WOJSKOWA AKADEMIA TECHNICZNA
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
LABORATORIUM FIZYCZNE
Grupa szkoleniowa : C-12
Podgrupa : 2
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
stopień i nazwisko
prowadzącego ćwiczenia
pchor. Jaroszewski Daniel
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
(stopień, nazwisko i imię słuchacza)
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
ocena przygot. ocena końcowa
do ćwiczenia
SPRAWOZDANIE
Z
PRACY LABORATORYJNEJ NR 1
Rozkład normalny
ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
(temat pracy)
2.Wstęp teoretyczny.
W przyrodzie często spotykamy się ze specyficznymi układami
fizycznymi, które składają się z wielu identycznych elementów.
Każdy z nich może przyjmować dwa lub więcej stanów w sposób
niezależny od zachoania się pozostałych (nie ma oddziaływania
między nimi). Takie układy nazywamy zespołami statycznymi, a o
elementach powiemy, że są statycznie niezależne.
Do opisu tych zjawisk stosujemy gotowe procedury zwane
rozkładami statycznymi, które określają prawdopodobieństwo
występowania danej sytuacji w zespole statycznym.
Rozkład dwumienny
Rozważmy dla przykładu idealny układ spinów połówkowych.
Dla uproszczenia rozważań przyjmijmy, że układ spinów znajduje
się w zewnętrznym polu magnetycznym. Każdy moment magnetyczny
może być skierowany albo "do góry"(tzn. równolegle do kierunku
indukcji magnetycznej pola) albo "do dołu"(tzn. antyrównolegle
do idukcji pola). Układ jest w stanie równowagi.
Dalej poprzez stwierdzenie, że spin skierowany jest do góry
rozumiał będę, że jego moment magnetyczny skierowany jest do
góry.
Zespół N spinów złożony jest z n skierowanych do góry oraz
n' skierowanych w dół. Oczywista jest równość :
n + n' = N
Interesujący nas problem brzmi następująco : ile wynosi
prawdopodobieństwo, że n spinów spośród N skierowanych jest do
góry, dla każdej możliwej wartości n?
Prawdopodobieństwo, wystąpienia jednej określonej
kombinacji położenia N spinów określone jest wzorem :
P=pp...p qq...q = pnqn'= pnqN-n
gdzie: p-prawdopodobieństwo, że spin jest ustawiony do góry,
q-prawdopodobieństwo, że jest ustawiony w dół.
Ilość sposobów, na które może być realizowana interesująca nas
kombinacja ustawienia spinów z matematycznego punktu widzenia
wynosi :
N!
ÄÄÄÄÄÄÄÄ
n!(N-n)!
Dla danej wartości N rozkład prawdopodobieństwa P(n) jest
funkcją n i nazywamy go rozkładem dwumiennym.
N!
P(n)= ÄÄÄÄÄÄÄÄ pnqN-n
n!(N-n)!
Rozważania na temat układu spinów łatwo uogólnić i
udowodnić uniwersalność rozkładu dwumiennego.
W szczególnym przypadku, gdy N=4 i p=q=1/2 :
4!
P(n)= ÄÄÄÄÄÄÄÄ (1/2)4
n!(4-n)!
P(0)=1/16, P(1)=4/16, P(2)=6/16, P(3)=4/16, P(4)=1/16
Funkcję P(n) przedstawiono na rys.1. Jest to funkcja dyskretna i
nie ciągła oraz : S P(n)=1.
Rozkład normalny
Wybitny matematyk Karl Friedrich Gauss wprowadził dla tego
szczególnego przypadku rozkładu dwumiennego postać nie
nastręczającą już trudności obliczeniowych, nazwaną później
rozkładem normalnym lub rozkładem Gaussa. Postać jest funkcją
ciągłą i nie zachodzi potrzeba liczenia silni dużych liczb.
Rozkład Gaussa wyraża się równaniem :
Ú ż
ł ł
1 ł (n-nśr)2 ł
P(n)= ÄÄÄÄÄÄ expł - ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ ł
ÚÄÄż ł 2s2 ł
áÓ2p s Ŕ Ů
Ma ono dwa parametry :
nśr - Wartość średnią
s - Odchylenie standardowe
Odchylenie standardowe i wartość średnia określone są wzorami :
ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄż
ł(n1-nśr)2+(n2-nśr)2+...+(nN-nśr)2
s= łÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
áÓ N-1
n1+n2+...+nN
nśr= ÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ
N
Rozkład obowiązuje w sąsiedztwie nśr.
