PRZESTRZENIE UNITARNE
ILOCZYN SKALARNY
1.1. DEFINICJA. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K. Funkcję nazywamy iloczynem skalarnym na V , jeśli spełnia ona następujące warunki :
i) ,
ii) , dla dowolnych v, u, u1, u2 ∈ V , a1, a2 ∈ K, oraz
iii) g(v,v) ≥ 0 dla dowolnego v ∈ V i równość zachodzi ⇔ v =0.
Iloczyn skalarny oznaczamy symbolem <⋅,⋅〉 , tzn. zamiast g(u,v) piszemy <u,v〉.
UWAGA. Jeśli K = R, to ii) oznacza symetrię g(v,u) = g(u,v) dla u,v ∈ V.
FAKT. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V. Wtedy
1. <u,v1 + v2〉 = <u,v1 〉 + <u, v2〉.
2.
1.2. DEFINICJA. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V i (v1,...,vm) układ wektorów w przestrzeni V. Wtedy m×m macierz
nazywamy macierzą Grama układu (v1,...,vm) względem <⋅,⋅〉 i oznaczamy MG(v1,...,vm). Wyznacznik tej macierzy nazywamy wyznacznikiem Grama układu (v1,...,vm) względem <⋅,⋅〉 i oznaczamy Γ(v1,...,vm). Jeśli B = (v1,...,vn) jest bazą V , to macierz Grama MG(B) nazywamy macierzą <⋅,⋅〉 w bazie B.
TWIERDZENIE. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V nad K i niech B = (v1,...,vn) będzie bazą V. Ponadto, niech A = ∈ Mnn(K). Wtedy następujące warunki są równoważne:
A = MG(B)
< u,v 〉 = .
1.3. TWIERDZENIE. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V. Wtedy Γ(v1,...,vm) > 0 dla każdego liniowo niezależnego układu (v1,...,vm) wektorów z V oraz Γ(v1,...,vm) = 0 dla każdego liniowo zależnego układu (v1,...,vm) wektorów z V.
1.4. DEFINICJA. Przestrzenią unitarną nad ciałem K nazywamy parę (V, <⋅,⋅〉), gdzie V jest przestrzenią wektorową nad K, a <⋅,⋅〉 jest iloczynem skalarnym na V.
2.ORTOGONALNOŚĆ.
2.1.DEFINICJA. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V. Dwa wektory u, v z przestrzeni V nazywamy ortogonalnymi, jeśli <u,v〉= 0. Piszemy wtedy u ⊥ v. Dwa podzbiory A, B ⊆ V nazywamy ortogonalnymi , jeśli u ⊥ v dla dowolnych wektorów u ∈ A i v ∈ B. Piszemy wtedy A ⊥ B. Zbiór A⊥ := {v ∈ V : {v} ⊥ A} nazywamy dopełnieniem ortogonalnym zbioru A.
TWIERDZENIE. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V i niech A i B będą podzbiorami V. Wtedy:
A ⊥ B wtedy i tylko wtedy, gdy B ⊥ A.
Jeśli A ⊥ B i C ⊆ A , to C ⊥ B.
A ⊥ B wtedy i tylko wtedy, gdy A ⊆ B ⊥.
Jeśli A ⊆ B, to B ⊥ ⊆ A ⊥.
A ⊥ B wtedy i tylko wtedy, gdy L(A) ⊥ L(B).
A ⊥ = L(A ⊥) = (L(A)) ⊥. W szczególności A ⊥ jest podprzestrzenią przestrzeni V.
LEMAT. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V oraz niech v, u1, ..., uk będą wektorami z V. Wtedy, jeśli v ⊥ L(u1, ... , uk), to
Γ (v, u1, ..., uk) = <v,v> Γ(u1, ..., uk).
2.2. DEFINICJA. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V i niech U będzie podprzestrzenią V. Jeśli V = U ⊕ U⊥, to rzut przestrzeni V na podprzestrzeń U wzdłuż U⊥ nazywamy rzutem ortogonalnym V na U i oznaczamy PU .
TWIERDZENIE. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V i niech U = L(u1,..., uk), gdzie wektory u1,..., uk są liniowo niezależnymi wektorami z V. Wtedy 1. V = U ⊕ U⊥,
2. Dla dowolnego wektora v ∈ V , PU(v) = x1u1 + ... +xkuk, gdzie liczby x1, ..., xk są rozwiązaniem następującego układu równań:
x1 < u1,u1〉 + ... + xk< uk,u1〉 = < v,u1〉
....................................................
x1< u1,uk 〉 + ... + xk< uk,uk 〉= < v,uk 〉 .
2.3.DEFINICJA. Układ wektorów (e1,...,em) nazywamy układem ortonormalnym jeśli (e1,...,em) jest układem ortogonalnym oraz <ej,ej〉 = 1, dla j = 1,..., m. Bazę przestrzeni V, która jest układem ortonormalnym nazywamy bazą ortonormalną.
TWIERDZENIE. Każda skończenie wymiarowa przestrzeń unitarna ma ortonormalną bazę.
