WERYFIKACJA HIPOTEZ STATYSTYCZNYCH

1. Zbadano grupę 169 maklerów giełdowych pod względem wieku uzyskując następujące dane: średni wiek w tej grupie wyniósł 31 lat z odchyleniem standardowym równym 3 lata. Czy można zgodzić się z hipotezą, że średni wiek ogółu maklerów wynosi 30 lat?

2. Na podstawie wyników sondażu dotyczącego faktu palenia papierosów przez studentów UW ustalono, że w 1000 - osobowej grupie losowo wybranych osób 36 pali papierosy.

a) przyjmując α = 0.05 zweryfikować przypuszczenie, że odsetek wszystkich studentów ogółem będących w "szponach nałogu" kształtuje się na poziomie 3%;

b) czy podjęta decyzja weryfikacyjna może ulec zmianie?

3. Badając miesięczne wydatki na żywność studentów Warszawy i Krakowa postawiono
. Wiadomo, że rozkłady wydatków na żywność są rozkładami normalnymi. Jeżeli stwierdzono na podstawie 300 elementowych prób losowych przy α=0,02 brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, to czy taką samą decyzję weryfikacyjną podejmiemy także przy: a) α=0,05 b) α=0,01 Przedstawione zagadnienie zilustrować graficznie.

4. 800 wylosowanych mieszkańców Warszawy zapytano czy Michelle L., bohaterka serialu Nasze sprawy, powinna poślubić Michaela T. 256 zapytanych (czyli 32%) odpowiedziało „tak”. Po nadaniu kolejnych 100 odcinków wylosowano ponownie 800 osób, zadając im identyczne pytanie. Tym razem twierdząco odpowiedziały 224 osoby (czyli 28%). Czy na tej podstawie można stwierdzić, że pomiędzy badaniami odsetek warszawiaków popierających małżeństwo wyżej wymienionych zmienił się? Należy przyjąć poziom istotności 0,05.

5. Wysunięto przypuszczenie, że jakość produkcji pewnego wyrobu polepszyła się po wprowadzeniu nowej technologii. Wylosowano 120 sztuk spośród wyrobów wyprodukowanych nową technologią i otrzymano 4 braki. Dla 150 wylosowanych wyrobów, które wytworzono starą technologią otrzymano 10 braków. Czy rzeczywiście jakość produkcji uległa polepszeniu? Odpowiedź uzasadnić przyjmując α=0,02. Przy jakim poziomie istotności należy zmienić podjętą decyzję?

6. Badanie czasu przygotowania się do kolokwium ze statystyki pokazało, że dla 100 losowo wybranych osób średni czas wynosił 12 godzin z 30% zróżnicowaniem, natomiast do kolokwium z ekonomii w tej samej liczbie losowo wybranych studentów charakterystyki te wynosiły odpowiednio 15 godzin oraz 10%. Czy można twierdzić, że przygotowanie do kolokwium ze statystyki wymagało mniej czasu niż do kolokwium z ekonomii?

7. Zbadano 100 kartonów suchego pokarmu dla kotów produkowanego przez firmę Łasuch, uzyskując średnią zawartość popiołu równą 8g oraz odchylenie standardowe zawartości popiołu równe 3g. Średnia zawartość popiołu dla 120 kartonów pokarmu produkowanego przez firmę Kicio wyniosła 7g, zaś odchylenie standardowe zawartości popiołu w tym pokarmie: 2g. Czy na poziomie istotności 0,06 możemy twierdzić, iż średnia zawartość popiołu w produkcie firmy Łasuch jest wyższa od średniej zawartości popiołu w produkcie firmy Kicio?

8. Ciężar główki kapusty dopuszczonej do obrotu przez Komisję Europejską w krajach członkowskich UE musi przekraczać 350 g. Obywatelski Komitet Europa 2003 w Suchych Dołach zbadał losowo 17 główek kapusty na miejscowym bazarze i stwierdził, że ich średni ciężar wyniósł 370g zaś wariancja 1600 g². Rozkład ciężaru kapusty jest normalny. Czy na tej podstawie można stwierdzić, z ryzykiem błędu I rodzaju 0,03, że normy europejskie są przeciętnie spełniane przez kapustę na bazarze w Suchych Dołach? Z jakim minimalnym prawdopodobieństwem błędu I rodzaju można tak stwierdzić?

