DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE 2004/05

KATEGORIA: GIMNAZJA

RUNDA PÓŁFINAŁOWA

MECZ I

1. W konferencji naukowej „Łysa Góra '05” uczestniczyło 100 mężczyzn - chemików i alchemików. Każdemu z nich zadano pytanie: „Jeśli nie liczyć Pana, to czy wśród pozostałych uczestników jest więcej chemików, czy alchemików?”. Po przepytaniu 51. uczestnika i stwierdzeniu, że wszyscy (wraz z nim) odpowiedzieli, że więcej jest alchemików, procedurę zakończono. Alchemicy zawsze kłamią, a chemicy zawsze mówią prawdę. Ilu chemików było wśród uczestników tej konferencji?

2. Liczby naturalne nieprzekraczające stu podzielono na dwa zbiory ze względu na parzystość. Następnie z każdego zbioru wybrano możliwie największy podzbiór, tak że sumy liczb w tych podzbiorach były równe. Ile elementów wybrano z każdego zbioru i jaka jest wartość sumy w każdym podzbiorze?

3. Liczba lat Piotra jest dwucyfrowa i powstaje w wyniku przestawienia cyfr w liczbie lat jego ojca. Ile lat ma Piotr, jeśli rok temu był dwa razy młodszy od ojca?

4. W garnku pasteryzują się trzy słoiki styczne do siebie zewnętrznie i styczne do ściany garnka. Ile razy mniejszej średnicy słoiki trzeba wziąć, aby w tym samym garnku zmieściły się cztery słoiki styczne do siebie i do garnka?

5. Czy liczba kwadratów, jakie można zobaczyć na szachownicy 2005×2005, jest większa niż liczba jednostkowych sześcianów w kostce 2005×2005×2005?

6. W kryptarytmie AB ⋅ A ⋅ B  =  BBB zaszyfrowane są dwie jednocyfrowe liczby całkowite dodatnie, jedna liczba dwucyfrowa i jedna trzycyfrowa zapisane w układzie dziesiętnym. Różne litery zastępują różne cyfry, a różne cyfry zostały zastąpione przez różne litery. Znajdź A i B.

7. Cenę butów obniżono o 15%, a potem podwyższono o 10% i 2 złote. Obecnie cena butów to 39,40 zł. Jaka była cena butów przed obniżką, a jaka po obniżce?

8. Dobry piechur przechodzi 100 metrów w czasie, gdy zły przechodzi 60. Dobry piechur staje na starcie, a zły dostaje fory i wyprzedza dobrego o 100 metrów. Po ilu metrach od startu dobry piechur go dogoni?

9. Dziadek Moniki jest zapalonym działkowcem. Właśnie buduje konstrukcję służącą za podporę dla niskopiennej odmiany fasoli. Na płaskim poletku wbił równolegle, pod kątem 35° do ziemi, dwie tyczki o długościach 2,4 m i 3,6 m. Następnie koniec każdej tyczki połączył linką z punktem wbicia w ziemię drugiej tyczki, a punkt skrzyżowania linek podparł trzecią tyczką wbitą równolegle do poprzednich. Jak długa była ta tyczka?

10. Rząd postanowił ujednolicić rejestracje samochodowe. Mają się one składać z grupy 3 liter i 4 cyfr, ale grupa liter może być na początku lub na końcu i musi zawierać w dowolnym miejscu przynajmniej jedną literę P (jak Polska). Dla ilu samochodów wystarczy tych numerów?

DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE 2004/05

KATEGORIA: GIMNAZJA

RUNDA PÓŁFINAŁOWA

MECZ II

1. W graniastosłupie liczba krawędzi jest o 2005 większa od liczby ścian. Ile wierzchołków ma ten graniastosłup i jaki wielokąt jest jego podstawą?

2. W DMM połowa zadań to zadania trudne, a połowa zadań to zadania nudne. Ile procent zadań trudnych stanowią zadania nudne, jeśli co trzecie z zadań nudnych to zadanie trudne?

3. Ile dzielników ma liczba 2²⁰⁰⁵ ⋅ 3²⁰⁰³ + 2²⁰⁰³ ⋅ 3²⁰⁰⁵ ?

4. Właściciel domu, chcąc oszczędzać energię elektryczną, dokonał trzech usprawnień, które obniżyły wydatki na ogrzewanie domu kolejno o 20%, o 25% i o 60%. O ile procent łącznie zmniejszyły się jego wydatki na ogrzewanie domu?

5. W przykładzie zapisanym na tablicy klasowy dowcipniś zmienił dwie cyfry i otrzymano zapis: 4 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 4 = 2247. Jaki był pierwotny zapis?

6. Dziadek Moniki jest zapalonym działkowcem. Właśnie buduje konstrukcję służącą za podporę dla niskopiennej odmiany cukini. Na płaskim poletku postawił dwie skrzyżowane tyczki i przeciągnął jedną linkę łączącą górne i drugą łączącą dolne końce tych tyczek. Dla upewnienia się, czy wszystko jest w porządku, wykonał kilka pomiarów i zauważył, że iloczyn długości jednej tyczki przez długość części drugiej tyczki od punktu skrzyżowania jednej z linek jest dla obu tyczek taki sam (mierząc do tej samej linki). Na tej podstawie dziadek stwierdził, że linki przebiegają równolegle. Czy miał rację?

