Gdańsk, dn. 2006-03-20

LABORATORIUM Z METOD DOŚWIADCZALNYCH

Ćwiczenie nr 13

Temat: Wyznaczanie środka zginania

Wykonali:

Michał Gawin

Łukasz Gaca

Katarzyna Grubich

WILiŚ, sem. IV, godz. 15:15

Ćwiczenie nr 13

WYZNACZANIE ŚRODKA ZGINANIA

Celem przeprowadzonego ćwiczenia jest wyznaczenie środka zginania (lub ścinania) dwóch cienkościennych belek wspornikowych. Pierwszej o przekroju rurowym i drugiej o przekroju kątowym.

Doświadczenia wykonujemy przy pomocy dwóch zestawów odpowiednio dla poszczególnych doświadczeń. W skład każdego zestawu wchodzi:

• belka,

• ruchoma szalka z odważnikami ,

• miarka umożliwiająca określenie położenia szalki,

• czujniki zegarowe umożliwiające pomiar kąta skręcenia belki.

Przy pomocy odważników wywołujemy moment skręcający a na podstawie czujników dalej możemy wyznaczyć kąty przekrojów belek.

Doświadczenia rozpoczynamy i kończymy od pomiaru przemieszczeń na obu czujnikach przy nieobciążonym układzie. Przy wyznaczeniu kąta obrotu uśredniamy odczyty początkowe z czujników w celu wyeliminowania błędu. Następnie obciążamy układ i dokonujemy pomiarów przemieszczeń w zależności od położenia ciężarka w granicach od -40mm do 40mm. Dalej wykonujemy wykres funkcji ugięć w zależności od obciążenia. Punkt, w którym proste z poszczególnych czujników się przecinają jest szukanym środkiem zginania.

Wyniki pomiarów

1. Przekrój rurowy

- Odczyty początkowe przy nieobciążonym układzie: f_l¹ = 7,00, f_p¹ = 4,60

- Odczyty końcowe przy nieobciążonym układzie: f_l² = 7,01, f_p² = 4,60

- Średnie odczyty początkowe: f_l⁰ = 0,5( f_l¹ + f_l² ) = 0,5 (7,00+7,01) = 7,005

f_p⁰ = 0,5( f_p¹ + f_p²) = 0,5 (4,60+4,60) = 4,60

- Kąt skręcenia na podstawie otrzymanych wyników: (u_l+u_p)/a

Położenie siły [mm]	Wskazania czujników lewy fl prawy fp		Ugięcie punktów lewy ul prawy up		Kąt skręcenia φ
-40	5,41	5,62	-1,595	1,02	0,002875
-30	5,71	5,21	-1,295	0,61	-0,009525
-20	6,05	4,73	-0,955	0,13	-0,005425
-10	6,36	4,32	-0,645	-0,28	-0,001825
0	6,70	3,85	-0,305	-0,75	0,00225
10	7,05	3,38	0,045	-1,22	0,006325
20	7,365	3,00	0,36	-1,6	0,0098
30	7,70	2,58	0,695	-2,02	0,013575
40	8,03	2,16	1,025	-2,44	0,017325

2. Przekrój kątowy

- Odczyty początkowe przy nieobciążonym układzie: f_l¹ = 4,15, f_p¹ = 6,35

- Odczyty końcowe przy nieobciążonym układzie: f_l² = 4,14, f_p² = 6,35

- Średnie odczyty początkowe: f_l⁰ = 0,5( f_l¹ + f_l² ) = 0,5 (4,15+4,14) = 4,145

f_p⁰ = 0,5( f_p¹ + f_p²) = 0,5 (6,35+6,35) = 6,35

- Kąt skręcenia na podstawie otrzymanych wyników: (u_l+u_p)/a

Położenie siły [mm]	Wskazania czujników lewy fl prawy fp		Ugięcie punktów lewy ul prawy up		Kąt skręcenia φ
-40	3,06	7,20	-1,085	0,85	-0,009675
-30	3,28	6,95	-0,865	0,6	-0,007325
-20	3,50	6,69	-0,645	0,34	-0,004925
-10	3,75	6,44	-0,395	0,09	-0,002425
0	3,99	6,18	-0,155	-0,17	0,000075
10	4,20	5,96	0,055	-0,39	0,002225
20	4,45	5,70	0,305	-0,65	0,004775
30	4,67	5,46	0,525	-0,89	0,007075
40	4,90	5,24	0,755	-1,11	0,009325

Obliczenia teoretyczne

1. Przekrój rurowy

R=3,92 cm

dA=dSδ dS=Rdϕ

dA=Rδdϕ

y=Rcosϕ

Środek zginania- punkt w którym należy przyłożyć siłę, aby zredukować wypadkową naprężeń stycznych ( siła w tym punkcie nie wywołuje skręcania )

czyli:

∑ MsO=0 , stąd :

T x - ∫ dt R = 0

T x - t R = 0 (1) t-wypadkowa naprężeń stycznych

τ = (Sx T)/(Ix δ) Ix-moment bezwładności przekroju:

Ix = 0,5 Π R³δ

Sx-moment statyczny:

Sx = ∫ y dA

Sx = ∫ R cosϕ R δ dϕ = ∫ R² δ cosϕ dϕ = R² δ cosϕ + c

Wiedząc , że dla: Sx (ϕ = 0) = 0 , stała c = 0 .

