1. Wymień i krótko opisz poszczególne etapy procesu tworzenia modelu matematycznego. (2p)

• sformułowanie celów modelowania (edukacja, badania)

• wybór typu modelu (cyfrowy-analogowy, ciągły-dyskretny, fizyczny-funkcjonalny)

• określenie struktury modelu (typ zmiennych przepływu, spadku, postać równań)

• wyznaczenie wartości parametrów modelu

• sprawdzenie poprawności formalnej (poprawność logiczna, istnienie rozwiązania, dokładność cyfr znaczących)

2. Podać klasyfikację modeli matematycznych. Wyjaśnić różnicę między modelem liniowym a nieliniowym. (2p)

Ze względu na:

• charakter modelowanego systemu: modele statyczne / dynamiczne

• stosowalność zasady superpozycji: modele liniowe / modele nieliniowe

• charakter zmiennych: modele deterministyczne / modele stochastyczne

• zmienność parametrów modelu: modele stacjonarne / modele niestacjonarne

• czynnik odniesienia: modele ciągłe w czasie / modele dyskretne w czasie

• wartość zmiennych: modele ciągłe w stanie / modele dyskretne w stanie

• liczbę zmiennych niezależnych: modele o parametrach skupionych / rozłożonych

W modelu liniowym możemy zastosować zasadę superpozycji. Wielkość wyjściowa jest sumą członków liniowych wielkości wejściowych.

W modelu nieliniowym zmienna wyjściowa nie jest superpozycją członków liniowych wielkości wejściowych, a ich dowolną kombinacją.

3. Podać równania definicyjne elementów idealnych konserwatywnych (magazynujących energię) w procesach elektrycznych. (4p)

Magazynujące:

• cewka indukcyjna L:
  

• kondensator C:
  

Dysspatywne:

• opór elektryczny R:
  

4. Przekształcić równanie różniczkowe y' - 2y + 5x = 0 w równanie różnicowe wykorzystując algorytm Eulera „wstecz” z okresem próbkowania T = 0,1s. (4p)

5. Jakie warunki musi spełniać układ rzeczywisty (trójwymiarowy) w układzie współrzędnych xyz aby można go było modelować zastępując układem dwuwymiarowym w płaszczyźnie xy? (3p)

Przy założeniu że w kierunku osi z nie występują zmiany: kształtu obszaru, właściwości środowiska ani źródeł pola.

6. Wymienić źródła błędów w metodzie różnic skończonych i podać sposoby ich zmniejszania. Na czym polega iteracyjna metoda rozwiązywania układu równań różnicowych? (4p)

Błędy w metodzie różnic skończonych:

• zastąpienie równania różniczkowego różnicowym - zagęszczenie siatki (zmniejszenie kroku dyskretyzacji)

• dyskretyzacja obszaru - zagęszczenie siatki (zmniejszenie kroku dyskretyzacji)

• przybliżone rozwiązanie układu równań - zwiększenie liczby iteracji

Iteracyjna metoda rozwiązywania równań różnicowych:

Punkt startowy (iteracja 0) węzłom granicznym przypisuje się znane wartości brzegowe, węzłom pozostałym - wartości dowolne. Kolejne iteracje - wartość funkcji polowej w danym węźle obliczana jest jako średnia z wartości funkcji polowej z poprzedniej iteracji dla wszystkich 4 węzłów sąsiadujących z danym węzłem.

Iteracje powtarza się, aż przyrost wartości funkcji w każdym węźle będzie mniejszy od założonej liczby ε

7. Zdefiniować warunki brzegowe dla krawędzi kwadratu o boku 100cm tak, ay zamodelować w jego wnętrzu (µ_r = 1) jednorodne pole magnetostatyczne o natężeniu H = 10 000 A/m i kierunku pokazanym na rysunku. (3p)

1. Podać klasyfikację modeli. Wyjaśnić różnice między modelem stacjonarnym, a niestacjonarnym. (2p)

Ze względu na:

• charakter modelowanego systemu: modele statyczne / dynamiczne

• stosowalność zasady superpozycji: modele liniowe / modele nieliniowe

• charakter zmiennych: modele deterministyczne / modele stochastyczne

• zmienność parametrów modelu: modele stacjonarne / modele niestacjonarne

• czynnik odniesienia: modele ciągłe w czasie / modele dyskretne w czasie

• wartość zmiennych: modele ciągłe w stanie / modele dyskretne w stanie

• liczbę zmiennych niezależnych: modele o parametrach skupionych / rozłożonych

Model stacjonarny ma stałe współczynniki.

Model niestacjonarny ma współczynniki zmienne w czasie, np.: nagrzewanie elementów, procesy starzenia.

2. Wymień i omów fazy symulacji komputerowej. (2p)

• konstruowanie modelu:

• określenie celów modelowania

• wybór kategorii modelu

• określenie struktury modelu

• sprawdzenie poprawności formalnej

• komputerowa realizacja modelu:

• przekształcenie układu równań w program komputerowy (symulacyjny)

• uruchomienie programu symulacyjnego (usuniecie błędów)

• weryfikacja modelu:

• porównanie wyników modelowania z zachowaniem się systemu rzeczywistego,

• sprawdzenie poprawności heurystycznej (czy wyniki, które otrzymamy są bliskie tym, które chcieliśmy otrzymać) i pragmatycznej.

• Eksperymenty na modelu:

• określenie programu badań

• przeprowadzenie eksperymentów

3. Podaj zależności definicyjne dla elementów magazynujących energię w procesach mechanicznych. (4p)

Magazynujące:

• masa M:
  

• sprężystość K:
  

• moment bezwładności J:
  

Dysspatywne:

• tłumienie D:
  

4. Przekształć równanie różniczkowe y'-2y=5x na równanie różnicowe stosując algorytm Eulera „wprzód”. (4p)

5. Wymienić jaki jest typ modelu przedstawionego na rysunku i narysować go w odpowiednim układzie współrzędnych. (3p)

Model osiowosymetryczny.

6. Omówić źródła błędów w metodzie różnic skończonych i sposoby ich zmniejszania. Opisać metodę rozwiązywania równań różnicowych (nie pamiętam jaką) (4p)

• zastąpienie równania różniczkowego różnicowym - minimalizacja, zagęszczenie

• dyskretyzacja obszaru - siatki (zmniejszenie kroku dyskretyzacji)

• przybliżone rozwiązanie układu równań - minimalizacja, zwiększenie liczby iteracji

7. Opisać warunki brzegowe tak aby powstał określony rozkład pola elektrostatycznego o napięciu U=100V/m. Krawędź ma 50cm. (3p)

---