Instrukcja 3

 1. PODSTAWY FIZYCZNE

Jednym z najczęściej występujących w przyrodzie zjawisk jest zjawisko drgań. Zasadniczą cechą drgań jest ich okresowość. Rozróżniamy dwa podstawowe rodzaje ruchu drgającego:

a) gdy w równych odstępach czasu powtarza się regularnie ten sam ciąg identycznych stanów układu (rys.la) - drgania niegasnące.

b) gdy okresowo powtarzają się podobne ciągi stanów układu, lecz wartość maksymalnego wychylenia z położenia równowagi maleje (rys.lb) - drgania gasnące.

Rys.l. a) drgania niegasnące b) drgania gasnące

Wśród licznych rodzajów drgań niegasnących najprostszym jest ruch harmoniczny, dla którego zależność położenia od czasu dana jest wzorem:

x = A sin(wt + f)

(1)

gdzie x oznacza położenie ciała w chwili t (odległość od początku układu współrzędnych przyjętego w położeniu równowagi), A nazywamy amplitudą drgań (jest to maksymalne wychylenie układu z położenia równowagi), argument sinusa (wt + f) - fazą drgań, f - przesunięciem fazowym lub fazą początkową, zaś w - częstością kołową. Amplituda i faza początkowa nie zależą od własności układu, określone są natomiast przez tzw. "warunki początkowe", czyli stan układu w chwili t = 0. Częstość kołowa w zależy od własności układu, nie zależy zaś od amplitudy drgań.

Określimy teraz okres drgań - T w ruchu harmonicznym t j. najkrótszy czas po jakim wychylenie, prędkość i przyśpieszenie ruchu przyjmą tę samą wartość. Aby warunek ten był spełniony, faza ruchu musi zmienić się o 2p, czyli:

A sin(wt + f + 2p) = A sin[w(t+T)+ f), (2)

skąd wT = 2p, a więc:

(3)

Ogólnie, ciało wykonywać może jednoczenie kilka ruchów drgających. Ruch jakim porusza się ono wtedy jest wypadkową wszystkich ruchów składowych. W przypadku, gdy rozpatrujemy tylko jeden ruch drgający, można wybrać początek liczenia czasu tak, aby faza początkowa f = 0 (w chwili t = 0 wychylenie jest równe zeru), czyli:

x = A sinwt

(4)

Zastanówmy się jakie warunki fizyczne muszą być spełnione, aby układ wykonywał drgania harmoniczne. Różniczkując dwukrotnie po czasie równanie (4) otrzymujemy przyśpieszenie:

(5)

Przyśpieszenie ruchu jest proporcjonalne do wychylenia z położenia równowagi i skierowane przeciwnie do tego wychylenia, a więc siła F wyraża się wzorem

F = ma = -mw²x = - kx

(6)

czyli, układ wykonuje drgania harmoniczne, jeśli działająca nań siła jest zwrócona do położenia równowagi i proporcjonalna do wartości wychylenia z tego położenia.

Wahadło fizyczne grawitacyjne

Bryła sztywna umieszczona w polu siły ciężkości i zawieszona na stałej poziomej osi, nie przechodzącej przez jej środek ciężkości, tworzy tzw. grawitacyjne wahadło fizyczne - (rys.2). Odchylona z położenia równowagi wykonuje wokół tego położenia drgania, poruszając się ruchem obrotowym.

Gdy środek ciężkości bryły - S odchylony jest o kąt a od linii pionowej przechodzącej przez punkt zawieszenia 0, na bryłę działa moment siły ciężkości:

M = - mgd sina,

(7)

gdzie d - jest odległością od osi obrotu do środka ciężkości, znak minus oznacza, że moment ten wywołuje obrót w kierunku przeciwnym do kierunku w którym mierzymy kąt a. Korzystając .z rozwinięcia funkcji sinus dla małych kątów na szereg Taylora:

(kąt a wyrażamy tu w mierze łukowej) i urywając rozwinięcie na pierwszym wyrazie szeregu, otrzymujemy równanie:

M = - mgda = - Da

(8)

Wielkość D = mgd nazywamy momentem kierującym - jest to maksymalna wartość, jaką może przyjąć moment siły, usiłujący przywrócić ciało do .położenia równowagi.

Druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego ma postać:

(9)

z gdzie
- jest przyśpieszeniem kątowym ciała, zaś wielkość I - jest momentem bezwładności ciała względem zadanej osi obrotu (
dla układu punktów materialnych - m_i, których odległości od osi obrotu wynoszą odpowiednio r_i;
- dla ciągłego rozkładu masy). Czyli dla wahadła odchylonego o mały kąt:

(9a)

stąd:

(10)

Otrzymaliśmy równanie analogiczne do równania (5), a więc rozwiązanie jego będzie miało postać:

a = a₀sin(wt + f),

(11)

gdzie
, a okres drgań wahadła fizycznego wynosi:

(12)

Podstawiając D = mgd mamy:

(12a)

Wprowadzimy teraz pojęcie długości zredukowanej wahadła fizycznego.