9. Przypuszcza się, że średnie miesięczne opłaty za rachunki telefonii komórkowej są wyższe niż za telefony stacjonarne. W celu weryfikacji tej hipotezy wylosowano próbę 169 abonentów telefonów komórkowych, w których średnie opłaty wyniosły 185 zł przy wariancji równej 1267,5 (zł)². Następnie wylosowano próbę 144 posiadaczy telefonów stacjonarnych, w których średnie miesięczne opłaty wyniosły 145 zł przy wariancji równej 900 (zł)² . a) Zweryfikować odpowiednią hipotezę przyjmując poziom istotności 0,05.

b) Przy jakim poziomie istotności uległaby zmianie podjęta decyzja weryfikacyjna?

10. Pobrano losowo próbę 200 rodzin trzy-osobowych, które zbadano ze względu na miesięczne wydatki na warzywa i owoce. Wyniki obserwacji pogrupowano w 6-ciu przedziałach klasowych, a wyznaczone wartości charakterystyk opisujących rozkład empiryczny były następujące:
= 120 zł , S(x) = 30 zł.

a) oblicz teoretyczna liczbę rodzin trzy-osobowych o wydatkach od 120 do 170 zł;

b) zweryfikować hipotezę, że rozkład wydatków jest zgodny z rozkładem normalnym, wiedząc dodatkowo, że empiryczna wartość testu dla badanej próby wyniosła 1.20 (przy możliwości popełnienia błędu I rodzaju raz na dziesięć przypadków).

11. Zbadano 200 losowo wybranych gospodyń domowych pod względem miesięcznych wydatków na warzywa i owoce, co dało następujące informacje:

miesięczne wydatki w zł	60-84	84-108	108-132	132-156	156-180
liczba gospodyń	20	45	70	*	15
	0,626	0,164	0,011	0,164	*

Średnie wydatki w 200 osobowej próbie losowej wyniosły 120 zł przy współczynniku zmienności 21,67%. Uzupełnij dane i zweryfikuj hipotezę o normalności rozkładu wydatków przy α=0,01.

12. Przypuszcza się, że rozkład dwumiesięcznych opłat za energię i gaz w gospodarstwach domowych jest rozkładem normalnym z m=300 zł i =50 zł. Wylosowano 80 gospodarstw i otrzymano poniższy rozkład empiryczny:

i	1	2	3	4	5	6	7
	4	6	20	.	12	8	3	80
	3	5	22	.	15	10	2	.
	1	1	4	.	.	.	.	.

Czy na poziomie =0,02 nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy, że rozkład opłat jest normalny?

13. Przeprowadzić weryfikację hipotezy o zgodności rozkładu wagi tabliczki czekolady z rozkładem normalnym ze średnią równą 100g i odchyleniem standardowym 15g, jeśli na podstawie 120 elementowej próby, przy podziale wyników na 10 przedziałów, otrzymano wartość statystyki chi-kwadrat równą 8,48. Przyjmij α = 0,1.

Wyznacz hipotetyczną liczebność dla wagi tabliczki w przedziale (90, 100>.

14. Liczba braków w n-elementowej losowej próbie jest zmienną losową która, jako suma zmiennych zero-jedynkowych, ma asymtotyczny rozkład normalny. Kontrola jakości produkcji wyrobu A, B, C i D gatunku I, II i III wykazała,że liczba braków zaobserwowana w jednakowo licznych, losowo wybranych próbach tych wyrobów jest następująca:

Gatunek I: 1 1 1 1 Ponadto wiadomo, że:

Gatunek II: 2 2 3 1 Suma kwadratów

Gatunek III: 3 3 4 2

Między grupowa SSB 8.0000000

Wewnątrz grupowa SSE 4.0000000

Czy gatunek jest czynnikiem różnicującym średnią liczbę braków w partiach tych wyrobów? Odpowiednią hipotezę zweryfikować przy poziomie istotności 0,05.

15. Przeprowadzono badanie wielkości obrotów 138 firm klasyfikując je w 7 grup w zależności od branży. Czy przy poziomie istotności 0,01 można uznać, że branża różnicuje obroty firm, jeśli suma kwadratów międzygrupowych wyniosła 256, a całkowita suma kwadratów odchyleń obrotów od średniej wyniosła 3816?

16. Poniższy wydruk przedstawia wyniki analizy wariancji dotyczące odsetka przedsiębiorstw zwolnionych z podatku VAT w zależności od miejsca prowadzenia działalności (Polska południowa, środkowa i północna). Analysis of Variance

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Source of variation Sum of Squares d.f. Mean Square F-ratio

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Between groups 362,60119 … ……… …….

Within groups ……….. 21 ………

-----------------------------------------------------------------------------------------------------

Total 535,95833 …

Przyjmując założenie o jednorodności wariancji, zweryfikuj (przy α = 0,05) czy odsetek firm płacących VAT zależy od geograficznego położenia przedsiębiorstwa.

---