Zadania z analiza struktury

1.Rozkład wielkości kredytu odnawialnego (x - tys. zł) zaproponowanego przez bank 100 osobom kształtował się następująco:

Wielkość kredytu	Poniżej 6	6 - 12	12 - 18	18 - 24	24 - 30
Liczba osób	5	15	40	30	10

1. scharakteryzować badany rozkład pod względem tendencji centralnej i zróżnicowania za pomocą miar klasycznych .

2. porównać zróżnicowanie powyższego rozkładu i rozkładu wielkości kredytów konsumpcyjnych (y - tys. zł.) jeśli y = 20, s_y = 5

2 Liczba strzelonych goli przez pewną drużynę w meczach rundy wiosennej i jesiennej przedstawia się następująco: 3 3 2 1 2 2 3 4 2 1 0 2 0 1 1 2 3 1 1 0 2 3 4 0 1 2 0 4 2 2

1. Wyznaczyć i zinterpretować średnią arytmetyczną, medianę i dominantę.

2. Porównując obliczone miary ocenić i zinterpretować kierunek asymetrii (bez obliczania siły asymetrii)

3.Rozkład liczby wyjazdów służbowych w ciągu roku (x ) wśród 53 pracowników biura podróży w Warszawie przedstawia się następująco:

x_i 2 3 4 5 6

n_i 9 16 12 10 6

a) Obliczyć i zinterpretować wartości następujących miar:
, D, s_x

b) W biurze podróży w Poznaniu stwierdzono, że największa liczba osób wyjechała czterokrotnie w ciągu roku w podróż służbową, przeciętna liczba wyjazdów wynosiła 3,5, zaś współczynnik zmienności wynosił 0,3 . Dokonać analizy porównawczej (liczbowo i słownie) liczby wyjazdów w Warszawie oraz w Poznaniu w zakresie miar przeciętnych, zróżnicowania i asymetrii .

4.Rozkład połowów 40 załóg kształtował się następująco:

Wysokość połowów (w tonach)	poniżej 20	poniżej 40	poniżej 60	poniżej 80	poniżej 100
Odsetek załóg	10	40	75	95	100

1. w oparciu o podane informacje wyznaczyć liczbowo i graficznie medianę

2. wyznaczyć wartość dominanty w tym rozkładzie.

5.Analiza wyników sesji egzaminacyjnej pozwoliła stwierdzić, jaka jest liczba niezaliczonych przedmiotów dla poszczególnych studentów. Dla grupy studentów z wydziału A dane te były następujące: 4, 3, 0, 0, 1, 2, 2, 4, 0, 1, 0, 1, 2, 3, 1, 0, 3, 0, 1, 2.

1. Zbudować szereg rozdzielczy dla cechy „ liczba niezaliczonych przedmiotów”.

2. Obliczyć i zinterpretować odchylenie standardowe.

3. Wiedząc, że dla grupy studentów na wydziale B średnia liczba niezaliczonych przedmiotów wyniosła 1,4 z odchyleniem standardowym 0,5 porównać zróżnicowanie badanej cechy dla obu grup studentów ( z wydziału A i wydziału B)

6. W wyniku badania losowej próby inwestorów giełdowych otrzymano następujący rozkład wielkości stopy zwrotu z inwestycji (w %)

Stopa zwrotu	2,5 - 7,5	7,5 - 12,5	12,5 - 17,5	17,5 - 22,5	22,5 -27,5	27,5 - 32,5
Liczba inwest.	10	20	40	70	40	20

1. Obliczyć i zinterpretować średnią arytmetyczną i dominantę stopy zwrotu z inwestycji.

2. Porównując obliczone miary ocenić i zinterpretować kierunek asymetrii ( bez obliczania siły asymetrii)

3. Ocenić zróżnicowanie badanego rozkładu.

7. W celu zbadania struktury wypłaconych „trzynastek” w zł (X) w dwóch grupach pracowniczych pobrano dwie próby i otrzymano wyniki:

Parametry	n		do	me	s	V	A
Grupa 1	100	1400				12 %	0
Grupa 2	100	2000	1900	1978	200

Uzupełnić brakujące informacje w tabelce. Dokonać wszechstronnej analizy porównawczej rozkładów wypłaconych „trzynastek” w obu grupach w zakresie tendencji centralnej, zróżnicowania i asymetrii.

8 . Rozkład marynarzy według liczby odbytych rejsów w pierwszym roku pracy na morzu jest następujący:

Liczba rejsów	liczba marynarzy
2	3
3	5
4	7
5	12
6	16
7	7

Podać i zinterpretować wartość dominanty i mediany w tym rozkładzie.

9. W pewnym zakładzie pracy zbadano staż pracy 200 zatrudnionych i otrzymano następujące dane:

Staż pracy (w latach)	do 2 do 4 do 6 do 8 do 10
Skumulowany odsetek pracow.	10 40 80 90 100

Ponadto wiadomo, że najczęściej spotykany wiek zatrudnionych jest równy średniej wieku w tej grupie i wynosi 36.5 lat z odchyleniem standardowym 2.5 lat. Ze względu na którą cechę (staż pracy czy wiek zatrudnionych) badani pracownicy są bardziej zróżnicowani? Ocenić asymetrię obu rozkładów.