Długość zredukowana L wahadła fizycznego jest równa takiej długości wahadła matematycznego, które posiada ten sam okres drgań, co dane wahadło fizyczne

(13)

Z porównania wyrażeń pod pierwiastkami otrzymujemy:

(14)

Twierdzenie Steinera mówi, że moment bezwładności I bryły względem dowolne j osi równy jest momentowi bezwładności I₀ tej bryły względem osi przechodzącej przez jej środek ciężkości ( i równoległej do danej osi) powiększonemu o iloczyn masy tej bryły przez odległość między osiami: I = I₀+ md².

Czyli wzór (14) można zapisać w postaci:

(15)

Rys.2 Wahadło fizyczne.

a więc

(16)

Punkt 0' odległy o L od osi obrotu nazywa się środkiem wahań grawitacyjnego wahadła fizycznego.

Wykażemy, że jeśli przez ten punkt przeprowadzimy oś obrotu równoległą do osi pierwotnej, to okres drgań względem nowej osi będzie taki sam, jak okres względem osi pierwotnej, przechodzącej przez punkt 0.

Wahadło odwrócone (o osi obrotu w środku wahań) ma okres drgań T' wyrażający się wzorem:

Z rysunku 2. mamy: L - d = d' zaś z równania (15):

czyli
i po przekształceniu:

a więc

(16a)

Fakt ten wykorzystuje się do wyznaczenia przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła fizycznego o specjalnej konstrukcji , tzw. wahadła rewersyjnego, czyli odwracalnego.

Wahadło fizyczne torsyjne.

W wahadle grawitacyjnym moment kierujący wytwarza siła ciężkości. W wahadle torsyjnym powoduje go siła sprężystości pochodząca od skręconego pręta lub innego ciała sprężystego.

Po odkształceniu ciała sprężystego o kąt a od położenia równowagi powstają w nim drgania pod wpływem momentu siły skręcającej: M'= - Da zwracającego ciało zawsze do położenia równowagi. Współczynnik proporcjonalności D, podobnie jak w przypadku wahadła grawitacyjnego, nazywamy momentem kierującym. Równanie ruchu ma więc postać analogiczną jak dla wahadła grawitacyjnego (wz.10), a zatem i okres drgań wyraża się tym samym wzorem:

Wielkość D jest tu określona przez warunki fizyczne narzucone w ćwiczeniu.

Rozważmy przypadek, gdy siły działające na ciało powodują jego odkształcenie sprężyste (deformacja znika po ustąpieniu siły odkształcającej F).

Rys.3. Odkształcenie prostopadłościanu pod wpływem sił: a) normalnych b) stycznych .

W zależności od kąta między wektorem siły działającej a powierzchnią ciała odkształcanego rozróżniamy siły normalne F_n tj. działające prostopadle do powierzchni, oraz siły styczne - działające stycznie do powierzchni - F_S. Takimi właśnie siłami zajmować się będziemy w naszym ćwiczeniu.

Naprężenie styczne - jest to stosunek siły styczne j F_S do powierzchni S, na którą ta siła działa. Efekt działania takiego naprężenia nazywamy ścinaniem prostym.

(17)

Odkształcenie mierzy się wtedy za pomocą tzw. kąta ścinania g tj. kąta jaki tworzy płaszczyzna pierwotna z płaszczyzną obróconą na skutek ścinania (rys.3b i 4b). Między wielkościami t i g zachodzi związek znany jako prawo Hooke'a, które przyjmuje tu postać:

t = G g

(18)

Współczynnik G - zwany modułem sztywności lub modułem sprężystości postaciowej ma wymiar Nm^-2 rad^-1 = Pa rad^-2. Charakteryzuje on własności sprężyste materiału. Im jest on większy, tym trudniej jest zmienić kształt ciała. Wartości jego wahają się od 1,5 . 10⁶ Pa rad^-1 dla gumy miękkiej, do ok. 8,5 . 10¹⁰ Pa rad^-1, dla stali.

W naszym ćwiczeniu wielkość G wyznaczamy wykorzystując drgania harmoniczne pręta metalowego zachodzące pod wpływem sił sprężystych.

Każdy z elementów badanego pręta, skręconego przez siłę zewnętrzną, podlega deformacji ścinania prostego. Jako reakcja na tę siłę pojawia się w pręcie siła sprężystości powodująca powrót do położenia równowagi i w konsekwencji wywołująca zjawisko drgań.

Wyprowadzimy zależność matematyczną między modułem sztywności G, a momentem siły działające j na skręcony pręt. Rozważamy cylindryczny element pręta o promieniu wewnętrznym r', grubości dr' i długości L, równej długości całego pręta (L >> r' ) (rys.4). Naprężenie styczne w tym przypadku wynosi:

(19)

gdzie s jest elementem łuku. Ale s/r'= a, a więc

(20)

Rys.4 a) Odkształcanie elementów skręcanego pręta. b) Odkształcanie cylindrycznej warstwy skręcanego pręta.