Należy podkreślić, że rozkład normalny ma rownież charakter
dyskretny. Obwiednia dzwonowa poprowadzona pośrodkach schodów
jest pewnym wyidealizowanym modelem, taka postać jednak łatwiej
poddaje się analizie matematycznej.
Z matematycznego punktu wynika, że odległość między dwoma
punktami przegięcia wykresu wynosi 2s. Maksimum wykresu przypada
na nśr. Prawdopodobieństwo, że badana wielkość n przyjmuje
wartości w interesującym nas przedziale wartości (na,nb) jest
równe polu pod wykresem ograniczonego tym przedziałem.
Prawdopodobieństwa, że wartość n padnie w przedział
(nśr-s,nśr+s) wynoszą dla szczególnych przypadków:
ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄż
ł Przedział ł Poziom ł
ł ufności ł ufności ł
ł ł [%] ł
ĂÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄĹÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ´
łnśrń 0,675s ł 50 ł
łnśrń s ł 68,3 ł
łnśrń 2s ł 95 ł
łnśrń 3s ł 99,7 ł
ŔÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄŮ
Punkty eksperymentalne otrzymanego histogramu
niejednokrotnie odbiegają od teoretycznej krzywej Gaussa,
ponieważ N nie jest wystarczająco duże. Celowe jest posłużenie
się zależnością Simpsona, która pozwala wyznaczyć punkty
położone bliżej krzywej teoretycznej. Zależność Simpsona ma
postac :
P'(ni)=1/4[P(ni-1) + 2P(ni) + P(nn+1)]
Parametry rozkładu normalnego można wyznaczyć następującymi
sposobami :
- średnią nśr :
a) ze wzoru
b) z wykresu jako położenie jego maksimum
- odchylenie standardowe s :
a) ze wzoru
b) z wykresu jako położenie punktów przegięcia
c) poprzez analizę równania zlogarytmowanego stronami.
3.Układ pomiarowy.
1) pochylnia do staczania kulek zaopatrzona w 37 przegród;
2) pudełko z kulkami stalowymi w liczbie około 100;
4.Przebieg pomiarów.
1.Zapoznać się z budową pochylni;
2.Wsypać pojedynczo kulki przez otwór tak, aby nie zderzały
się ze sobą;
3.Obliczyć i zapisać ile kulek wpadło do poszczególnych
przegrodek;
4.Przesypać kulki z powrotem do pudełka;
5.Operacje 2-5 powtórzyć 10-krotnie;
6.Zliczyć ile kulek wpadło do poszczególnych przegródek
łącznie w 10 próbach;
5.Tabela pomiarów.
ÚÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÂÂÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄż
łNr łLiczbałłNr łLiczbał
łprzegr.łkulek łłprzegr.łkulek ł
ĂÄÄÄÄÄÄÄĹÄÄÄÄÄÄ´ĂÄÄÄÄÄÄÄĹÄÄÄÄÄÄ´
ł 1 ł 0 łł 20 ł 122 ł
ł 2 ł 0 łł 21 ł 136 ł
ł 3 ł 1 łł 22 ł 120 ł
ł 4 ł 1 łł 23 ł 89 ł
ł 5 ł 4 łł 24 ł 52 ł
ł 6 ł 7 łł 25 ł 44 ł
ł 7 ł 8 łł 26 ł 31 ł
ł 8 ł 11 łł 27 ł 25 ł
ł 9 ł 24 łł 28 ł 29 ł
ł 10 ł 22 łł 29 ł 14 ł
ł 11 ł 42 łł 30 ł 11 ł
ł 12 ł 36 łł 31 ł 9 ł
ł 13 ł 69 łł 32 ł 1 ł
ł 14 ł 128 łł 33 ł 4 ł
ł 15 ł 94 łł 34 ł 1 ł
ł 16 ł 101 łł 35 ł 0 ł
ł 17 ł 110 łł 36 ł 0 ł
ł 18 ł 96 łł 37 ł 2 ł
ł 19 ł 145 łł ł ł
ŔÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÁÁÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄŮ
6.Opracowanie wyników.
1.Schodkowy histogram zależności ilości kulek (xi) od
numeru przedziału (ni) przedstawia zał.1. Szerokość
przedziału przyjąłem równą 1.
2.Obliczone pomocnicze punkty wyliczone na podstawie
zależności Simpsona przedstawia tabela poniżej.
ÚÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄÂÂÄÄÄÄÄÄÄÂÄÄÄÄÄÄż
łNr łPunkt łłNr łPunkt ł
łprzedz.łSimps.łłprzedz.łSimps.ł
ĂÄÄÄÄÄÄÄĹÄÄÄÄÄÄ´ĂÄÄÄÄÄÄÄĹÄÄÄÄÄÄ´
ł 1 ł - łł 20 ł131,25ł
ł 2 ł 0,25łł 21 ł128,50ł
ł 3 ł 0,75łł 22 ł116,2 ł
ł 4 ł 1,75łł 23 ł 87,50ł
ł 5 ł 4,00łł 24 ł 59,25ł
ł 6 ł 6,50łł 25 ł 42,75ł
ł 7 ł 8,50łł 26 ł 32,75ł
ł 8 ł 13,50łł 27 ł 27,50ł
ł 9 ł 20,25łł 28 ł 24,25ł
ł 10 ł 27,50łł 29 ł 17,00ł
ł 11 ł 35,50łł 30 ł 11,25ł
ł 12 ł 45,75łł 31 ł 7,50ł
ł 13 ł 75,50łł 32 ł 3,75ł
ł 14 ł104,75łł 33 ł 2,50ł
ł 15 ł104,25łł 34 ł 1,50ł
ł 16 ł101,50łł 35 ł 0,25ł
ł 17 ł104,25łł 36 ł 0,5 ł
ł 18 ł111,75łł 37 ł - ł
ł 19 ł127,00łł ł ł
ŔÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄÁÁÄÄÄÄÄÄÄÁÄÄÄÄÄÄŮ
3.Przypuszczalny kształt ciągłego rozkładu normalnego
przedstawiłem w zał.1
4.Wyznaczenie parametrów rozkładu nśr i s.
` a) wartość średnia :
- nśr= (n1+n2+...+n37)/37= 703/37 = 19
- nśr= nmax= (78*38)/163= 18,2 ń 0,2
b) odchylenie standardowe :
ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄż
łS(ni-nśr)2
-s= łÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄ = 10,82
áÓ 37-1
-s= ((27+24)/2)*38/163= 5,9 ń 0,2
-nachylenie prostej wynosi :[(99*3/103)]/[130*350/163]=
=-0,01
ÚÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄÄż
s= áÓ-0,217/-0,01 = 4,66
Wartości średnie parametrów rozkładu :
nśr=(19+18,2)/2= 18,6
s =(10,82+5,9+4,66)/3= 7,13
5.Obliczenie bezwzględnej i względnej ilości kulek w
poszczególnych przedziałach:
ilość wszystkich kulek nmax= 1589
a)nśrń0,679s - [14;23]
nbwz= 1141 nwz= 72%
b)nśrńs - [11;31]
nbwz= 1415 nwz= 89%
c)nśrń2s - [4;33]
nbwz= 1585 nwz= 99%
Generalnie wartości prawdopodobieństw nieco
przewyższają wartości obliczeniowe. Błędy te są
wynoszą około 20%.
7.Wnioski.
wykonany wykres jest stosunkowo płaski i dokładne wyznaczenie tych punktów jest trudne. Podobnie oceniam graficzną metodę wykresu w skali logarytmicznej. O skali dokładności mogą świadczyć obliczone prawdopodobieństwa i porównanie ich z wartościami Ogólnie dokładność z jaką udało mi się przeprowadzić doświadczenie oceniam jako niezbyt wysoką. Jest ona lepsza przy wyznaczeniu wartości średniej, gdyż wartości są dyskretne i przyrost jest jednakowy, co w tym przypadku określa ją zawsze w środku długości podstawy równi czyli w przegródce nr 20. Potwierdziło to doświadczenie. Duży rozrzut dało wyznaczenie odchylenia standardowego, metoda graficzna, która pozwala wyznaczyć ją na podstawie znalezienia punktów przegięcia wykresu jest, moim zdaniem, mało dokładna ze względu na nakładanie się błędów (błędy przy rysowaniu wykresu i określeniu punktów przegięcia). Dodatkowo teoretycznymi. Uważam jednak, że doświadczenie wykazało poprawność twierdzeń o rozkładzie normalnym i otrzymana krzywa dzwonowa jest dość dobrą tego ilustracją. Przyrząd używany w doświadczeniu spełniał zadania zapewniając losowość zdarzeń. Sądzę jednak, że praktycznie rozkład jest zależny także od geometrii równi (np. jej długości). Przyczyn błędów należy się doszukiwać głownie w zbyt małej liczbie powtórzeń eksperymentu. Należy przypuszczać, że wraz ze wzrostem prób trzymywałbym coraz lepsze przybliżenia teorii. Jednak ścisłe potwierdzenie rozkładu normalnego jest niemożliwe,
gdyż jak wiadomo liczba prób musiałaby osiągnąć nieskończoność.