10. W pewnym mieście zbadano autobusy ze względu na okres użytkowania (w latach) . Uzyskano następujące informacje:

Okres użytkowania (w latach)	0-2 2-4 4-6 6-8
Liczba autobusów	5 5 25 15

Ocenić poziom przeciętny, zróżnicowanie i asymetrie tego rozkładu.

11. Pewien klient przed podjęciem decyzji o zakupie telefonu komórkowego zdobył informacje na temat jakości trzech aparatów ( mierzonej stopniem niezawodności).

Sieć	I	II	III
	98 %	98 %	95 %
S	1 %	1 %	0,97 %
do	98 %	99 %	94,5 %

1. Dokonać wszechstronnej oceny porównawczej jakości tych sieci pod względem tendencji centralnej, zróżnicowania i asymetrii.

2. Wybór telefonu której z sieci poradziłbyś klientowi.

12. Wskaż dwie miary, które we właściwy sposób scharakteryzują przeciętny poziom cechy, jeśli jej warianty występują kolejno z częstościami: 0,05; 0,1; 0,15; 0,25; 0,45. Wybór uzasadnij.

13. Zbadano iloraz inteligencji IQ (pkt.) w grupie 120 mieszkańców miasta K:

IQ	85 - 95	95 - 105	105 -115	115 - 125	125 -135
Odsetek osób	10	25	35	20	10

a) Oblicz i skomentuj przeciętny poziom inteligncji w badanej grupie.

b) Oceń zróżnicowanie rozkładu IQ.

c) Podobne badanie dotyczące ilorazu inteligencji przeprowadzono w mieście L, uzyskując dla 100 badanych mieszkańców średni poziom równy 101 z odchyleniem standardowym 10. Dominująca liczba mieszkańców miała iloraz inteligencji wynoszący 107. Porównać rozkład ilorazu inteligencji w miastach K i L pod względem wartości przeciętnych, zróżnicowania i asymetrii.

14. 50 pracowników Instytutu Badań Strategicznych zapytano o liczbę publikacji w ostatnich 3 latach, uzyskując rozkład :

Liczba publikacji	0 - 4	5 - 7	8 - 10	11 - 13
Częstość skumulowana	0,5	0,7	0,9	1

Średnia liczba publikacji pracowników Zakładu Analiz Systemowych wyniosła 4,1, zaś odchylenie standardowe 2,3. Porównać zróżnicowanie liczby publikacji w obu instytucjach.

16. Na podstawie próby 50 tramwajów użytkowanych w Warszawie ustalono, że ich rozkład ze względu na okres użytkowania ( w latach) był następujący:

Okres użytkowania	0-4	4-8	8-12	12-16	16-20
Częstość tramwajów	0,02	0,04	0,20	0,40	0,34

Ponadto wiadomo, że wariancja w tej próbie jest równa 18,3 lat². Czy jest prawdą, że:

1. większość zbadanych tramwajów była użytkowana powyżej 15 lat?

2. względne zróżnicowanie tramwajów ze względu na okres użytkowania jest bardzo duże?

1. Mamy następujące dane o miesięcznej sprzedaży gatunków jabłek na targowisku:

Gatunek	I	II	III	IV
Cena w zł/kg	2,0	2,4	2,8	3,2
Utarg w zł	400	360	280	160

Oblicz średnią cenę 1 kg jabłek.

2. Oblicz średnią prędkość samochodu, jeśli wiadomo, że:

1. samochód jechał 30 minut z prędkością 90 km/h i 55 minut z prędkością 70 km/h,

2. samochód przejechał 30 km z prędkością 100 km/h i 45 km z prędkością 60 km/h.

Jakie średnie należy w tym przypadku zastosować i dlaczego?

17. Czas oczekiwania na wizytę w poczekalni u lekarza specjalisty dla 70 losowo wybranych pacjentów jednej z przychodni śląskich ma następujący rozkład:

Czas w minutach	0-4	4-8	8-12	12-16	16-20
Liczba pacjentów	5	30	20	10	5

1. za pomocą miar przeciętnych scharakteryzuj ten rozkład,

2. wyznacz liczbowe granice obszaru zmienności dla typowych jednostek,

3. zbadaj asymetrię tego rozkładu,

4. przedstaw rozkład graficznie i określ jego typ.

Wyniki zinterpretuj.

17. Stu pracowników pewnego przedsiębiorstwa (70 mężczyzn i 30 kobiet) zbadano pod względem czasu dojazdu do pracy i otrzymano następujące informacje


= 40 min D_M = 35 min As_(M) = +0,5


= 30 min D_K = 33 min As_(K) = -0,5

1. która grupa osób (mężczyźni czy kobiety) wykazują większe zróżnicowanie ze względu na czas dojazdu do pracy,

2. oblicz średni czas dojazdu dla wszystkich 100 pracowników.

17. Rozkład stażu pracy 90 pracowników firmy handlowej przedstawia szereg:

Staż pracy w latach	0-5	5-10	10-15	15-20	20-25
Skumulowana liczba pracowników	10	40	60	80	90

Dokonaj wszechstronnej analizy struktury stażu pracy badanej zbiorowości.

