Zad 1

Proszę zapisać schematy poniższych zdań:

1. Nieprawda, że wtedy i tylko wtedy czyn nie jest zakazany, gdy jest on nakazany.

∼ (∼p↔q)

2. Jeśli myślisz jasno, to nieprawda, że nie potrafisz jasno wyrazić swojej myśli.

p → ∼(∼q)

3. Albo nieprawdą jest to, że udowodnią winę Pawłowi albo nieprawdą jest to, że Paweł zostanie uniewinniony.

∼p ∨ ∼q

4. Jeśli Ania jest starsza od wszystkich swoich znajomych, to nieprawda, że zarazem Kasia jest starsza od Ani i Kasia jest znajomą Ani.

p → ∼(q∧r)

5. Ani nie pójdę do kina, ani nie pójdę do teatru.

∼p ∧ ∼q

6. Jeżeli Jan uczy się pilnie, to otrzymuje dobre stopnie, a jeżeli nie otrzymuje dobrych stopni, to traci humor.

(p→q) ∧ (∼q→r)

7. Jeżeli Jan nie lubi logiki, to twierdzi, że ma zainteresowania humanistyczne i uważa, że znajomość logiki jest humanistom niepotrzebna.

∼p → (q ∧ r)

8. Jeżeli Jan jest inteligentniejszy od Piotra, a jest jego podwładnym, to Piotr czuje się zagrożony.

(p∧q) → r

9. Jeżeli Paweł był posłem, ale nie uchylono mu immunitetu parlamentarnego, to jeśli Paweł popełnił przestępstwo, to nie został postawiony w stan oskarżenia.

(p∧∼q) → (r→∼s)

10. Jeżeli Jan podlega karze za usiłowanie, to wtedy i tylko wtedy Jan nie odstąpił dobrowolnie od dokonania czynu zabronionego, gdy Jan dobrowolnie zapobiegł skutkowi stanowiącemu znamię czynu zabronionego.

p → (∼q ↔ r)

11. Nieprawda, że jeżeli Jan nie odstąpił dobrowolnie od dokonania czynu zabronionego, to Jan dobrowolnie zapobiegł skutkowi stanowiącemu znamię czynu zabronionego.

∼( ∼p → q)

Zad 2

Poniższe wypowiedzi są wieloznaczne treściowo. Proszę zapisać schematy tych zdań przy każdej z możliwych interpretacji:

a)Przeczytam kilka podręczników lub wysłucham wykładów i rozwiążę kilkadziesiąt zadań.

Możliwe zapisy symboliczne: 1) (p∨q) ∧ r, 2) p∨(q ∧ r)

b)Jeżeli Jan ukończy studia doktoranckie, to Jan będzie pracować naukowo lub Jan zostanie nauczycielem.

Możliwe zapisy symboliczne: 1) p→ (q∨r), 2) (p→q) ∨ r

100. Ukończę studia doktoranckie i będę pracować naukowo lub zostanę nauczycielem zawsze i tylko wtedy, gdy zadowolę się skromnymi dochodami

Możliwe zapisy symboliczne: 1) (p ∧ q) ∨ (r ↔ s) , 2) [(p ∧ q) ∨ r] ↔ s, 3) [p ∧ (q∨ r)] ↔ s, 4) p ∧ [q ∨ (r ↔ s)], 5) p ∧ [(q ∨ r) ↔ s]

Zad 3

Czy na podstawie informacji, że podane niżej zdanie jest prawdziwe można odpowiedzieć na któreś z pytań (1), (2), (3), gdzie:

(1) Czy Platon był założycielem Akademii?

(2) Czy Arystoteles był uczniem Platona?

(3) Czy Arystoteles uczęszczał do Akademii?

Jeśli tak, to na które i jaka jest to odpowiedzieć?

a) Nieprawda, że jeśli Platon założył Akademię, to jeśli Arystoteles był uczniem Platona, to Arystoteles nie uczęszczał do Akademii.

b) Jeżeli Platon założył Akademię i był nauczycielem Arystotelesa, to Arystoteles uczęszczał do Akademii.

c)Platon założył Akademię, a Arystoteles uczęszczał do Akademii lub nie był uczniem Platona.

d) Nieprawda, że albo Platon nie założył Akademii i Arystoteles nie był jego uczniem albo Arystoteles nie uczęszczał do Akademii.

