1.4.5 Prawo przenoszenia się błędów

Związek wykazujący sposób gromadzenia się błędów średnich niezależnych spostrzeżeń bezpośrednich, występujących w danej funkcji, nosi nazwę prawa przenoszenia się błędów (propagacja błędów). Jest to jedno z podstawowych praw rachunku wyrównawczego, stosowane przy wszelkich analizach dokłądnościowych zarówno a priori, jak i a posteriori - dla dla spostrzeżeń nie biorących udziału w wyrównaniu jak i spostrzeżeń skorelowanych wspólnym wyrównaniem. Zastosowanie prawa przenoszenia sie błędów sprowadza sie w zasadzie do określenia błędów średnich funkcji spostrzeżeń i może być stosowane tylko do funkcji będących liniowymi bądź sprowadzonych do postaci liniowej. Będziemy rozważać tylko poszczególne rodzaje funkcji wiążących spostrzeżenia bezpośrednie nie uzależnione wyrównaniem (nie skorelowane).

Do podania końcowych wzorów dla szczególnych postaci funkcji wykorzystano twierdzenie o wariancji, nadając im interpretację i oznaczenia według zasad rachunku wyrównawczego.

A.Określenie błędu średniego wielokrotności spostrzeżenia

Przypuścmy, żę rozpatrujemy funkcję daną równaniem

F = a X

gdzie a jest stałą (wielokrotnością zmiennej niezależnej X). Zadaniem jest określenie błędu średniego
tej funkcji. Wyobrażmy sobie bowiem, że w wyniku określenia wielkości X, dokonaliśmy n obserwacji otrzymując poszczególne wartości spostrzeżeń L oraz .Możemy zatem obliczyć błąd średni wielkości X wzorem

Ponieważ błędy wielkości a X są z uwagi na stałość liczby a wielkości a-krotnie większymi od błędów wielkości X, mamy tu do czynienia z błędami a i. Wykorzystując twierdzenie o wariancji iloczynu stałej przez zmienną losową otrzymamy zapis

V(F) = V(aX) = a2V(X),

którego odpowiednikiem w rachunku wyrównawczym są wzory

(1.76)

Błąd średni iloczynu stałej przez wielkość o danym błędzie równa się iloczynowi stałej przez ten błąd, czyli

(1.77)

B. Błąd średni sumy (różnicy) spostrzeżeń

Jest określona funkcja

F = X + Y

przez dwa szeregi spostrzezeń:
(dla i = 1,2, ... , n) wielkości X,
` (dla i = 1,2, ... , n) wielkości Y.

Niech zmienną losową X będa wartości błędu , zaś zmienna losową Y będą wartości błędu .

Zgodnie z twierdzeniem o wariancji sumy niezależnych zmiennych losowych będzie

Wyrażając wariancję zmiennych losowych przez błędy średnie, otrzymamy

(1.78)

Powyższy wzór rozciąga się również na dowolną ilość składników tak dla sumy, jak i dla różnicy.

W przypadku gdy błedy średnie poszczególnych wielkości są sobie równe, to znaczy, mx = my = ..... m0 , wówczas prawo przenoszenia się błędów przybiera dla n składników szczególną formę

(1.79)

Oznacza to, że błąd sumy n spostrzeżeń, z których każde jest obarczone błędem średnim m0, rośnie proporcjonalnie do pierwiastka z ilości składników. Z wzoru (1.79) korzystamy często dla obliczenia wagi sumy spostrzeżeń, a mianowicie dla obliczenia wagi funkcji F równej pF

(1.80)

C. Błąd średni funkcji liniowej

Niech będą określone z pomiarów bezpośrednich wielkości X, Y, Z o znanych błędach średnich mx, my, mZ. Na ich podstawie wyznaczamy niewiadomą daną równaniem

F = aX + bY + cZ

gdzie: a, b, c są znanymi dowolnymi współczynnikami. Poszukujemy błędu średniego tej funkcji. Przyjmując, że aX, bY i cZ są wielokrotnościami funkcji, więc na mocy (1.76) ostatecznie otrzymamy

(1.81)

D. Błąd funkcji o dowolnej postaci

Najogólniejszy przypadek powyższych rozważań zajdzie,kiedy funkcję F = F(X, Y, Z) mamy wyznaczyć na podstawie bezpośrednio pomierzonych wielkości X, Y, Z o znanych błędach średnich mx, my, mZ. Zakłada się, że funkcja

F = f(X, Y, Z,...)

jest rozwijalna w szereg Taylora w okolicy punktu, który reprezentuje przybliżenie szukanych wartości, a wyrazy wyższych potęg nadwyżek nad wartościami przybliżonymi są dla danych celów bez znaczenia. Nadwyżki te, jako bardzo małe zmiany argumentów spostrzeżeń, odpowiadają wartościom błędów. Jeżeli podaną funkcję zamienimy na postać liniową, to otrzyma się funkcję

z której, po przeniesieniu wyrazu wolnego na lewą stronę, otrzymamy różniczkę zupełną

dF =

Stosując wzór na błąd średni funkcji liniowej ostatecznie napiszemy

,

gdzie różniczki nieskończenie małę zastąpiono błędami o skończonych wartościach (np. dx = X-X0 = x = mx itp.).

Oznaczając pochodne cząstkowe

dojdziemy do wzoru

(1.82)

Wzór (1.82) można wyprowadzić bezpośrednio z twierdzenia o wariancji. Dla rozpatrywanej funkcji F należy uwzględnić, że wariancja stałej c =
równa się zeru oraz, że wariancja iloczynu stałej przez zmienną losową jest równa kwadratowi stałej razy wariancja zmiennej losowej.

---