18. Zbadano po 200 losowo wybranych gospodarstw domowych dwóch miast województwa śląskiego ze względu na wysokość miesięcznych wydatków na kulturę (w zł). Dla miasta „K” otrzymano następujące wyniki:

Wydatki	20-30	30-40	40-50	50-60	60-70
Liczba gospodarstw domowych	10	50	80	50	10

W mieście „W” najwięcej spośród badanych gospodarstw wydawało na kulturę 46 zł. Połowa gospodarstw wydawała nie więcej niż 44 zł, a współczynnik skośności wynosił - 0,3. Za pomocą odpowiednich parametrów opisowych porównać wydatki na kulturę gospodarstw domowych w obu badanych miastach. Wyniki zinterpretować.

19. Według danych OBOP rozkład tygodniowego czasu oglądalności TV przedstawia tablica:

Czas w godz.	2-4	4-6	6-10	10-14	14-20	20-25	Powyżej 25
Odsetek badanych	2	10	12	30	28	10	8

1. określić średni czas oglądalności TV,

2. czy prawdą jest, że 75% badanych poświęca na oglądanie TV tygodniowo więcej niż 5 godz.,

3. zbadać zróżnicowanie i asymetrię tego rozkładu.

17. Dla zatrudnionych dwóch zakładów A i B wchodzących w skład firmy L, mamy następujące wyniki badania dot. stażu pracy (w latach).

Zakład A:


Zakład B: n = 300

Staż pracy	6-10	10-14	14-18	18-22	22-26	26-30	30-34
Odsetek pracowników	5	8	12	18	30	20	7

Przeprowadzić analizę porównawczą zatrudnionych w tych zakładach, pod względem stażu pracy. Oblicz średnią stażu pracy zatrudnionych w firmie L.

Analiza szeregów czasowych

Zadanie 1

Co można powiedzieć o zmianach wartości sprzedaży, jeśli indeks agregatowy cen Laspeyresa wynosi 1,25, a indeks agregatowy ilości Paaschego wynosi 1,1?

Zadanie 2

Na pewnym targowisku ustalono, że wartość sprzedaży jaj wzrosła z 250 mln w 2006 roku do 500 mln zł w 2007, sera białego z 80 mln do 120 mln zł, natomiast wartość sprzedaży śmietany zmalała z 60 mln zł w roku 2006 do 30 mln w 2007. Wiadomo, że ilościowo sprzedaż jaj wzrosła o 30%, sera o 10%, natomiast sprzedaż śmietany zmalała dwukrotnie. Co można powiedzieć o zmianach cen artykułów nabiałowych na tym targowisku okresie 2006-2007? Zapisz odpowiednie równości indeksowe i podaj ich komentarz.

Zadanie 3

W pewnym przedsiębiorstwie produkowano w 2005 roku trzy wyroby A, B, C w ilościach: po 100 wyrobu A i B oraz 200 sztuk wyrobu C. Poziom cen tych wyrobów kształtował się następująco: 5 tys. za sztukę wyrobu A, 10 tys. za sztukę wyrobu B i 20 tys. za sztukę wyrobu C. Przedsiębiorstwo dokonało zmian w strukturze i w 2006 roku produkowało te wyroby w ilościach 20 sztuk A, 100 sztuk B, 400 sztuk C. Poziom cen wyrobów w 2006r. przedstawiał się następująco: 20 tys. za sztukę A, 10 tys. za sztukę B i 6 tys. za sztukę C. Wykorzystując agregatowe indeksy dokonać analizy zmian jakie nastąpiły w strukturze cen i ilości.

Zadanie 4

W 2007 roku sprzedano w pewnym mieście M jabłek za 120 mln zł i gruszek za 60 mln zł,
a w 2008 roku sprzedano jabłek za 160 mln zł oraz gruszek za 70 mln zł. Wiadomo, że ceny jabłek wzrosły o 30%, a ceny gruszek spadły o 10% w roku 2008 w stosunku do roku 2007. Scharakteryzować średni ruch cen badanych owoców oraz zmiany masy fizycznej ich spożycia w mieście M, stosując do tego celu możliwie wszechstronnie formuły standaryzacyjne indeksów agreagatowych. Który czynnik - cena czy ilość - silniej wpłynął na łączną dynamikę wartości sprzedaży tych owoców?

Zadanie 5

Wartość produkcji i zmiany cen dwóch artykułów przedstawia tablica

Artykuły	wartość produkcji w tys. zł (ceny bieżące)		zmiany cen w roku 20010 do roku 2009
		2009		2010
A B	200 400	190 450	spadek o 5% spadek o 10%

Źródło: dane umowne

Przeprowadzić możliwie najszerszą analizę indeksów cen, ilości i wartości.

Zadanie 6

Produkcja napojów chłodzących w jednym z oddziałów terenowych koncernu Coca-cola kształtowała się w kolejnych kwartałach lat 2006-2008 następująco:

lata	Kwartały
		I	II	III	IV
2006 2007 2008	2 3 5	4 5 7	8 11 12	6 7 8

Na podstawie tych danych wyznaczyć linię trendu oraz zbadać sezonowość zjawiska.

