Wielomiany - zakres podstawowy

Zad.1. (3p.) Rozwiąż równanie 2x³-3x+1=0 stosując grupowanie wyrazów.

Zad. 2 (3p.) Rozłóż wielomian W(x)=(x-1)(x+1)(x+3)-3x-9 na czynniki liniowe i wyznacz jego pierwiastki.

Zad.3 (3p.) Liczby -2 i 1są pierwiastkami wielomianu trzeciego stopnia, którego współczynnik przy najwyższej potędze zmiennej jest równy 1. Wyznacz trzeci pierwiastek tego wielomianu, wiedząc, że do wykresu tego wielomianu należy punkt A(-1,6)

Zad. 4 (3p.) Dla jakich wartości parametru m pierwiastkami równania [x² + (2-m) 2m](x+1)=0 Są trzy kolejne liczby całkowite ujemne?

Zad. 5 (3p.) Rozłóż wielomian W (x) = x³ - 5x²+4 na czynniki liniowe.

Zad.6. (3p.) Liczby : -2, 1 i 3 są pierwiastkami wielomianu trzeciego stopnia W (x). Wyznacz ten wielomian, wiedząc, że W(0)= - 6

Zad.7. (3p.) Rozwiąż nierówność (x² - 4) (x+2)≥ 0

Zad.8. (3p.) Rozwiąż nierówność 3x³ + x² - x - 3 < 0

Zad.9. (3p.) Wielomian W(x) jest wielomianem trzeciego stopnia. Zbiorem rozwiązań nierówności W(x) ≥ 0 jest zbiór (∞; -1> U<1,3). Zapisz ten wielomian w postaci iloczynu czynników liniowych widząc, że W(0)= -3

Zad.11.(3p.) Rozwiąż równanie x³ + 2 m x² - x +m +6 =0, wiedząc, że jednym z pierwiastków jest liczba 1

Zad.12. (3p.) Wyznacz te wartości parametru a, dla których wielomian W(x) = (x² - a)(x+3) posiada pierwiastek dwukrotny

Zad.13.(3p.) Dla jakich wartości parametru a równania (x-2)(x²-1)= 0 i (x-a)(x²- 3x+2)=0 mają te same zbiory rozwiązań.

Zad. 14.(3p.) Dane są funkcję f(x) = (x-3)(x-2)(x-1) i g(x)=1-x. Dla jakich argumentów x wartość funkcji f są większe od wartości
funkcji g.

Zad. 15. (4p.) Funkcja f jest określona wzorem f(x) = -
x³ -
x² +
x +
.Dla jakich x wartości f(x) są dodatnie ?

Zad.16. (3p.)Zbiór wszystkich rozwiązań nierówności (x-1)(x² + b x + c ) < 0 to (-∞;1)ﮟ(1,2). Wyznacz współczynniki b i c.

Zad.17. (8p.) Na rysunku naszkicowany jest wykres pewnej funkcji kwadratowej f i wykres pewnej funkcji liniowej g . Rozwiąż równanie f(x) ∙ g(x) ≤15x - 13

Zad. 18(3p.) Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) = x²⁰⁰⁹ + 1 przez wielomian P(x) = x² -1

Zad.19. (4p.) Miejscem zerowym wielomianu W(x)= 2x³ + ax² - 6x jest liczba x = -1

1. oblicz współczynnik a

2. wyznacz pozostałe miejsca zerowe wielomianu .

Zad.20.(4p.) Rozłóż wielomian W(x) = x⁴ - 7x² +12 na czynniki liniowe. Podaj niewymierne pierwiastki tego wielomianu.

Zad.21. (3p.) Wielomian W(x) = - x³ + 2 x² - 3x + a przyjmuje wartość 4 dla argumentu x=1

1. oblicz a

2. rozłóż wielomian na czynniki możliwie najniższego stopnia

3. Rozwiąż równanie W(x) = 0

Zad.22. (4p) Dany jest wielomian W(x) = 4x⁴- x²-6x-9.Rozłóż wielomian na czynniki

możliwie najniższego stopnia stosując grupowanie wyrazów i wzory skróconego

mnożenia

Zad.23. (5p.) Dwa pierwiastki wielomianu W(x) = 4x³+ ax²+bx+c są rozwiązaniem równania

|x| =√3, a trzeci pierwiastek tego wielomianu jest równy (³√4⁵)^0,3. Oblicz

współczynniki a, b, c wielomianu W(x) .

