l] jest równe zero. W obszarze [0,l] równanie Schroedingera ma postać taką jak dla cząstki swobodnej (gdyż U(x)=0 ) : ( -h2 d2 / 2m dx2 )(x) = E(x) Ponieważ cząstka jest „uwięziona” w jamie potencjału to odpoiadająca jej fala de Broglie'a będzie sumą zarówno fali biegnącej w prawo, Ae+i kx ,jak i w lewo -Be-i kx (A i B stałe). Rozwiązaniem równania Schroedingera jest więc funkcja mająca postać (x) = Csin(kx+) ,gdzie C jest amplitudą, a fazą początkową . Ponieważ otrzymana funkcja falowa musi być funkcją ciągłą, a z drugiej strony jej wartość poza jamą potencjału jest równa zeru, to muszą być spełnione warunki (0)=0 oraz (l)=0 .Warunek pierwszy daje, że =0 ,a drugi kl=n ,gdzie n=+-1,+-2 ... .Podstawiając tak otrzymane wartości k do wzoru na energie E=h2k2 / 2m. otrzymujemy dyskretne wartości energii En dozwolonych stanów cząstki w nieskończonej studni potencjału. Amplitudę C otrzymujemy z warunku normalizacji funkcji falowej.
.XIII.KWANTOWY OSYLATOR HARMONICZNY : Oscylatorem harmonicznym nazywamy czątkę o masie m. która pod działaniem siły sprężystej wykonuje drgania o częstotliwości kątowej własnej 0 wzdłuż pewnego kierunku. .* Klasycznie oscylatorem harmonicznym nazywamy cząstkę o masie m. wykonującą jednowymiarowy ruch pod wpływem sprężystej siły F=-kx ,gdzie k jest współczynnikiem sprężystości. Energia potencjalna cząstki ma wtedy postać U(x)= kx2 / 2 = m2x2 / 2 ,gdzie jest częstością kołową drgań. W mechanice kwantowej zagadnienie drgań oscylatora harmonicznego otrzymujemy rozwiązując równanie Schroedingera, w którym energię potencjalną wstawiamy U(x)= m2x2 / 2 ,czyli : -(h2d2 / 2m. dx2) + (m2x2 / 2) = E Rozwiązując powyższe równianie otrzymujemy energie dozwolonych poziomów energetycznych E=En . W odróżnieniu od cząstki w studni potencjału, odległości miedzy dozwolonymi poziomami energii są stałe i wynoszą h = hv . Najmniejsza możliwa wartość energii oscylatora (np.atomu w sieci krystalicznej) jest różna od zera i wynosi E0=1/2 hv .XIV. EFEKT TUNELOWY (przejście cząstki przez barierę potencjału ) : Jest to zjawisko w którym ujawnia się falowa natura cząstki. Potencjał pola U(x) w jest w postaci tzw. bariery energetycznej (zwanej też barierą potencjału) Ma ona charakter prostokątny o wysokości U i szerokości L U(x) = { 0 dla x<0 ; U dla 0=<x<L ; 0 dla x>= L ; Cząstka (np.elektron) zbliża się do bariery z lewej strony. W przypadku klasycznym, jeżeli energia całkowita cząstki E jest mniejsza niż U cząstka odbija się od bariery i będzie poruszać się z powrotem w kierunku, z którego przybyła. Według mechaniki kwantowej istnieje skończone prawdopodobieństwo tego, że cząstka pojawi się z drugiej strony bariery i będzie kontynuować ruch w prawo. Poprawny opis tunelowania cząstki otrzymuje się z rozwiązania równania Schroedingera z przedstawionym potencjałem U(x). Otrzymana, z rozwiązania równania funkcja falowa służy następnie do wyznaczenia gęstości prawdopodobieństwa znajdowania się cząstki w danym miejscu na osi OX . Gestość prawdopodobieństwa jest równa kwadratowi modułu funkcji falowej ||2 .Taką a nie inną zależność gęstości prawdopodob. Znalezienia cząstki przed, wewnątrz i za barierą możemy intuicyjnie zrozumiec mając na uwadze jej własności falowe. Z lewej strony bariery (x<0), mamy falę poruszającą się w prawo i falę o nieco mniejszym natężeniu poruszającą się w lewo. Te dwie fale (padająca i odbita) nakładają się dając obraz interferencyjny. Z prawej strony bariery (x>L), mamy jedynie falę poruszającą się w prawo o amplitudzie mniejszej niż fala padająca na barierę. Gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki za barierą jest stała, taka jak dla cząstki swobodnej.