Zadanie 7

W populacji mężczyzn pewnego miasta przeprowadzono badanie ankietowe dotyczące kształtowania się spożycia piwa. Na podstawie wyników tej ankiety ustalono średni poziom spożycia ( w jednostkach umownych ) w ujęciu kwartalnym w okresie pięciu lat. Dane przedstawia tablica:

rok	Kwartały
		I	II	III	IV
1	3,0	5,2	5,9	3,1
2	3,2	5,2	5,5	2,6
3	3,4	5,8	5,9	2,7
4	4,3	6,0	6,9	3,0
5	4,4	6,4	7,8	3,5

Źródło: dane umowne

Dokonać wygładzania przedstawionego szeregu czasowego metodą mechaniczną i analityczną. Ustalić czy analizowane zjawisko wykazuje sezonowość. Ocenić spodziewany poziom spożycia w trzecim kwartale kolejnego roku.

Zadanie 8

Dla prognozy spożycia wyznaczonej w zadaniu poprzednim ocenić jej dokładność za pomocą odpowiednich mierników oceny jakości prognozy.

Zadanie 9

W zakładach przetwórstwa mięsno-wędliniarskiego prowadzono badanie popytu na oferowane nowe gatunki wędlin. Badaniem objęto okres od 1.1.2002 do 31.12.2006r. Okazało się, że popyt kształtował się zgodnie z równaniem: y = 0,85t + 1,27. Jednocześnie wyznaczono surowe wskaźniki sezonowości równe odpowiednio dla kolejnych kwartałów:

w₁ = 0,76; w₂ = 0,94; w₃ = 1,20; w₄ = 1,23.

Wykorzystując te informacje określić spodziewany poziom popytu na wędliny III kwartale 2007 roku i w I kwartale 2008 roku.

Zadanie 10

W zakładach przetwórstwa owocowo-warzywnego przeprowadzono badanie popytu na oferowane dżemy owocowe. Badaniem objęto okres od 1.1.2002 do 31.12.2006. Okazało się, że popyt kształtował się zgodnie z równaniem: y = 0,96t + 1,43. Jednocześnie wyznaczono surowe wskaźniki sezonowości równe odpowiednio dla kolejnych kwartałów:

w₁ = 0,76; w₂ = 0,94; w₃ = 1,35; w₄ = 1,11.

Wykorzystując te informacje określić spodziewany poziom popytu na dżemy III kwartale 2007 i w I kwartale 2008 roku.

Zadanie 11

W zakładach przetwórstwa zbożowego prowadzono badanie popytu na oferowane nowe gatunki kaszy. Badaniem objęto okres od 1.1.2002 do 31.12.2006. Okazało się, że popyt kształtował się zgodnie z równaniem: y = 0,83t + 1,07. Jednocześnie wyznaczono surowe wskaźniki sezonowości równe odpowiednio dla kolejnych kwartałów:

w₁ = 0,76; w₂ = 0,94; w₃ = 1,25; w₄ = 1,18.

Wykorzystując te informacje określić spodziewany poziom popytu na kasze w III kwartale 2007 roku i w I kwartale 2008 roku.

Zadanie 12

Dysponując danymi dotyczącymi całkowitych aktywów pewnego banku komercyjnego za osiem miesięcy ustalić na podstawie linii trendu prognozę ich poziomu na dwa kolejne miesiące i dokonać oceny jakości tej prognozy. Szereg empiryczny ma następującą postać: 276, 284, 334, 352, 386, 441, 386, 440.

Zadanie 13

Poniższy szereg prezentuje dane kwartalne dotyczące ceny baryłki ropy nad Zatoką Meksykańską ( w $ ) od1996 do 2000 roku: 42, 40, 39, 41, 40, 38, 35, 37, 39, 35, 34, 37, 36, 32, 30, 33, 32, 28, 27, 31. Podać prognozę ceny baryłki ropy na II i III kwartał roku 2001 wykorzystując odpowiednią linię trendu i sezonowość zjawiska. Uwzględnić ewentualne błędy prognozowania.

Zadanie 14

Dynamika cen serów owczych w latach 1993 - 2000 kształtowała się następująco:

rok	1993	1994	1995	1996	1997	1998	1999	2000
	1,163	1,403	1,684	3,663	3,460	1,343	1,118	1,257

Źródło: dane umowne

Wiedząc dodatkowo, że cena 1 kg sera była w 1996 roku równa 8,5 zł ustalić ceny sera w pozostałych latach oraz określić jej spodziewany poziom w roku 2003.

Zadanie 15

Poniższe dane opisują liczbę czytelników regionalnej gazety ( w tyś ) za okres ostatnich dwunastu lat:

rok	1997	1998	1999	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007	2008
Liczba czyt.	53	65	74	85	92	105	120	128	144	158	179	195

Źródło: dane umowne.

Przeprowadzić analizę trendu i wyznaczyć prognozę liczby czytelników na lata 2009 i 2010.

Zadanie 16

Wielkość produkcji wody mineralnej w wybranej rozlewni wód gazowanych przedstawia tablica.

rok	2001	2002	2003	2004	2005
produkcja w tys. litrów	14,2	16,0	16,2	16,6	15,0

Źródło: dane umowne

1. o ile wzrasta produkcja wody mineralnej w 2005r., w porównaniu z 2001r. a o ile
   w porównaniu z 2003r.?

2. jakie było średnioroczne tempo wzrostu produkcji w wyróżnionym okresie 2001-2005,
   a jakie w okresie 2002-2005?

3. Zakładając takie same tempo zmian, określić spodziewany poziom produkcji wody mineralnej w 2007 roku biorąc za podstawę odpowiednio okres 2001-2005 i 2002-2005.