Sx = R² δ sinϕ .

τ = (R² δ sinϕ T)/( 0,5 Π R³δ δ) = ( 2 sinϕ T)/(R δ Π )

t = ∫ τ dA = ∫ (( 2 sinϕ T )/( R δ Π )) R δ dϕ = ( 2 T ) / Π [ - cosϕ ] = ( 2 T ) / Π [ - ( -1-1)] = 4 T / Π .

Podstawiając do równania (1) , otrzymujemy :

T x = (4 T / Π) R

x = ( 4/Π ) R = 4 (3,92/Π) = 4,99 cm

Zgodnie z przyjętym układem wsp. w doświadczeniu odległość od punktu zginania równa się :

e = - 4,99 cm .

2. Przekrój kątowy

Korzystam z warunku jak wyżej:

∑ MsO=0 , stąd :

Ty x - T₁ a - T₂ a = 0

∑X = 0 , stąd :

T₁ = T₂

∑Y = 0 , stąd :

Ty = T₁ + T₂

podstawiając do równania (1)

(T₁ + T₂ ) x = (T₁ + T₂ ) a

x = a

Wiedząc, że a = 5,3 cm otrzymujemy : x = 5,3 cm .

Zgodnie z przyjętym układem wsp. w doświadczeniu odległość od punktu zginania równa się :

e = - 5,30 cm.

Porównanie wyników doświadczalnych z teoretycznymi

RODZJ PRZEKROJU	WARTOŚĆ DOŚWIADCZALNA	WARTOŚĆ TEORETYCZNA
RUROWY	-4,44	-4,99
KĄTOWY	-5,30	-5,30

Wykresy ugięć u_l oraz u_p w funkcji położenia szalki na załączonych wykresach

• Rys. 1 Przekrój rurowy

• Rys. 2 Przekrój kątowy

Obliczenie położenia środka ciężkości przekroju poprzecznego belki

1. Przekrój rurowy

R = 3,92 cm .

x = R sinϕ

A = ∫ R δ dϕ = R Π δ

Środek ciężkości S (Xc , Yc) . Xc = Sy/A Yc = Sx/A

Yc = 0 ,ponieważ moment statyczny wzgl. osi X = 0 - przekrój monosymetryczny .

Xc = Sy/A

Sy = ∫ x dA

Sy = ∫ R sinϕ R δ dϕ

Sy = -R² δ cosϕ = -R² δ ( -1-1) = 2 R² δ

Xc = ( 2 R² δ )/( 2 Π δ ) = 2 R / Π = 2,496 cm .

Zgodnie z przyjętym układem współrzędnych w doświadczeniu Xc = 4,50 - 2,496 = 2,004cm .

2. Przekrój kątowy

x = 2,65 cm .

A = 2 δ 7,5 = 5,25 cm² .

Środek ciężkości S (Xc , Yc) . Xc = Sy/A Yc = Sx/A

Yc = 0 ,ponieważ moment statyczny wzgl. osi X = 0 - przekrój monosymetryczny .

Xc = Sy/A

Sy = A x

Sy = 5,25 ∗ 2,65 = 13,91 cm³ .

Xc = 13,91/5,25 = 2,65 cm .

Zgodnie z przyjętym układem współrzędnych w doświadczeniu Xc = 5,50 - 2,65 = 2,85cm .

Pomiar kąta skręcenia dla przypadku obciążenia siłą przyłożoną w środku ciężkości przekroju poprzecznego.

1. Przekrój rurowy

U_l = 0,0325*20,04-0,305=0,3463

U_p =-0,044*20,04-0,75=-1,63176

ϕ = ( U_l - U_p )/a = 0,0098903 rad

2. Przekrój kątowy

U_l =0,0105*28,5-0,155=0,14425

U_p =-0,022*28,5-0,17=-0,797

ϕ = ( U_l - U_p )/a = -0,00326375 rad

W wykonywanym ćwiczeniu zarówno w doświadczeniu nr1 jak i w doświadczeniu nr2, wyznaczaliśmy środki zginania, czyli punkty, w których należy przyłożyć siłę tnącą aby nie wywołała momentu skręcającego. Studiując wykresy funkcji ugięć w zależności od obciążenia znajdujemy punkt przecięcia się dwóch wykresów - jest to punkt, w którym nie występuje skręcenie czyli nasz szukany punkt.

Położenie punktu wyznaczone doświadczalnie i teoretycznie różni się nieznacznie zarówno przy przekroju rurowym jak i kątowym. Różnicę tę upatrujemy:

- w niedokładności pomiarów - wiąże się to z niedokładnością przyrządów oraz błędnego odczytania z czujników pomiarowych

- niedokładnego naniesienia punktów wykresu potrzebnego do określenia środka zginania

- niedokładnego odczytu położenia środka zginania z w.w. wykresu.

6

---