Odpowiedzi:

1. Schemat zdania wyjściowego: ∼[p→(q→r)]. Zakładając, że całość jest prawdziwa otrzymujemy, że: v(p)=1, v(q)=1, v(r)=1. Zatem na każde z postawionych pytań można jednoznacznie udzielić odpowiedzi i odpowiedź jest twierdząca.

2. Schemat zdania wyjściowego: (p∧q)→r. Z założenia, że całość jest prawdziwa otrzymujemy wiele przypadków i przy tym każda zmienna może przyjmować zarówno wartość 1 jak i 0. Zatem na żadne z postawionych pytań nie można udzielić odpowiedzi.

3. Schemat zdania wyjściowego: p ∧ (∼q ∨ ∼r). Z założenia, że całość jest prawdziwa otrzymujemy, że na pewno v(p)=1. Wartości dla pozostałych zmiennych nie są jednoznacznie wyznaczone. Jednoznacznie możemy więc odpowiedzieć na pierwsze pytanie (odpowiedź jest twierdząca). Na pozostałe pytania nie znamy odpowiedzi.

4. Schemat zdania wyjściowego: ∼[(∼p∧∼q)∨∼r]. Pozytywnie odpowiadamy na trzecie pytanie, ponieważ z założenia o prawdziwości całości otrzymujemy wynik, że v(r)=1.

Zad 4

Sprawdź metodą dowolną i odpowiedz na pytania:

A)

z którego z podanych zdań wynika logicznie zdanie Z: Jeśli pada deszcz, to na dworze jest mokro.

a) Z1: Jeśli nie pada deszcz, to na dworze nie jest mokro.

b) Z2: Jeśli na dworze nie jest mokro, to (znaczy, że) nie pada deszcz.

c) Z3: Nie pada deszcz lub na dworze jest mokro.

d) Z4: Pada deszcz i na dworze jest mokro.

e) Z5: Nie pada deszcz i na dworze jest mokro.

B) które ze zdań Z1-Z5 wynika logicznie ze zdania Z?

C)które ze zdań Z1-Z5 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z?

Odpowiedzi:

Sch Z: p→q

SchZ1: ∼p→∼q

SchZ2: ∼q→∼p

SchZ3: ∼p ∨ q

SchZ4: p∧q

Sch Z5: ∼p ∧ q

Ad A) Aby odpowiedzieć na pytanie o zdania, z których wynika zdanie Z należy sprawdzić tautologiczność schematów implikacji typu: Zi → Z (gdzie i należy do zbioru {1,2,3,4,5}).

Odpowiedzi pozytywne otrzymujemy dla każdego zdania oprócz Z1.

Ad B) Należy sprawdzić tautologiczność schematów implikacji typu: Z→ Zi (gdzie i należy do zbioru {1,2,3,4,5}). Pozytywną odpowiedź otrzymujemy dla zdań Z2 i Z3.

Ad C) Ponieważ zdania Z2 i Z3 wynikają logicznie ze zdania Z oraz zdanie Z wynika logicznie z każdego z tych zdań, zatem zarówno zdanie Z2 jak i Z3 są równoważne logicznie ze zdaniem Z. Dla pozostałych zdań nie zachodzi wynikanie logiczne chociaż w jedną stronę, zatem nie są one równoważne logicznie ze zdaniem Z.

Zad 5

Sprawdź metodą skróconą i odpowiedz na pytanie, który z wniosków wynika logicznie z ze zbioru przesłanek {P1, P2}, gdy:

P1. Jeżeli Jan popełnił czyn przestępczy, to o ile czyn ten został ujawniony, to Jan

był karany sądownie.

P2. Jan nie był karany sądownie.

a) Wn. Jan nie popełnił czynu przestępczego.

b) Wn. Czyn ten nie został ujawniony.

c) Wn. Jan nie popełnił czynu przestępczego lub czyn ten nie został ujawniony.

Odpowiedź:

Sch P1: p→(q→r), SchP2: ∼r

Sch Wa: ∼p

Sch Wb: ∼q

Sch Wc: ∼p ∨ ∼q

Należy sprawdzić tautologiczność implikacji o postaciach: (P1 ∧ P2) → Wi, gdzie i należy do zbioru {a,b,c}.

