108 02


nr ćw.

108

data

20.01.1995

Jacek Zając

Wydział

Elektryczny

Semestr

III

grupa I1

prowadzący mgr. Ewa Mykowska

przygotowanie

wykonanie

ocena końcowa

0x01 graphic

Temat: Wyznaczanie modułu Younga metodą ugięcia

Wiadomo że gdy na podłużny pręt działa siła prostopadle do jego długości, doznaje on ugięcia, a wielkość tzw. strzałki ugięcia S jest zawsze proporcjonalna do siły F, a także zależy od wymiarów geometrycznych pręta, sposobu jego mocowania i rodzaju materiału z którego jest on wykonany. Pręt na rysunku pod działaniem siły ugina się w ten sposób że górne warstwy pręta są rozciągane a dolne ściskane. W środku wysokości istnieje warstwa, której długość nie ulega zmianie. Przekroje prostopadłe pręta, przy braku obciążenia są wzajemnie równoległe, tworzą natomiast kąt 0x01 graphic
po przyłożeniu siły.

0x01 graphic

Na rysunku obok zaznaczyłem rozpatrywane przekroje przez 1 i 2 oraz kąt 0x01 graphic
między 1 i 2 (1' jest równoległym przesunięciem przekroju 1 do linii przecięcia warstwy neutralnej N z przekrojem 2).

Jeśli zacznę rozpatrywać element pręta o długości 0x01 graphic
, grubości 0x01 graphic
i szerokości b znajdujący się w odległości x od krawędzi zamocowanej i na wysokości y powyżej warstwy środkowej to na skutek ugięcia belki badana warstwa ulega ugięciu o 0x01 graphic
.

Zgodnie z prawem Hooke'a wydłużenie jest proporcjonalne do siły i długości początkowej oraz odwrotnie proporcjonalne do powierzchni przekroju

0x01 graphic

gdzie E - moduł Younga, 0x01 graphic
- siła rozciągająca badaną warstwę elementarną.

Taka sama siła, lecz przeciwnie skierowana, działa na warstwę elementarną położoną symetrycznie poniżej warstwy neutralnej N.

Moment siły 0x01 graphic
względem warstwy N wynosi

0x01 graphic

Całkowity moment M sił działających na wszystkie warstwy zawarte między przekrojami 1 i 2 obliczam całkując powyższe równanie względem y po całej grubości

0x01 graphic
(1)

Jeśli oznaczę

0x01 graphic
(2)

to równanie (1) mogę napisać w postaci

0x01 graphic
(3)

Równanie to otrzymałem rozpatrując odkształcenie pręta, którego bezpośrednią przyczyną jest siła F przyłożona do jego końca. Moment tej siły względem przekroju 2 wynosi 0x01 graphic
lub zaniedbując wielkość 0x01 graphic
jako małą w porównaniu z x

0x01 graphic
(4)

Kąt 0x01 graphic
jest zawarty między stycznymi do pręta w punktach, gdzie przekroje 1 i 2 przecinają górną powierzchnię. Na podstawie rysunku mogę napisać następujący związek

0x01 graphic

Wstawiając powyższe równanie do wzoru (3) i porównując wzory (3) i (4) otrzymuję elementarną strzałkę ugięcia

0x01 graphic

Całkowitą strzałkę ugięcia otrzymuję całkując powyższe równanie po całej długości pręta

0x01 graphic

Po scałkowaniu, wyrażenie na całkowitą strzałkę ugięcia przyjmuje postać

0x01 graphic

Wartość współczynnika H zależy od kształtu i rozmiarów geometrycznych pręta. Gdy przekrój jest prostokątem o wysokości h i szerokości b, to całkowanie równania (2) prowadzi do wyniku

0x01 graphic

Całkowanie podobnego wyrażenia dla przekroju kołowego daje

0x01 graphic

Podstawiając wartości współczynników H otrzymuję odpowiednio dla obu przekrojów strzałki ugięcia

0x01 graphic

Otrzymane powyżej wzory odnoszą się do pręta jednostronnie obciążonego i jednym końcem umocowanego. Równania te mogę łatwo dostosować do sytuacji, gdy pręt jest swobodnie oparty dwoma końcami i obciążony w środku.

Zachowuje się on wtedy tak, jak gdyby był zamocowany w środku, a na jego końce działały siły 0x01 graphic
skierowane ku górze. Siła 0x01 graphic
działa wtedy na pręt o długości 0x01 graphic
.

Po uwzględnieniu tych warunków w poprzednich wzorach uzyskuję wzory na strzałki ugięcia prętów

0x01 graphic

dwustronnie podpartych

0x01 graphic

A z tych wzorów mogę już łatwo obliczyć moduł Younga. Po wykonaniu prostego przekształcenia mam moduł Younga dla przekroju prostokątnego

0x01 graphic

i dla przekroju kołowego

0x01 graphic
.

