AGH Teoria Sterowania i Technika Regulacji Laboratorium					Grupa: Michał Dudek
^wydział EAIiE	^rok akademicki 2006/2007		^rok studiów II
Temat: Komputer w układzie regulacji
^data wykonania 09.06.2007		^data oddania 12.06.2007		^ocena

W układzie statycznym wielkości wyjściowe zależą tylko od aktualnej wartości wielkości wejściowej. Umożliwia wyznaczenie odpowiedzi układu w stanie ustalonym. Natomiast w układzie dynamicznym wielkości wyjściowe zależą także od zachowania się układu w okresie poprzedzającym daną chwilę. Budowę modelu można podzielić na trzy etapy. Na początku przeprowadza się eksperyment, dzięki któremu formułuje się odpowiedni wzór matematyczny z dokładnością do współczynników, określający zależności pomiędzy sygnałami wejściowymi i wyjściowymi obiektu, a na samym końcu dokonuje się estymacji tych współczynników poprzez minimalizację funkcji błędu. Błąd definiuje się jako różnicę pomiędzy zmierzonym sygnałem wyjściowym obiektu a sygnałem uzyskanym z modelu. Funkcja błędu jest to suma kwadratów błędów.

Sposób wyboru zmiennych we/wy rozpatrzyłem na przykładzie obiektu pierwszego rzędu, który był opisany równaniem:

odpowiadające mu równanie różnicowe ma postać:

Zależność ta jest poprawna dla bardzo małych przyrostów czasu ∆t określających odstęp czasu pomiędzy kolejnymi pomiarami zmiennej stanu x(k) oraz przyłożonego na wejście sterowania u(k). Czas ten nazywany jest czasem próbkowania i oznaczyłem go poprzez T_p.

Z powyższej zależności wynika, że wartość zmiennej stanu x(t) zależy od jej wartości oraz sterowania w chwili poprzedniej. Formuła matematyczna określająca model ma postać:

gdzie sygnały x(k) i u(k) są sygnałami wejściowymi modelu, a x(k+1) sygnałem wyjściowym modelu.

Obiekt typu SISO opisany jest równaniem różniczkowym:

odpowiadające równanie różnicowe przyjmuje postać:

Wynika stąd, że wartość zmiennej x(k+1) zależy od wartości zmiennej i sterownia w n poprzedzających chwilach czasu

Obiekt typu MISO:

Dane pomiarowe zapisuje się w postaci macierzy wejść X i wyjść Y:

gdzie: x_i^(k) - wartość zmierzona i-tego sygnału wejściowego w chwili k,

y(k) - wartość zmierzona sygnału wyjściowego w chwili k,

Formuła matematyczna opisująca model zapisana w postaci macierzowej przyjmuje postać:

X*b=Y

Poszukiwane są takie współczynniki b, aby opisana hiperpłaszczyzna jak najlepiej odwzorowywała punkty pomiarowe

gdzie

Korzystając z praw rachunku macierzowego:

Q=(Y-Xb)^T(Y-Xb)=Y^TY-Y^TXb-b^TX^TY+b^TX^TXb

Y^T=Xb=(Xb)^T

Y=b^TX^TY

Q=Y^TY-2b^TX^TY+b^TX^TXb

stąd -> b=(X^TX)^-1X^TY

---