Zadanie 17

Kolejno dla lat 2004-2008 liczba kin w Polsce przedstawiała się następująco:

lata	2004	2005	2006	2007	2008
liczba kin	2041	2010	1878	1792	1589

Źródło: dane umowne

Oblicz i skomentuj średnie roczne tempo spadku tego zjawiska w badanych latach. Zakładając niezmienniczy charakter tego zjawiska oblicz przewidywaną liczbę kin w Polsce w 2009 roku.

Zadanie 18

Dynamika dostaw ekspresów do kawy do sklepów w mieście Y w latach 2006-2010, mierzona wskaźnikami o podstawie stałej (2007 = 100) była następująca: 120, 100, 95, 95, 90. Obliczyć średnie tempo zmian sprzedaży w tych latach.

Zadanie 19

Indeksy łańcuchowe zakupu środków piorących są dla kolejnych tygodni odpowiednio równe: 105, 110, 108, 107. Oblicz średnie tempo zmian środków piorących.

Zadanie 20

Spożycie mleka (w litrach) w statystycznej rodzinie czteroosobowej było przez kolejne pięć tygodni równe: 10,12,14, 12, 13. Zachowując stałe tempo wzrostu spożycia wyznaczyć prognozę spożycia mleka na kolejne dwa tygodnie.

Zadanie 21

Wartość produkcji ( w mln $) w latach 2007-2011 w zakładzie A wynosiła odpowiednio: 200, 220, 250, 280, 300. Dla tego samego okresu dysponujemy indeksami o podstawie stałej zmian produkcji w zakładzie B (2007 = 100): 1,05; 1,15; 1,20; 1,40. W którym zakładzie było większe tempo wzrostu produkcji?

Zadanie 22

Liczba mieszkań oddanych do użytku w województwie M w latach 2004-2010 kształtowała się następująco:

Lata	2004	2005	2006	2007	2008	2009	2010
Liczba mieszkań	133	94,4	76,1	67,1	62,1	73,7	80,6

Źródło: dane umowne.

1. wyznaczyć i zinterpretować parametry trendu liniowego opisującego kształtowanie się liczby mieszkań oddanych do użytku w badanym województwie

2. zakładając, że trend nie ulegnie zmianie, wyznacz prognozę liczby mieszkań w 2012 roku

Zadanie 23

Eksport pewnej fabryki mebli w latach 2007-2011 (dane półroczne w mln $) przedstawia tablica:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
yt	24	34	28	40	31	45	37	50	43	55

1. wyrównać podany wyżej szereg metodą mechaniczną stosując odpowiednie średnie ruchome,

2. wyznaczyć liniową funkcję trendu.

.

Zadanie 24

Dysponujemy informacjami o kształtowaniu się liczby abonentów telefonów komórkowych w mieście K w ostatnich 10 latach (w tys.):

5, 22, 85, 125, 140, 180, 250, 321, 330, 405.

1. ocenić dynamikę zjawiska z pomocą prostych mierników dynamiki,

2. wyznaczyć liniową funkcję trendu,

3. ocenić dokładność dopasowania funkcji trendu do danych empirycznych,

4. wyznaczyć prognozę punktową liczby abonentów telefonów komórkowych w mieście K na kolejny rok wraz ze średnim błędem prognozy.

Zadanie 25

Informacje o kosztach całkowitych i wielkości produkcji trzech wyrobów produkowanych w przedsiębiorstwie K na koniec grudnia 2007 i 2009 roku podano w tablicy (w tys. zł):

Wyrób	Koszty całkowite		Produkcja
	2007	2009	2007	2009
A	56	168,9	70,4	163,4
B	385,6	170,6	355,3	157,1
C	11,3	71,6	22,8	115

Przeprowadzić analizę dynamiki kosztów jednostkowych dla trzech wyrobów łącznie produkowanych w tym przedsiębiorstwie wykorzystując: indeks wszechstronny, indeksy o stałej strukturze produkcji oraz indeksy wpływu zmian strukturalnych produkcji.

Zadnie 26

Mamy następujące dane o sprzedaży grypy wyrobów

Wyroby	Sprzedaż w mln zł		Zmiany cen w %
		2009		2010
A	60	80	bez zmian
B	40	30	wzrost o 50%
C	60	70	wzrost o 25%

Zadanie 27

Dysponujemy informacjami o wielkości sprzedaży pewnej hurtowni w 2010 roku.

Towary	Sprzedaż w mln zł	Dynamika ilości w %
		w 2009
A	180	104
B	70	100
C	50	96

Ponadto wiadomo, że wartość sprzedaży w 2009 r. była równa 240 mln zł. Jak łącznie zmieniły się wartość sprzedaży i ceny towarów

Zadanie 28

Mamy następujące dane o sprzedaży grupy towarów:

Towary	Sprzedaż w tys. zł		Zmiany ilości w %
		2009		2010
A	300	360	spadek o 7,5%
B	800	1080	wzrost o 20%
C	400	400	bez zmian

Obliczyć agregatowe indeksy wartości, cen i ilości.