7. Pewną pracę Piotr mógłby wykonać samodzielnie w ciągu 10 godzin. Tę samą pracę Paweł wykonałby w ciągu 15 godzin. W jakim czasie wykonaliby tę pracę, gdyby pracowali razem?

8. Sprzedawca ma w 2 kartonach jednakową liczbę cukierków, które chce popakować w woreczki w następujący sposób:

• z cukierków w I kartonie chce sporządzić możliwie największą liczbę woreczków po 23 cukierki w każdym,

• z cukierków w II kartonie i z reszty pozostałych z I kartonu chce sporządzić woreczki po 37 cukierków w każdym.

Wiedząc, że sprzedawca napełnił cukierkami 72 woreczki, a w kartonach nie pozostał ani jeden cukierek, znajdź liczbę cukierków, które były na początku w każdym kartonie.

9. Do wielkiego finału turnieju małżeństw „Na dobre i na złe” przeszły pary o numerach startowych 2, 8, 12 i 13. Okazało się, że każda z nich ma jednego syna i jedną córkę. Dzieci mają 2 lata, 8, 12 lub 18 lat. Żadne dziecko nie ma tylu lat, ile wynosi numer pary jego rodziców. Para nr 13 ma pełnoletniego syna. W każdym z podanych wieków jest zarówno chłopiec, jak i dziewczynka, ale nie ma rodzeństwa w tym samym wieku. Ośmioletnia dziewczynka ma młodszego brata. Siostra 18-latka chodzi do szkoły na placu Kopernika. Która para ma dwunastoletnią córkę?

10. Znajdź najmniejszą liczbę czterocyfrową SAAM, taką że MI + FUKO = SAAM. Różnym literom odpowiadają różne cyfry i na odwrót.

DOLNOŚLĄSKIE MECZE MATEMATYCZNE 2004/05

KATEGORIA: GIMNAZJA

RUNDA PÓŁFINAŁOWA

MECZ III

1. Dziadek Moniki jest zapalonym działkowcem. Właśnie buduje konstrukcję służącą za podporę dla niskopiennej odmiany pieprzu cayenne. W punkty A, B i środek odcinka AB wbił tyczki, tak że ich wspólnym drugim końcem jest C. Następnie przeciągnął równolegle do BC linkę krzyżującą się z tyczką CD w punkcie K. K dzieli ją w stosunku 1:2, patrząc od dołu. W jakim stosunku koniec tej linki podzielił tyczkę AC?

2. Ze wszystkich zwierząt najwięcej wody zawiera żebropław - aż 99%. Po częściowym osuszeniu zwierzę to zawierało 98% wody. O ile procent zmniejszyła się jego waga?

3. Dla jakich liczb naturalnych iloczyn i różnica ich odwrotności są równe?

4. Rozwiązać algebraf z mnożeniem: 15 ⋅ DWA = 6 ⋅ PIĘĆ, przy czym żadna z cyfr w tym działaniu się nie powtarza.

5. W sklepie są do nabycia produkty: X, Y i Z. Wiadomo, że 8 produktów X kosztuje 1 zł, każdy produkt Y kosztuje 1 zł, a każdy produkt Z kosztuje 10 zł. Kupiono każdego z trzech rodzajów produktów, w sumie 100 sztuk i zapłacono 100 zł. Ile było tam artykułów Y?

6. Bak był pełen benzyny. Przelano ją do trzech kanistrów. Do każdego z nich przelano tę samą całkowitą liczbę litrów. Okazało się, że w pierwszym kanistrze benzyna wypełniła
   jego objętości, w drugim
   , a w trzecim
   . Przy jakiej najmniejszej objętości baku jest możliwa taka sytuacja, jeśli objętości baku i kanistrów wyrażają się całkowitymi liczbami litrów?

7. Mała Zuza napisała list do Mikołaja i zapytała go, ile on ma lat. List schowała pod poduszkę, a następnego dnia znalazła tam odpowiedź: „Mam tyle lat, ile Ty liczysz sobie miesięcy”. Zuza pomyślała chwilę i wykrzyknęła: „To razem mamy 91 lat!”. Ile lat ma Zuza?

8. Każdy z trzech chłopców ma pewną liczbę monet. Pierwszy z nich dał pozostałym tyle monet, ile każdy z nich posiadał. Następnie drugi, a potem trzeci z nich postąpił tak samo, tzn. dał dwóm pozostałym tyle monet ile każdy z nich miał aktualnie. W rezultacie okazało się, że na końcu mieli po 8 monet. Ile monet posiadał każdy chłopiec na początku?

9. Czy w każdym czworościanie istnieje taki wierzchołek, że z wychodzących z niego krawędzi da się zbudować trójkąt?

10. Rada miasta Pacanowa postanowiła ujednolicić numery rejestracyjne taksówek w mieście. Postanowiono, że na cześć burmistrza Mariana Raroga, który został właśnie wybrany na drugą kadencję, wszystkie numery mają zawierać 6 liter dających imię burmistrza lub jego anagram (słowo o przestawionych literach) i jedną cyfrę wstawioną w dowolne miejsca między tymi literami (na początku i na końcu też). Dla ilu taksówek wystarczy takich numerów?

---