Przebieg doświadczenia

1. Zmierzyć wymiary poprzeczne pręta.

2. Zmierzyć odległości między krawędziami podpierającymi i wyznaczyć środek pręta.

3. Wypoziomować katetometr i przy jego pomocy wyznaczyć położenie górnej krawędzi pręta

nieobciążonego 0x01 graphic
.

4. Obciążając kolejno środek pręta ciężarkami (wg kolejności 1+2+3+4+5) odczytywać położenie

górnej krawędzi pręta.

5. Powtórzyć pomiary strzałki ugięcia przy zmniejszaniu obciążenia.

6. Obliczyć wartości średnie modułu Younga E i oszacować błędy 0x01 graphic
.

Pomiary zostały przeprowadzone dla czterech różnych prętów

Tabele wyników:

2.1. Masy obciążników:

Lp

m [kg]

1

0.2

2

0.2

3

0.5

4

0.5

5

0.5

2.2. Pręt o przekroju kwadratowym.

2.2.1.Wymiary: b = 8 mm,

a = 8 mm,

l = 60.5 mm,

h0 = 573.7 mm.

2.2.2. Tabela wynikw:

Lp

obciąźen. [g]

wysokość h [mm]

strzałka s [mm]

moduł Younga 1010 [N/m2]

1

200

573.34

0.36

7.3661861038

2

400

572.90

0.80

6.6295674951

3

900

572.03

1.67

7.1456416112

4

1400

571.10

2.60

7.1395342243

5

1900

571.08

2.62

9.6154032340

6

1700

570.60

3.10

7.2711385414

7

1200

571.63

2.07

7.6864550665

8

700

572.40

1.30

7.1395345543

9

200

573.34

0.36

7.3661861038

10

500

572.82

0.88

7.5335994278

11

1000

571.95

1.75

7.5766485624

Eśr.

7.4972631450 1010 N/m2

sn

0.722866846 1010

sn-1

0.758149144 1010

2.3. Pręt o przekroju kołowym.

2.3.1. Wymiary: r = 7 mm,

l = 60.5 mm,

h0 = 573.8 mm.

2.3.2. Tabela wynikw:

Lp

obciążen. [g]

wysokość h [mm]

strzałka s [mm]

moduł Younga 1010 [N/m2]

1

200

573.39

0.41

10,453798390

2

400

573.00

0.80

10,278930074

3

900

572.10

1.70

10,100094894

4

1400

571.50

2.30

9,934528958

5

1900

570.23

3.57

10,211190748

6

1700

571.15

2.65

10,435260098

7

1200

571.58

2.22

10,113566755

8

700

572.47

1.33

10,389087990

9

200

573.39

0.41

9,9786603001

10

500

572.78

1.02

10,100389770

11

1000

571.84

1.96

10,367868786

Eśr.

10,234567677 10 10 N/m2

sn

0.114733125 1010

sn-1

0.120333117 10 10

3.Rachunek błędów:

Błąd średnich modułu Younga został policzony za pomocą arkusza kalkulacyjnego excel 5.0 i umieszczony w powyższych tabelkach.

4. Wnioski.

Porwnując otrzymane wyniki oraz dane zawarte w tablicy w skrypcie Stanisława Szuby pt. ”Ćwiczenia laboratoryjne z fizyki” na stronie 201 możemy stwierdzić, że badane pręty wykonane były z miedzi (pręt o przekroju kwadratowym) i mosiądzu (pręt o przekroju kołowym). Niewielkie odchyłki od wartości nominalnych mogą być następstwem warunkw panujących w sali w czasie przebiegu ćwiczenia (np. temperatura panująca w sali znacznie odbiegała od 20C). Stosunkowo duża wartość odchylenia standardowego wynika z dużej rozbieżności wynikw, ktre są konsekwencją niedokładności odczytu i zamocowania prętw.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
108 02
Dz.U.02.108.953, Elektrotechnika, SEP, Normy, rozporządzenia i inne bajki
02.108.953, uprawnienia budowlane(1)
Dz U 02 108 953
02 108 953 w sprawie dziennika budowy
02 2006 107 108
02.108.953, ROZPORZĄDZENIE
108 SC DS300 R RENAULT TRAFIC A 02 XX
02 108 953 (2)
DzU 02 108 953 dziennik budowy
108 SC DS300 R RENAULT TRAFIC A 02 XX
Prawo o ruchu … Dz U 2005 108 908 wersja 2011 01 02 2011 08 20
Wyk 02 Pneumatyczne elementy
02 OperowanieDanymiid 3913 ppt

więcej podobnych podstron