ZADANIA Z KORELACJI I REGRESJI DWÓCH ZMIENNYCH

Zadanie 1

Zmierzono dwie cechy w dwóch kolejnych doświadczeniach. Uzyskano następuje wartości obserwacji

x	2	3	4	5	6
y	3	5	5	5	7

Zakładając, że między zmiennymi istnieje dodatnia liniowa zależność korelacyjna ocenić siłę tego związku.

Zadanie 2

Przeprowadzono w wybranej grupie studenckiej badania statystyczne dotyczące wyniku egzaminu końcowego ze statystyki (y - w punktach), ilorazu inteligencji (x - jednostkach IQ) i liczby godzin poświęconych na naukę przedmiotu (z - w godzinach). Uzyskane dane prezentuje tablica.

Nr studenta	x	y	z	Nr studenta	x	y	z
1 2 3 4 5 6	83 77 95 49 63 80	112 115 129 103 117 115	9 6 14 4 8 12	7 8 9 10 11 12	91 79 36 58 93 84	124 113 106 114 136 127	10 9 5 7 8 3

Źródło: dane umowne

1. Ustalić, które z cech wykazują największą wewnętrzną zmienność.

2. Obliczyć współczynniki korelacji liniowej Pearsone'a między cechami: x i y, x i z oraz
   y i z.

3. Określić, które z cech silniej wpływa na wyniki egzaminu - iloraz inteligencji czy czas poświęcony na naukę.

4. Zbadać współzależność cech za pomocą współczynnika Spearmana.

Zadanie 3

W fabryce zbadano jak kształtuje się średnia wydajność pracowników w zależności od nieprzerwanej pracy. Otrzymano tablicę:

czas pracy	1	2	3	4	5	6	7
wydajność w szt./h	19	22	19	17	15	13	14

Określić rodzaj badanej zależności korelacyjnej na podstawie wykresu rozrzutu i obliczyć współczynnik korelacji.

Jakiej wydajności możemy się spodziewać u pracownika pracującego nieprzerwanie 9 godz.?

W jakim stopniu wydajność pracownika zależy od czasu nieprzerwanej pracy a w jakim od innych czynników?

Zadanie 4

Zbadano zależność między ilością reklam pewnego wyrobu emitowanych dziennie w TV,
a wysokością obrotu w tys. zł uzyskanych ze sprzedaży rozważanego wyrobu. Dane przedstawia tablica.

ilość reklam	3	5	4	5	6	7
wielkość obrotu	115	133	142	150	148	151

Źródło: dane umowne

1. Sporządzić wykres rozrzutu korelacyjnego i na jego podstawie ustalić kształt, siłę
   i kierunek zależność cech.

2. Wyznaczyć i zinterpretować współczynnik korelacji Pearsone'a.

3. Jaki obrót może osiągnąć ze sprzedaży firma, gdy dziennie będzie emitowanych 8 reklam?

4. W jakim stopniu liczba reklam kształtuje poziom obrotu firmy?

5. Jak zmieni się obrót, gdy liczba emitowanych reklam wzrośnie i jedną dziennie?

Zadanie 5

Producent napojów chłodzących zgromadził dane o ilości zamówień (w tys. l) i średniej temperaturze dobowej (w °C) w ciągu wybranych 10 dni. Dane te przedstawia tablica

średnie temperatury dobowe	18	24	29	20	35	18	14	27	30	22
wielkość zamówienia	50	93	119	60	160	52	35	105	120	71

Źródło: dane umowne

Czy istnieje zależność między ilością zamówień i temperaturą dobową. Jeśli tak, to określić jej sił i kierunek?

1. Zbudować odpowiedni model regresji liniowej.

2. Określić w jakim stopniu ilość zamówienia zależy od temperatury.

3. W jakim stopniu wzrośnie ilość zamówień, gdy temperatura wzrośnie o 1°C?

Zadanie 6

Analityk kosztów usług szpitalnych chce oszacować liniowy związek między liczbą dni hospitalizacji pacjenta ( jakiej będzie on wymagał w ocenie lekarza przyjmującego ) i całkowitym kosztem pobytu pacjenta w szpitalu. Wyniki badania mają być wykorzystane do prognozowania kosztów pobytu pacjenta w szpitalu na podstawie wstępnej oceny długości jego pobytu. Wybrano następującą losową grupę 11 przypadków zachorowań

Ilość dni	5	6	2	7	1	4	8	3	2	5	9
Koszt pobytu	2 845	3 030	2 568	3 288	2 327	2 966	3 760	2 580	2 772	3 199	3 520

Źródło: dane umowne

Oszacuj parametry liniowego modelu regresji i oceń jego dokładność.

Zadanie 7

Analiza spożycia artykułu C zależnie od dochodu w losowej próbie gospodarstw domowych dostarczyła następujących informacji:

• średnie spożycie artykułu C na 1 osobę wynosi 2,5 kg,

• średni miesięczny dochód na 1 osobę wynosi 540 zł,

• współczynnik zmienności dochodu wynosi 15%, a spożycia 20%,

• poziom kowariancji równa się 27.

Wypowiedzieć się na temat siły i kierunku zależności. Oszacować parametry funkcji regresji spożycia względem wielkości dochodów oraz obliczyć poziom spożycia dla rodzin
o dochodach średnich wynoszących 600 zł.

Czy wysokość dochodu wpływa na poziom spożycia silniej niż inne czynniki?

