Wzory 24

WZORY 24: hipoteza nieparametryczna o niezależności dwóch zmiennych losowych: test chi-kwadrat

x0: ,i=1,..., k, j = 1,..., l, gdy pij = P(X = xi, Y = yj), x1: ,i…j, i=1,...,k,j=1,... l, gdy
Narzędziem weryfikacji hipotezy sprawdzanej x0 jest statystyka :
(24.1)
gdzie
, , ,  lub  lub też , , , , pod warunkiem, że .
Statystyka  określona wzorem (24.1) ma, przy założeniu prawdziwości hipotezy sprawdzanej, rozkład chi-kwadrat określony przez v = (k - 1)(l - 1) stopni swobody.
Zbiorem wartości krytycznych w teście niezależności jest zbiór K={ :   należy do zbioru   }, gdzie  jest wartością odczytaną z tablic rozkładu chi-kwadrat przyjętym poziomie istotności α oraz ustalonej liczbie stopni swobody, która wynosi v = (k - 1)(l - 1).
Jeżeli obliczona wartość statystyki χ^2 znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, to, przyjętym poziomie istotności i ustalonej liczbie stopni swobody, odrzucamy hipotezę sprawdzaną mówiącą o niezależności dwóch zmiennych na rzecz hipotezy alternatywnej mówiącej, że obie zmienne są zależne.
Jeżeli obliczona wartość statystyki χ^2 nie znajdzie się w zbiorze wartości krytycznych K, to, przyjętym poziomie istotności i ustalonej liczbie stopni swobody, nie mamy podstaw do odrzucenia hipotezy sprawdzanej mówiącej o niezależności dwóch zmiennych.
Współczynnik zbieżności V-Cramera
(24.2) , V należy do zbioru <0,1>gdzie [por. wzór (24.1)]
(24.1)
dla
, , ,  lub  lub też  dla , , ,
m = min{k, l}, i = 1,..., k j = 1,..., l
Schemat tablicy roboczej służącej obliczaniu statystyki chi-kwadrat
j:	j = 1,..., j = l	j = 1,..., j = l	j = 1,..., j = l	j = 1,..., j = l	j = 1... j = l	Suma
i = 1
i = k
Suma			0 ... 0	X ... X ... X
Źródło: Zestawienie własne na podstawie podręczników: J. Jóźwiak, J. Podgórski: Statystyka od podstaw, PWE, Warszawa 1998 oraz P. Kuszewski, J. Podgórski: Statystyka, wzory i tablice, Oficyna Wydawnicza SGH, Warszawa 1998.

---