Przykład 1.

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x² na przedziale [-π, π]. .

Wszystkie współczynniki b_n są równe zero (funkcja parzysta).

Liczymy pozostałe współczynniki:

Funkcja spełnia warunki Dirichleta, możemy więc napisać:

Podstawiając w tym wzorze
i pamiętając, że
, otrzymujemy

czyli

Przykład 2.

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję f (x) = x zadaną na przedziale (-π, π).

Wyznaczamy współczynniki szeregu Fouriera:

Funkcja jest nieparzysta, zatem a₀ = 0 i a_m= 0 dla m ∈ N.

A zatem szereg Fouriera funkcji
w przedziale
jest dany wzorem

Uwaga

Z kryterium Dirichleta wynika, że ten szereg jest zbieżny do
na całym przedziale otwartym
Na końcach przedziału suma szeregu wynosi zgodnie z kryterium Dirichleta zero (!).

Przykład 3.

Rozwinąć funkcję f(x) = x zadaną na przedziale [0, π] w szereg Fouriera zawierający same cosinusy.

Jeśli mamy rozwinąć funkcję f(x) = x zadaną na przedziale [0, π] w szereg Fouriera zawierający same cosinusy, to musimy najpierw przedłużyć ją na przedział [-π, π] tak, by dostać funkcję parzystą.

Funkcja przedłużona jest więc określona wzorem

Funkcję
możemy rozszerzyć okresowo na cały zbiór liczb rzeczywistych. Zauważmy, że spełnia ona warunki Dirichleta.

Wyznaczamy współczynniki Fouriera:

Dla

(całkujemy przez części,
)

Zatem, skoro
mamy

Oczywiście b_n = 0, n∈N.

Tak więc szukany szereg ma postać

Przykład 4

Rozwinąć w szereg Fouriera funkcję określoną na przedziale
wzorem

Szereg Fouriera tej funkcji jest jej równy, bo jest ona swoim (skończonym) szeregiem trygonometrycznym.

(Współczynniki szeregu Fouriera są wyznaczone jednoznacznie, zatem jeśli znajdziemy przedstawienie funkcji w postaci szeregu trygonometrycznego, to jest to rozwinięcie w szereg Fouriera).

Szereg Fouriera - przykłady Strona 1 z 3