Zadanie 8

Z badania zależności między wielkością opłat za zużycie gazu ziemnego a wielkością gospodarstw domowych mierzonych liczbą stanowiących je osób dla 80 wylosowanych gospodarstw wynika, że kowariancja tych zmiennych wynosi 32, średnia wielkość gospodarstwa domowego to 4 osoby z odchyleniem standardowym 0,8, a średnia wysokość miesięcznych opłat 300 zł, przy średnim zróżnicowaniu tych opłat 150 zł.

Oszacować parametry liniowej funkcji regresji wysokości opłat za zużycie gazu ziemnego względem wielkości gospodarstw domowych. Jaka jest siła tej zależności?

W jakim stopniu wielkość gospodarstwa domowego wpływa na poziom zużycia gazu?

Zadanie 9

Kierownik działu marketingowego sugeruje dyrektorowi pewnej firmy zwiększenie wydatków na reklamę w celu zwiększenia zysku firmy. Dyrektor nie chce się zgodzić
i twierdzi, że związek pomiędzy tymi cechami jest bardzo słaby. Czy stanowisko dyrektora jest słuszne, jeśli wyniki w ciągu ostatnich 6 miesięcy były następujące:

wydatki na reklamę	1	3	4	8	6	9
zysk w tys. zł PLN	40	50	60	90	80	120

W jakim stopniu wydatki na reklamę wpływają na zysk firmy?

Jaki zysk może osiągnąć firma, gdy wydatki na reklamę będą wynosić 7 j.p. ( setki zł)?

Jak zmieni się poziom zysku, gdy wydatki wzrosną o 1 j.p.?

Zadanie 10

W pewnym mikroregionie Wschodnim obejmującym 10 powiatów zbadano liczbę aptek ( Y ) i liczbę mieszkańców powiatu ( X - w tyś osób) według stanu na dzień 31.12 2001. Dane przedstawia tablica:

Liczba mieszk.	70,2	103,2	87,4	55,3	62,5	93,1	76,8	48,5	92,4	70,4
Liczba aptek	10	21	13	6	8	17	12	5	15	9

Ustalić siłę i kierunek współzależności pomiędzy liczbą mieszkańców powiatu a liczbą aptek oraz określić ile aptek powinno być w powiecie zamieszkanym przez 80 tyś mieszkańców.

Zadanie 11

Poniższa tabela przedstawia dane dotyczące wieku kobiet i kwotą wydawaną przez nie przeciętnie miesięcznie na kosmetyki

Wiek kobiet	18	20	23	34	24	27	27
Wydatki	20	24	24	25	26	27	34

Czy można twierdzić, że wydatki na kosmetyki w silnym stopniu zależą od wieku kobiet?

Zadanie 12

W pewnym zakładzie pracy przeprowadzono badanie zależności pomiędzy stażem pracy (x)
i odsetkiem braków w produkcji (y) wykonywanej przez 135 robotników i otrzymano następujące wyniki:

1. średni staż pracy równy 8 lat, średni odsetek braków równy 10%,

2. zróżnicowanie mierzone współczynnikiem zmienności wynosi: dla stażu: 30%, dla odsetka braków: 25%,

3. współczynnik regresji odsetka braków względem stażu pracy wynosi -0,62.

Co można powiedzieć o kierunku i sile korelacji między tymi zmiennymi?

Zadanie 13

Właściciel zakład badał zależność między płacą (x), a liczbą braków (y). W styczniu na podstawie losowo wybranej próby 20 pracowników, u których zaobserwowano liczbę elementów wadliwych w ich produkcji od 20 do 60 i zarobki od 1,5 tys. do 4,2 tys. zł. Wyznaczono równania regresji:

y = -12,79x + 62,19 i x = -0,059y + 4,28

1. Obliczyć i zinterpretować współczynnik korelacji oraz określić jakiego poziomu braków można się spodziewać u pracowników mających wynagrodzenie na poziomie 4,5 tys. zł.

2. W jakim stopniu liczba braków jest zależna od wysokości wynagrodzenia?

3. Jak zmieni się wynagrodzenie jeśli liczba wybrakowanych elementów wzrośnie o 1 ?

4. Jak zmieni się liczba braków, gdy wynagrodzenia wzrosną o 1 tys. zł.

Zadanie 14

W zakładach odzieżowych przeprowadzono badania w celu ustalenia zależności miedzy długością serii produkcji w tys. sztuk (x) a jednostkowym kosztem produkcji wyrobu w tys. zł (y). W rezultacie otrzymano następujące równania regresji:

x = -0,003y + 1,7 i y = -270x + 5160

1. Podać interpretację współczynników regresji a₁ i b₁.

2. Co można powiedzieć o kierunku i sile zależności pomiędzy tymi cechami?

3. Jaki jest teoretyczny poziom kosztu jednostkowego przy długości serii 10 tys. sztuk?

4. Jak zmieni się koszt jednostkowy jeśli długość serii wydłużymy o 1 tys. sztuk?

Zadanie 15

Dane wyjściowe są następujące:
,
= 12, S(x) = 3, V_z(y) = 0,3 oraz a₀= 2,5.

Ustalić siłę i kierunek współzależności oraz ocenić w jakim stopniu jedna cecha wyjaśnia drugą. Ustalić poziom cechy y, gdy x = 12.

