GEOMETRIA ANALITYCZNA - zadania

1. Znajdź punkt A' symetryczny do punktu A = ( -1 , -3 ) względem prostej x + 2y - 3 = 0.

2. Dane są punkty A = ( -2 , -3 ) , B = ( 1 , 4 ) , C = ( 3 , -4 ). Oblicz współrzędne i długość
wektora
.

3. Dany jest okrąg
. Znajdź równanie tego okręgu w symetrii
względem osi OY.

4. Okrąg o równaniu
przesunięto o wektor
a następnie przesunięty
okrąg przekształcono przez jednokładność o środku O = ( 0 , 0 ) i skali k = 3 . Podaj
równanie okręgu po tych przekształceniach .

5. Dana jest prosta o równaniu x + 7y = 50 i punkt A = ( 4 , 3 ) .

a ) Wyznacz na prostej takie punkty
i
aby
.

b ) Wyznacz na osi OY taki punkt C , aby
.

6. Dane są dwie proste k i l o równaniach 3x - y = -18 i x + y = 2 oraz punkt A = ( 0 , -2 ) . Na
osi OX znajdź taki punkt P , aby
, gdzie B jest punktem wspólnym prostych

k i l .

7. Dla jakiej wartości parametru m prosta 2x - 3y + m = 0 jest styczna do okręgu o równaniu

?

8. Do okręgu o równaniu
poprowadzono styczne równoległe do
prostej 2x - y + 99 = 0 .Napisz równania tych stycznych .

9. Oblicz długość cięciwy okręgu o równaniu
zawartej w prostej

o równaniu 7x + y - 14 = 0.

10. Dane są punkty A = ( 2 , -4 ) , B = ( 6 , 0 ) , C = ( 0 , 2 ) .

a ) Oblicz pole trójkąta ABC

b ) Znajdź równanie okręgu , którego średnicą jest wysokość trójkąta ABC
poprowadzona z wierzchołka C .

11. Znajdź taki punkt M , należący do prostej y = x - 1, aby pole trójkąta , którego

wierzchołkami są punkty M , A = ( 2 , 1 ) , B = ( 5 , 2 ) było równe 5 .

12. W trójkącie ABC dane są A = ( 0 , 5 ) ,
,
. Oblicz pole trójkąta

ABC . Znajdź równanie wysokości opuszczonej z wierzchołka C na bok AB .

13. Punkt A = ( 4 , -2 ) jest wierzchołkiem trójkąta ABC , w którym podstawa
zawiera
się w prostej o równaniu x + 2y = 8 , a wysokość względem boku
zawiera się w

prostej x - y + 1 = 0 .Wyznacz współrzędne wierzchołków B i C oraz oblicz pole trójkąta.

14. Boki trójkąta ABC zawierają się w prostych : y = 2 , 2x - y + 10 = 0 , 4x + 3y = 0.

Oblicz współrzędne wierzchołków tego trójkąta . Oblicz pole trójkąta ABC i napisz

równanie okręgu , którego średnicą jest bok zawarty w prostej o równaniu 2x - y + 10 = 0.

15. Dwie wysokości trójkąta ABC , gdzie A = ( 3 , -4 ) , zawarte są w prostych o równaniach

7x - 2y - 1 = 0 i 2x - 7y - 6 = 0 .Oblicz współrzędne pozostałych wierzchołków tego

trójkąta .

16. Punkty A = ( -8 , 3 ) i B = ( 4 , 12 ) są wierzchołkami trójkąta ABC , którego bok AC

zawiera się w prostej o równaniu 4x + 3y + 23 = 0 . Środkowa BM tego trójkąta zawiera

się w prostej o równaniu 17x - 6y + 4 = 0.Punkt S jest środkiem okręgu opisanego na

trójkącie ABC . Oblicz stosunek pola trójkąta BMS do pola trójkąta ABC .

17. Podstawą trójkąta równoramiennego ABC jest odcinek o końcach A = (2 , 1 ) i B = (5 , 2).

Jedno z ramion trójkąta zawiera się w prostej 2x - y - 3 = 0 . Oblicz pole trójkąta ABC

oraz promień okręgu opisanego na tym trójkącie .

18. Punkty A = ( 1 , 3 ) i B = (-1 , 5 ) są wierzchołkami trójkąta ABC , a punkt D = ( 2 , 3 )

punktem przecięcia jego wysokości . Znajdź współrzędne wierzchołka C i wykaż , że

trójkąt ABC jest rozwartokątny . Oblicz promień okręgu wpisanego w ten trójkąt .

19. W kwadracie ABCD dany jest wierzchołek A = ( 1 , 0 ) i wektor
. Znajdź

współrzędne pozostałych wierzchołków kwadratu.

20. W okrąg
wpisano prostokąt ABCD w ten sposób , że wierzchołki A i B

należą do prostej 2x - y - 6 = 0. Oblicz pole prostokąta .

21. Punkty A = ( -1 , -6 ) i B = ( 3 , -3 ) są kolejnymi wierzchołkami rombu ABCD.

Wierzchołek C należy do prostej x + y = 5 i ma dodatnią rzędną . Wyznacz współrzędne

wierzchołków C i D tego rombu .

22. W równoległoboku ABCD boki AB i BC zawierają się odpowiednio w prostych

y - x + 2 = 0 i y = 3x + 10 , zaś wierzchołek D = ( 1 , 5 ) . Wyznacz współrzędne

wierzchołków A i C tego równoległoboku . Znajdź równania prostych zawierających

wysokości tego równoległoboku poprowadzone z wierzchołka D .

23. Punkty A = ( 0 , -5 ) i D = ( -3 , -1 ) są kolejnymi wierzchołkami trapezu

równoramiennego ABCD . Podstawa AB tego trapezu zawiera się w prostej 2x - y = 5.

Prosta x + 2y = 0 jest osią symetrii tego trapezu.

a ) Oblicz współrzędne wierzchołków B i C trapezu .

b ) Oblicz cosinus kąta trapezu , którego wierzchołkiem jest punkt C .

24. Punkty przecięcia paraboli
z prostą 2x + y - 1 = 0 są końcami przekątnej

rombu , którego pole jest równe 30. Oblicz współrzędne wierzchołków tego rombu oraz

długość jego boku.

25. Odcinek o końcach A = ( 3 , 3 ) i B = ( 0 , 0 ) jest podstawą trapezu ABCD . Druga

podstawa trapezu jest cztery razy dłuższa i ma środek w punkcie K = ( 3 , -1 ) . Wyznacz

współrzędne wierzchołków C i D tego trapezu i oblicz jego pole .

49

---