TWIERDZENIE. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem K a B = (v1,...,vn) będzie bazą przestrzeni V. Wtedy <u,v〉 = wtedy i tylko wtedy, gdy B jest bazą ortonormalną.
UWAGA. Jeśli układ wektorów B = (e1,...,en) jest ortonormalną bazą przestrzeni wektorowej V i MB(u) = [x1,...xn]T, to xj = <u,ej〉 dla j = 1,...,n.
TWIERDZENIE. Niech (e1,...,em) będzie ortonormalnym układem wektorów w przestrzeni unitarnej V i niech U = L(e1,...,em). Wtedy dla dowolnego wektora v z przestrzeni V
Pu(v) = <v,e1〉e1 + ...+ <v,em〉em.
2.4. TWIERDZENIE. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V i niech wektory u1, ..., uk ∈ V będą takie że Γ (u1, ..., uk) ≠ 0. Ponadto niech U = L( u1, ..., uk) i v ∈ V. Wtedy, jeśli v' = v − PU(v), to
g(v',v') =
Γ(v', u1, ..., uk) = Γ(v, u1, ..., uk).
L(v, u1, ..., uk) = L(v, u1, ..., uk).
TWIERDZENIE. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V. Wtedy Γ(v1,...,vm) > 0 dla każdego liniowo niezależnego układu (v1,...,vm) wektorów z V.
2.5. TWIERDZENIE. Niech <⋅,⋅〉 będzie iloczynem skalarnym na przestrzeni wektorowej V i niech (v1, ..., vm) układ wektorów z V , taki że Γ(v1, ..., vk) ≠ 0 , dla k = 1, ..., m. Ponadto niech Uk = L(v1, ..., vk) i oznaczmy Pk = , dla k = 1, ..., m oraz u1 = v1, uk = vk − Pk(vk), k = 2,...,m. Wtedy
Układ (u1, ..., um) jest ortogonalny.
L(u1, ..., uk) = L(v1, ..., vk), dla k = 1, ..., m.
Γ(u1, ..., uk) = Γ(v1, ..., vk), dla k = 1,..., m.
uk = vk −
, dla k = 2, ..., m. (***)
Proces otrzymywania układu ortogonalnego za pomocą rekurencyjnej reguły (***) nazywamy ortogonalizacją Grama-Schmidta.
3. OPERATORY NA PRZESTRZENIACH UNITARNYCH.
3.1. DEFINICJA. Operator liniowy F na przestrzeni unitarnej V nazywamy operatorem hermitowskim wtedy i tylko wtedy, gdy
(**) <F(u),v〉 = <u,F(v)〉,
dla dowolnych wektorów u,v ∈ V.
TWIERDZENIE. Niech F będzie operatorem liniowym na przestrzeni unitarnej V i niech B będzie ortonormalną bazą przestrzeni V. Wtedy F jest operatorem hermitowskim wtedy i tylko wtedy, gdy MBB(F) jest macierzą hermitowską.
3.2.TWIERDZENIE. Wartości własne operatorów hermitowskich na przestrzeniach unitarnych są liczbami rzeczywistymi.
LEMAT. Jeśli F jest operatorem hermitowskim na przestrzeni unitarnej V , to F ma niezerowy wektor własny.
TWIERDZENIE. Niech F będzie operatorem hermitowskim na przestrzeni unitarnej V i niech U będzie podprzestrzenią niezmienniczą względem F. Wtedy jeśli w ⊥ U, to F(w) ⊥ U , dla dowolnego wektora w z przestrzeni V (tzn.. podprzestrzeń U⊥ jest podprzestrzenią niezmienniczą względem F).
WNIOSEK. Dopełnienie ortogonalne podprzestrzeni własnej operatora hermitowskiego jest podprzestrzenią niezmienniczą.
3.3. TWIERDZENIE (Spektralne dla operatorów hermitowskich) Niech V będzie skończenie wymiarową przestrzenią unitarną nad ciałem K i niech F będzie operatorem hermitowskim na przestrzeni V. Wtedy istnieje ortonormalna baza przestrzeni V złożona z wektorów własnych operatora F. (w szczególności oznacza to, że operatory hermitowskie są diagonalizowalne).
Bazę ortonormalną złożoną z wektorów własnych operatora hermitowskiego F nazywamy bazą spektralna dla operatora F.
UWAGA. Wektory własne operatora hermitowskiego odpowiadające różnym wartościom własnym są ortogonalne.
WNIOSEK. Jeśli macierz A jest macierzą hermitowską to istnieje macierz U spełniająca warunek U*U = I, taka że U*AU jest macierzą diagonalną.
DEFINICJA. Macierz kwadratową U spełniającą warunek U-1 = U* (⇔ U*U = I) nazywamy macierzą unitarną. Jeśli macierz unitarna U jest macierzą o współczynnikach rzeczywistych, to nazywamy ją macierzą ortogonalną. Warunek U-1 = U* przyjmuje wtedy postać U-1 = UT.
5