Tylko trzeci wniosek wynika logicznie ze zbioru przesłanek {P1,P2}.

Zad 6

Sprawdź metodą dowolną i odpowiedz na pytanie, czy z koniunkcji przesłanek wniosek wynika logicznie:

a) P1: Jeżeli Jan uczy się pilnie, to otrzymuje dobre stopnie, a jeśli nie otrzymuje dobrych stopni, to

traci humor.

P2: Jan nie traci humoru.

W: Jan uczy się pilnie.

Odpowiedź: Nie zachodzi wynikanie logiczne.

b) P1: Jeżeli Jan jest zdolniejszy od Piotra, a Piotr ma lepsze wyniki w nauce, to Jan mógłby uczyć

się pilniej.

P2: Jan nie mógłby uczyć się pilniej, a Piotr ma lepsze wyniki w nauce.

W: Jan nie jest zdolniejszy od Piotra.

Odpowiedź: Wniosek wynika logicznie z koniunkcji przesłanek.

101. P1: Jeśli Jan nie będzie systematycznie grał na loterii, to nie wygra.

P2: Jeśli Jan będzie systematycznie grał na loterii, to musi znaleźć dodatkowe źródło

dochodów.

P3: Jeśli Jan nie wygra na loterii, to musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

W: Jan musi znaleźć dodatkowe źródło dochodów.

Odpowiedź: Wniosek wynika logicznie z koniunkcji przesłanek.

500. P1: Jan jest podwładnym Piotra.

P2: Jeżeli Jan jest inteligentniejszy od Piotra, a jest jego podwładnym, to Piotr czuje się

zagrożony.

P3: Jan nie jest inteligentniejszy od Piotra.

W: Piotr nie czuje się zagrożony.

Odpowiedź: Nie zachodzi wynikanie logiczne.

Zad 7

Po sprawdzeniu metodą nie-wprost wskaż wśród zdań Z1-Z6 pary zdań równoważnych logicznie, gdy:

Z1: Jeżeli Fenicjanie wynaleźli pismo alfabetyczne, to w III tysiącleciu p.n.e nie znano

pisma alfabetycznego.

Z2: Fenicjanie wynaleźli pismo alfabetyczne i w III tysiącleciu p.n.e. znano pismo

alfabetyczne.

Z3: Nieprawdą jest to, że albo Fenicjanie nie wynaleźli pisma alfabetycznego albo w III

tysiącleciu p.n.e. nie znano pisma alfabetycznego.

Z4: Nieprawda, że jeżeli Fenicjanie wynaleźli pismo alfabetyczne, to w III tysiącleciu p.n.e.

znano pismo alfabetyczne.

Z5: W III tysiącleciu p.n.e. nie znano pisma alfabetycznego lub Fenicjanie nie wynaleźli

pisma alfabetycznego.

Z6: Fenicjanie wynaleźli pismo alfabetyczne, a w III tysiącleciu p.n.e. nie znano pisma

alfabetycznego.

Odpowiedź:

Schematy zdań:

Sch Z1: p → ∼q ; SchZ2: p ∧ q ; SchZ3: ∼( ∼p ∨ ∼q) ; SchZ4: ∼(p→q) ; SchZ5: ∼q ∨ ∼p ; SchZ6: p ∧ ∼q.

Prawami logicznymi są wyrażenia: (p→∼q) ↔ (∼q ∨ ∼p) ; (p∧q) ↔ ∼(∼p∨∼q) ; ∼(p→q) ↔ (p∧∼q)

Zatem zdanie Z1 jest równoważne logicznie ze zdaniem Z5; zdanie Z2 ze zdaniem Z3 ; zdanie Z4 ze zdaniem Z6.

Zad 8.

Po sprawdzeniu metodą dowolną wskaż te spośród zdań Z1-Z4, które są sprzeczne ze zdaniem Z, gdy:

1. Z: Jeśli Paweł często w zeszłym miesiącu zostawał w pracy po godzinach, to dostał dużo pieniędzy za nadgodziny.

Z1: Nieprawda, że jeśli Paweł nie dostał dużo pieniędzy za nadgodziny , to nie często w

zeszłym miesiącu zostawał w pracy po godzinach.

Z2: Paweł dostał dużo pieniędzy za nadgodziny mimo, że nieprawdą jest, że w zeszłym

miesiącu zostawał często w pracy po godzinach.

