Zagadnienia egzaminacyjne do Teorii Sterowania (2005/2006)
Pojęcia podstawowe: zmienna stanu, wektor stanu, przestrzeń stanu - sens fizyczny tych pojęć.
Równania różniczkowe wiążące wejścia z wyjściami obiektu dynamicznego a równania stanu (rząd równania a wymiar przestrzeni stanu, przypadek układu o pojedynczy wejściu i wyjściu a przypadek układu jawnie wielowymiarowego, wprowadzanie współrzędnych fazowych).
Modele w przestrzeni stanu (liniowe i nieliniowe, z czasem ciągłym i dyskretnym, liniowa przestrzeń stanu a rozmaitość różniczkowa stanu - warunki lokalnej linearyzowalności modelu, punkty stacjonarne, typy punktów stacjonarnych).
Metody linearyzacji równań stanu. Rozwiązywanie liniowych równań stanu (przypadek stacjonarny i niestacjonarny, model z czasem ciągłym a model dyskretny w czasie). Związek równań stanu z macierzą transmitancji. Kanoniczna postać równań stanu (przypadek dla transmitancji bez zer i z zerami - sposób definiowania fazowych zmiennych stanu). Równoważność opisów w przestrzeni stanu (właściwości macierzy podobieństwa, transformacje przekształcające wzajemnie opisy równoważne).
Metody dyskretyzacji w czasie równań stanu (metoda dokładna dla modelu liniowego a metoda przybliżona, metoda przybliżona dla medeli obiektów nieliniowych i niestacjonarnych).
Metody przestrzeni stanu badania stabilności liniowych obiektów wielowymiarowych. Równaie charakterystyczne liniowego układu wielowymiarowego. Rozkład biegunów transmitancji macierzowej. Metody przesuwania biegunów i zer układu wielowymiarowego.
Metody przestrzeni stanu badania stabilności obiektów nieliniowych (co to jest autonomiczny układ dynamiczny i rozwiązanie swobodne, I metoda Lapunowa - identyfikacja właściwości dynamicznych w zależności od rozkładu wartości własnych lokalnego modelu liniowego, pojęcie trajektorii stanu, basenu przyciągania, orbity, II metoda Lapunowa, rozwiązywanie macierzowego równania Lapunowa jako metoda badania stabilności.
Wpływ częstości próbkowania w czasie na stabilność układu z czasem ciągłym.
Geometryczna interpretacja cechy sterowalności układu. Abstrakcyjna definicja sterowalności układu dynamicznego. Sterowalność całkowita układu a sterowalność ze względu na poszczególne sterowania. Sterowalność a ograniczoność amplitudy sygnałów sterujących. Kryteria sterowalności dla modeli liniowych.
Geometryczna interpretacja cechy obserwowalności układu. Abstrakcyjna definicja obserwowalności układu dynamicznego. Obserwowalność całkowita układu a obserwowalność poprzez poszczególne wyjścia. Kryteria obserwowalności dla modeli liniowych.
Pokrywanie się zer i biegunów transmitancji układu a jego sterowalność i obserwowalność.
Geometryczna interpretacja cechy sterowalności układu. Abstrakcyjna definicja sterowalności układu dynamicznego. Sterowalność całkowita układu a sterowalność ze względu na poszczególne sterowania. Sterowalność a ograniczoność amplitudy sygnałów sterujących. Kryteria sterowalności dla modeli liniowych.
Definicja i interpretacja właściwości stabilizowalności układu dynamicznego.
Definicja i interpretacja właściwości odtwarzalności układu dynamicznego.
Sformułowanie problemu obserwacji i syntezy obserwatora.
Synteza obserwatora dla obiektu o znanym modelu liniowym i dostępnych zmiennych stanu (metoda).
Synteza obserwatora dla obiektu o znanym modelu liniowym i niedostępnych zmiennych stanu (obserwator o minimalnym rzędzie).
Zmienna losowa, proces stochastyczny z czasem dyskretnym i z czasem ciągłym (definicje matematyczne)
Funkcja rozkładu prawdopodobieństwa procesu stochastycznego i momenty stochastyczne.
Stacjonarność procesu stochastycznego w wąskim i szerszym sensie.
Ergodyczność procesów stochastycznych.
Autokorelacja i korelacja wzajemna sygnałów stochastycznych oraz ich związek z charakterystykami widmowymi sygnałów.
Przechodzenie sygnałów stochastycznych prze liniowe obiekty dynamiczne (równanie splotowe i równanie w dziedzinie częstotliwości).
Model w przestrzeni stanu układu zakłócanego stochastyczne. Charakterystyki zakłóceń (założenia o charakterze rozkładów prawdopodobieństwa i niezależności stochastycznej). Szumy białe a szumy „kolorowe” (skorelowane). Istota filtracji sygnałów z zawartością szumu (interpretacja częstotliwościowa, twierdzenie o próbkowaniu sygnałów).
Filtr Kalmana - sformułowanie zadania filtracji, równania liniowego filtru Kalmana.z czasem, ciągłym i z czasem dyskretnym. Od czego zależy jego stacjonarność? Interpretacja mechanizmu filtracji kalmanowskiej (co ten filtr oblicza i dlaczego rozwiązuje problem? Dlaczego jest to problem istotny w praktyce?.
Pojęcie optymalizacji sterowania: klasy sygnałów sterujących, zagadnienie dopuszczalności sterowania, wskaźniki jakości sterowania.
Metody budowania wskaźników jakości sterowania (na przykładach i z interpretacją). Podział wskaźników ze względu na wyrażany cel sterowania lub ze względu na postać matematyczną.
Optymalizacja trajektorii układu dynamicznego metodami wariacyjnymi. Pojęcie wariacji, funkcjonału, trajektorii, rozmaitości początkowej lub końcowej, transwersalność trajektorii. Warunek konieczny optymalności - równania Eulera-Lagrange'a. Warunki brzegowe - wykorzystanie transwersalności).
Właściwości rozwiązań problemu wariacyjnego (cechy ekstremali) przy ograniczeniu amplitudy wymuszenia.
Sformułowanie problemu sterowania optymalnego z ograniczenia równościowymi i nierównościowymi.
Zasada maksimum jako rozwinięcie metod wariacyjnych ( Hamiltonian, zmienne sprzężone, równania kanoniczne, zastosowanie zasady).
Metody programowania matematycznego jako sposób rozwiązywania zadania sterowania optymalnego dla układów z czasem dyskretnym (wieloetapowy proces decyzyjny). Metoda współczynników Lagrange'a. Metoda Kuhna-Tuckera.
Zasada optymalności i programowanie dynamiczne. Sformułowanie dla układów z czasem ciągłym (równanie Hamiltona-Jacobiego-Bellmanna). Sformułowanie dyskretne - algorytm programowania dynamicznego i dyskretna zasada optymalności.
Sterowanie czaso-optymalne: sformułowanie zadania. Właściwości rozwiązania w przypadku liniowych obiektów sterowania o ograniczeniach amplitudy. Zasada bang-bang.