Zad. 24.(4p) Wyznacz wzór wielomianu czwartego stopnia, którego pierwiastkami są liczby

x₁= -4; x₂= -1; x₃=1, czwarty pierwiastek jest iloczynem danych pierwiastków, a do wykresu wielomianu należy punkt A(2;9)

Zad. 25.(4p.) Rozwiąż równanie 2x⁴+ 3x³+ 3x - 2= 0

Zad. 26. (3p.) Dany jest wielomian W(x) = (x-3m) (x+m+1) (x-7)

1. wyznacz pierwiastki tego wielomianu

2. wyznacz liczbę m, tak aby suma pierwiastków tego wielomianu była równa 20

Zad.27. (5p.) Dane są wielomiany W(x) = (x²-5)², G(x) = ax⁴+ bx³+ cx²+ dx + e

1. podaj współczynniki a, b, c, d, e tak aby wielomiany W(x) i G(x) były równe

2. Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x)

3. Podaj warunek jaki muszą spełniać współczynniki a, b, c, d, e, tak aby

G(1) = G(-1)

Zad.28. (6p.) Dany jest wielomian W(x) = x⁴ -mx³+ nx² - 8. Wartość tego wielomianu dla

x=2 jest taka sama jak dla x= -2, a wartość wielomianu dla x=3 jest równa 82

1. wyznacz parametry m i n

2. dla jakich wartości tego wielomianu są większe od wartości wielomianu W(x)= x⁴+2

Zad. 29. (5p.) Sprawdź, czy zbiór rozwiązań nierówności x³-6x²- 4x+ 24< 0 jest zawarty w zbiorze rozwiązań nierówności (x+1) ≥ 1

Zad. 30. (3p.) Dla jakich wartości m reszta z dzielenia wielomianu

W(x)= -3x³ - 6x² + m²x + m +5 przez wielomian G(x) = x+2 jest równa - 10

Zad. 31.(6p.) Znajdź wszystkie elementy zbioru A { x: xєR₁ 24x³ - 2x² - 5x +1 =0 } jeśli wiesz, że liczba x= -½ należy do tego zbioru .

Zad. 32.(6p.) Dla jakich wartości parametru m oraz n wielomian

W(x)= x⁴ - 2x³+ mx² + nx + 12 jest podzielny przez wielomian P(x)= x² - 5x+6. Dla wyznaczonych m i n rozwiąż nierówność W(x)> 0

Zad.33.( 4p.) Przy dzieleniu wielomianu W(x) przez wielomian P(x)= x² - 6x+ 8 otrzymano wielomian Q(x)= ax + b i resztę R(x) = 4x-13. Wyznacz wzór wielomianu W(x) jeśli wiesz, że jego pierwiastkami są x₁=1, x₂= -1

Zad. 34. (8p). Dla jakich wartości parametrów m i n wielomian

W(x)=(2m - 3n)x³+(m+3n+9) x² - 5x - 7 jest funkcją liniową?

Przy wyznaczanych m i n wyznacz wszystkie wartości argumentów, dla których wartości wielomianu W(x) są nie mniejsze od wartości wielomianu P(x) = x³-1 ?

Zad.35. (8p.) Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynniku 1 przy najwyższej potędze x. Wielomian ma trzy pierwiastki takie, że drugi jest dwa razy większy od pierwszego, a trzeci jest cztery razy większy od pierwszego. Wartość wielomianu w punkcie x=0 jest równa -64. Oblicz pierwiastki wielomianu i podaj współczynnik przy x² .

Zad. 36. (5p.) Dana jest funkcja f(x) = (x+1)³ - (x-2)³ - 27

a). Sprowadź wzór tej funkcji do najprostszej postaci

b). Oblicz f(2 √5)

c). Wyznacz maksymalny przedział w którym wartości funkcji są ujemne.

Zad.37. (5p.) Liczba 3 jest pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³+ mx²- 3x + 9

a). Wyznacz współczynnik m

b). Rozłóż wielomian na czynniki i podaj jego pierwiastki

Zad. 38.(5p.) Dla jakich parametrów a i b wielomian W(x) = 2x⁴ + ax³ - bx² +2x - 2 jest podzielny przez x² - x - 2

Zad. 39.(5p.) Dla jakiej wartości parametru k reszta z dzielenia wielomianu

W(x) = x³+ 2x²+k²x - 8 przez dwumian (x+1) jest równa -11

Zad.40. (6p.) Dla jakich wartości parametru m równanie m²x³ + (m²+ 6m)x² +(m+6)x = 0 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste.

Zad. 41 (6p.) Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez (x+1) jest równa 2 zaś reszta z dzielenia tego wielomianu przez (x-8) jest równa -7. Znajdź resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x+1) (x-8)

Zad. 42. (4p.) Sprawdź czy wielomian W(x) =(x- 2)²⁰⁰⁹ + (x-1)²⁰⁰⁹ -1 jest podzielny przez wielomian x² - 3x +2

Zad. 43.(5p.) Wielomian P(x) =x²-2x- 3 jest podzielnikiem wielomianu W(x)= x³+ ax²+bx+1. Wyznacz wartości parametrów a i b i oblicz W(-1)

Zad.44.(5p.) Znajdź resztę z dzielenia wielomianu W(x)= x²⁰⁰⁹ - x²⁰⁰⁸+2 przez wielomian P(x)= x³ -x

Zad. 45.(5p.) Wyznaczyć wszystkie wartości współczynników p i q wielomianu

W(x)= x⁴- 3x³+ x²+ px + q, tak aby przy dzieleniu go przez wielomian

P(x) =x²- 2x +2 reszta była równa 2x-1

Zad. 46. (5p.) Wiedząc, że wielomian W(x) = x⁴+ x²+ ax +b jest podzielny przez (x²-1) wyznaczyć resztę z dzielenia tego wielomianu przez (x -2)