Z3: Paweł często w zeszłym miesiącu zostawał w pracy po godzinach, ale nie dostał

dużo pieniędzy za nadgodziny.

Z4: Paweł dostał dużo pieniędzy za nadgodziny lub nieprawda, że Paweł często w zeszłym

miesiącu zostawał w pracy po godzinach.

b) Z: Nie lubię chodzić do teatru i nie lubię chodzić do opery.

Z1: Lubię chodzić do teatru i lubię chodzić do opery

Z2: Lubię chodzić do teatru lub lubię chodzić do opery

Z3: Jeśli nie lubię chodzić do opery, to lubię chodzić do teatru.

Z4: Jeśli lubię chodzić do teatru, to nie lubię chodzić do opery

Odpowiedzi:

Ad a) SchZ: p→q

SchZ1: ∼(∼q→∼p) ; SchZ2: q ∧ ∼p ; SchZ3: p ∧ ∼q ; SchZ4: q ∨ ∼p

Należy sprawdzić tautologiczność funkcji zdaniowych o postaci: Zi ↔ ∼Z (gdzie i należy do zbioru {1,2,3,4}). Prawami logicznymi są wyrażenia: ∼(∼q→∼p) ↔ ∼(p→q) ; (p ∧ ∼q) ↔ ∼(p→q), zatem zarówno zdanie Z1 jak i zdanie Z3 są zaprzeczeniami zdania Z (czyli są sprzeczne ze zdaniem Z). Prawami logicznymi nie są wyrażenia: (q∧∼p) ↔ ∼(p→q) ; (q∨∼p) ↔ ∼(p→q), zatem ani zdanie Z2 ani zdanie Z4 nie jest sprzeczne ze zdaniem Z.

Ad b) SchZ: ∼p ∧ ∼q

SchZ1: p ∧ q ; SchZ2: p ∨ q ; SchZ3: ∼q → p ; SchZ4: p → ∼q

Prawami logicznymi są wyrażenia: (p∨q) ↔ ∼(∼p∧∼q) ; (∼q→p) ↔ ∼(∼p∧∼q).

Prawami logicznymi nie są wyrażenia: (p∧q) ↔ ∼(∼p∧∼q) ; (p→∼q) ↔ ∼(∼p∧∼q).

Zatem zdaniami sprzecznymi z wyjściowym są zdania: Z2 , Z3.

Zad 1

Proszę zapisać schematy poniższych zdań:

12. Nieprawda, że wtedy i tylko wtedy czyn nie jest zakazany, gdy jest on nakazany.

13. Jeśli myślisz jasno, to nieprawda, że nie potrafisz jasno wyrazić swojej myśli.

14. Albo nieprawdą jest to, że udowodnią winę Pawłowi albo nieprawdą jest to, że Paweł zostanie uniewinniony.

15. Jeśli Ania jest starsza od wszystkich swoich znajomych, to nieprawda, że zarazem Kasia jest starsza od Ani i Kasia jest znajomą Ani.

16. Ani nie pójdę do kina, ani nie pójdę do teatru.

17. Jeżeli Jan uczy się pilnie, to otrzymuje dobre stopnie, a jeżeli nie otrzymuje dobrych stopni, to traci humor.

18. Jeżeli Jan nie lubi logiki, to twierdzi, że ma zainteresowania humanistyczne i uważa, że znajomość logiki jest humanistom niepotrzebna.

19. Jeżeli Jan jest inteligentniejszy od Piotra, a jest jego podwładnym, to Piotr czuje się zagrożony.

20. Jeżeli Paweł był posłem, ale nie uchylono mu immunitetu parlamentarnego, to jeśli Paweł popełnił przestępstwo, to nie został postawiony w stan oskarżenia.

21. Jeżeli Jan podlega karze za usiłowanie, to wtedy i tylko wtedy Jan nie odstąpił dobrowolnie od dokonania czynu zabronionego, gdy Jan dobrowolnie zapobiegł skutkowi stanowiącemu znamię czynu zabronionego.

22. Nieprawda, że jeżeli Jan nie odstąpił dobrowolnie od dokonania czynu zabronionego, to Jan dobrowolnie zapobiegł skutkowi stanowiącemu znamię czynu zabronionego.

---