Zadanie 16

Mamy dane: a_x = 1,6 S(x) = 10 S(y) = 6. Obliczyć współczynnik determinacji.

Zadanie 17

W wybranej grupie studenckiej przeprowadzono badania dotyczące zależności pomiędzy płcią i paleniem papierosów. Wśród 50 kobiet 12 paliło papierosy a wśród 50 mężczyzn do palenia papierosów przyznało się 42. Ułożyć tablicę asocjacji i na podstawie odpowiedniego miernika stwierdzić czy istnieje zależność pomiędzy tymi cechami.

Zadanie 19

Dla wybranej grupy osób opracowano test zręcznościowy. Wyniki tego testu określano jako pozytywne i negatywne. Wśród 220 kobiet objętych badaniem 2/5 uzyskało wynik negatywny a wśród 200 mężczyzn dla 65% określono wyniki również jako negatywny. Czy prawdą jest stwierdzenie, że wynik testu zależał od płci badanej osoby?

Zadanie 20

W jednej z katowickich dzielnic przeprowadzono badanie dotyczące stanu zdrowia wybranej losowo grupy osób i ich aktywności zawodowej. Uzyskane dane przedstawia tablica:

Aktywność zawodowa	Ocena stanu zdrowia
		B. dobry	dobry	zły
Pracuje stale	150	85	5
Prac. dorywczo	30	25	25
Bierny zawodowo	20	10	50

Czy na podstawie tych informacji można twierdzić, że pomiędzy stanem zdrowia i aktywnością zawodową ankietowanych osób zachodziła statystycznie istotna zależność?

Zadanie 21

W fabryce mebli zbadano 300 wyrobów, sklasyfikowano je według rodzaju braków i stwierdzono na której zmianie były produkowane. Wyniki analiz przedstawia tablica:

zmiana	Rodzaj braku
		A	B	C	D
I	14	20	44	13
II	25	30	33	5
III	32	16	48	20

Sprawdzić czy praca na różnych zmianach wpływa na jakość produkcji.

Zadanie 22

Wśród członków klubu „Fitness Klub” przeprowadzono ankietę dotycząca stosowania diety oraz zmiany wagi ciała. Otrzymano następujące wyniki:

	Nie stosują diety	Stosują dietę nieregularnie	Stosują dietę systematycznie
Brak zmian wagi	80	120	20
Nieznaczne zmiany	100	60	60
Utrata wagi ciała	20	70	120

Na podstawie tych informacji ustalić czy stosowanie diety wpływa w istotny sposób na zmiany wagi ciała.

Zadanie 23

W liceum miasta N zbadano zależność pomiędzy pochodzeniem społecznym uczniów a ich zainteresowaniami dotyczącymi kierunku studiów w wybranych typach uczelni wyższej. Wyniki badania przedstawia tablica:

Pochodz. Kandydata	Rodzaj uczelni wyższej
		uniwersytet	politechnika	Ak.medycz.
Chłopskie	5	10	5
Robotnicze	10	5	25
Inteligenc.	25	5	10

Ustalić stopień współzależności pomiędzy pochodzeniem społecznym ucznia a rodzajem wybieranej uczelni wyższej.

Zadanie 24

Ustalić stopień współzależności między opiniami dyrektora i wizytatora o nauczycielach pracujących w gimnazjum na podstawie kontroli całokształtu pracy zawodowej podsumowanej w systemie punktowym przedstawionym w tablicy:

Opinia	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
Dyrekt	41	27	35	33	25	47	38	53	43	35
Wizyt.	38	24	34	29	27	47	43	52	39	31

Uzasadnić wybór miernika.

Zadanie 25

Wśród 10 uczniów w klasie badano związek pomiędzy pozycją ucznia w klasie w zakresie jego popularności i pozycją wyznaczoną przez nauczyciela matematyki z tytułu jego aktywności na lekcjach matematyki ( w systemie punktowym ). Wyniki przedstawia tablica:

Uczeń	A	B	C	D	E	F	G	H	I	J
Klasa	16	9	28	16	10	7	25	8	17	12
Naucz	12	8	16	9	8	8	16	10	15	13

Ustalić w oparciu o odpowiedni miernik czy istnieje zgodność pomiędzy opinią klasy i nauczyciela.

Zadanie 26

Dziesięciu kierowców startuje w zawodach zbierając punkty, których suma określa ich miejsce w tabeli. Ustalić, czy istnieje współzależność pomiędzy lokatą w tabeli po sześciu wyścigach i po kolejnym siódmym wyścigu dysponując danymi:

Lokata po sześciu wyścigach	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Lokata po siódmym wyścigu	3	1	6	2	8	5	4	10	9	7

Zadanie 27

Badanie wydajności pracy i absencji chorobowej pracowników pewnej firny AB dostarczyło następujących informacji:

• średnia absencja chorobowa to 20 godz. pracy i średnia wydajność to 150 szt.

• współczynnik zmienności absencji wynosi 10% a wydajności 15%

• współczynnik regresji wydajności od absencji jest równy -9.

Określić

1. jaką wydajność może mieć pracownik, który opuścił w pracy 25 godz?

2. W jakim stopniu absencja wpłynęła na wydajność

3. Jak zmieni się wydajność pracownika gdy jego ilość opuszczonych godzin wzrośnie o 1 godz.

---