Zad. 47. (5p.) Wyznaczyć sumę S współczynników wielomianu W(x) = (x³- 3x²+ 3x+ 1)²⁰⁰⁹ oraz jego wyraz wolny a_◦

Zad.48. (6p.) Wykaż, że zbiór liczb spełniających nierówność x³ + x²> 9x + 9 zawiera się w zbiorze < -4 ∞)

Zad.49. (4p.) Dany jest wielomian W(x) = - x³ + 3x²- 4x +5 .Oblicz 2 W(-1) -3W(0) + W(1)

Zad.50. (6p.) Pierwiastkiem wielomianu W(x) = x³ + mx² + 2x + 4 jest liczba 1+ √3. Wyznacz m i pozostałe pierwiastki tego wielomianu.

ODPOWIEDZI

Wielomiany - zakres podstawowy

Zad.1. x₁=1 , x₂= -½ (1 + √3) , x₃= - ½ (1 - √3)

Zad.2. W(x)= (x+3) (x-2) (x+2) x₁= -3 , x₂= -2 , x₃= 2

Zad.3. x₃= 2

Zad.4. m = -3

Zad.5. -------

Zad.6. W(x)= - x³+2x²+5x - 6

Zad.7. xε <2,∞) ﮟ {-2}

Zad.8. xε ( -∞; 1)

Zad.9. W(x) = - (x+1) (x-1) (x-3)

Zad.10. --------

Zad.11. m= -2 , x₁=1 , x₂= -1 , x₃= 4

Zad.12. aε <0, ∞) , W(x)= (x-√a) (x+√a) (x+3) więc a= 0 ﮟ a= 9

Zad.13. a= -1

Zad.14. xε (1 ;∞)

Zad.15. x_p = -3 , x₂= 3 ; xε ( -∞ ; -3) ﮟ (-3; 3)

Zad.16. b= -3, c= 2

Zad.17. g(x)= -x+3, f(x) = -2x² + 4x - 1

(-2x²+ 4x - 1) (- x +3) ≤ 15x - 13

xε ( -∞ ; -1> ﮟ< 1 ; 5>

Zad.18. R(x) = x+1

Zad.19. a). a = - 4 b) x = 0 ﮟ x =3

Zad.20. W(x) = (x+2) (x-2) (x - √3) (x+√3) , x= - √3 ﮟ x= √3

Zad.21. a). a= 6 b). W(x) = - (x-2) (x² +3) c). W(x) =0 <=> x =2

Zad.22. W(x)= 4x⁴- (x+3)²= (2x² - x - 3) (2x²+ x +3)

W(x) = (x+1) (2x-3) (2x² + x +3)

Zad.23. a= -8, b= - 12, c= 24

Zad.24. W(x)= -¼ (x+4) (x+1) (x-1) (x - 4)

Zad.25. x= -2 ﮟ x= ½

Zad.26. x₁= 3m , x₂= - m -1 , x₃= 7 m= 7

Zad.27. a). a=1, b=0, c= -10, d=0, e= 25, b). x= √5, x= - √5 , c). b + d= 0

Zad.28. a) m=0 , n= 1 b). xε (- ∞; -√10) ﮟ (√10, ∞)

Zad.29. Tak

Zad.30. m= 3 ﮟ m= -

Zad.31. A ={ - ½ , ⅓ ; ¼ }

Zad.32. m= -7 , n= 8 ; xε (- ∞-2) ﮟ ( -1; 2) ﮟ ( 3; ∞)

Zad.33. a=
, b=
, W(x)= (
x +
) (x²- 6x +8) + 4x - 13

Zad.34. m= -3 ٨ n = - 2 , W(x)= -5x - 7 , xε ( - ∞; -1>

Zad.35. x₁=2 , x₂= 4 , x₃= 8; W(x)= x³ - 14x²+ 56x - 64

Zad.36. a). f(x)=9x²- 9x - 18 b) f (2√5) = 162 - 18√5 c). (-1; 2)

Zad.37. a). m= -3, W(x)= x³ - 3x²- 3x +9, b). W(x)=(x-3) (x-√3) (x+√3)

x₁=3 , x₂=√3 , x₃= -√3

Zad.38. a= -3,5 b=1,5

Zad.39. k= - 2 ﮟ k= 2

Zad.40. mε ( -∞; -6) ﮟ ( -2,0) ﮟ ( 0,∞ )

Zad.41. R(x)= - x +1

Zad.42. -------

Zad.43. a = b = - 2⅓, w(-1)=0

Zad.44. R(x)= - x ²+ x +2

Zad.45. p= 6, q= -7

Zad.46. R= 48

Zad.47. S= W(1)= 2²⁰⁰⁹ a_◦ W(0)=1

Zad. 48. ------

Zad.49. 14

Zad.50. x₂ = 1- √3 , x₂ = 2, m = - 4

---