Powierzchnia dS przekroju pierścienia ograniczonego obwodami o promieniach r'i r'+dr' wynosi 2pr'dr'. Wartość siły stycznej działającej na taki pierścień można określić korzystając ze wzorów (17) i (20):

(21)

moment siły zaś równy jest:

(22)

Całkując to wyrażenie w granicach od 0 do r, otrzymamy wartość momentu siły działającej na całą powierzchnię przekroju poprzecznego pręta:

( 23 )

Reakcją na ten moment jest pojawienie się w skręcanym materiale momentu
usiłującego przywrócić pręt do położenia równowagi. Pod wpływem tego momentu zachodzić będą drgania pręta.

Drugą zasadę dynamiki dla ruchu obrotowego I e = M, możemy zapisać dla tego przypadku w postaci:

(24)

gdzie

(24a)

Jest to równanie analogiczne do równania (9a), czyli okres drgań możemy wyrazić wzorem (12):

(25)

Przekształcając to wyrażenie znajdujemy wartość modułu sprężystości

(26)

Przypominamy, że L - jest tu długością pręta, r - jego promieniem, I - momentem bezwładności masy wprawionej w drgania względem osi przechodzącej przez oś pręta, T - okresem drga

 2. OPIS ĆWICZENIA.

Wyznaczanie przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego

Wahadło rewersyjne składa się z metalowego pręta, na którym umieszczone są dwa przesuwalne ciężarki m_A i m_B (rys.5), oraz dwa ostrza (osie obrotu) 0 i 0', których położenie również możemy zmieniać. Przez zmianę położenia ciężarków doprowadzić możemy do tego, że okresy wahań na osi 0 i 0' będą sobie równe. Wtedy odległość między tymi osiami stanie się długością zredukowaną L rozważanego wahadła fizycznego. Znajomość zaś długości zredukowanej i okresu drgań T pozwoli nam obliczyć wartość przyśpieszenia ziemskiego g, ze wzoru (16a):

(27)

Rys.5 Wahadło rewersyjne. Rys.6 Wahadło torsyjne

Wyznaczanie modułu sprężystości za pomocą wahadła torsyjnego

Moduł sprężystości wyznaczyć możemy doświadczalnie posługując się prostym przyrządem pokazanym na rys.6.

Badany pręt o długości L obciążony jest wibratorem w postaci krzyża na którym możemy umieszczać ciężarki. Skręcenie wibratora o niewielki kąt powoduje powstanie w pręcie sił sprężystości, które wywołują drgania harmoniczne całego układu. Wszystkie wielkości występujące we wzorze (26) poza momentem bezwładności I możemy łatwo zmierzyć. Wyznaczenie momentu bezwładności takie j bryły, jaką jest wibrator byłoby rzeczą bardzo skomplikowaną. Trudność tę omijamy w następujący sposób:

W pierwszej fazie doświadczenia wprawiamy w ruch wibrator nie obciążony lub umieszczamy na nim ciężarki dające "obciążenie wstępne" i znajdujemy okres drgań takiego układu

(28)

następnie umieszczamy na wibratorze dodatkowe ciężarki, których moment bezwładności względem osi przechodzącej przez ich środek masy możemy łatwo wyznaczyć i mierzymy nowy okres drgań T₂:

(29)

I_z - jest tu momentem bezwładności dodatkowych ciężarków.

Podnosząc równania (28) i (29) do kwadratu, odejmując je od siebie i uwzględniając wzór (24a) otrzymujemy:

(30)

skąd

(31)

W szczególnym przypadku, gdy to dodatkowe obciążenie stanowią jednorodne walce o momencie bezwładności względem osi przechodzące j przez ich środek ciężkości i równoległej do osi pręta wynoszącym
(m - jest masą walca, R - jego promieniem), i gdy walce te umieścimy w odległości d od osi pręta, to zgodnie z twierdzeniem Steinera wielkość
, d - jest średnią odległością środka walca obciążającego od osi wibratora, n - ilością obciążników.

Moduł sztywności G wyznaczamy ze wzoru (31) po podstawieniu do niego wyrażenia na I_z:

(32)

3. WYKONANIE ĆWICZENIA I OPRACOWANIE WYNIKÓW

Wahadło rewersyjne.

1. Ciężarek m_B (znajdujący się między osiami ) zamocowujemy mniej więcej w połowie odległości między osiami (rys.5). Ciężarek m_A umieszczamy w położeniu najbliższym osi 0'.

2. Uruchamiamy wahadło i mierzymy czas dwudziestu wahnięć wokół osi 0. Wyznaczamy okres drgań T₀. Odwracamy wahadło, mierzymy czas 20 wahnięć wokół osi 0' i wyznaczamy okres drgań T₀' .

3. Przesuwamy ciężarek m_A o 3 cm, ponownie znajdujemy okresy wahań T₀ i T₀' wokół osi 0 i 0' . Mierząc za każdym razem odległość ruchomego ciężarka A od osi 0' postępujemy w ten sposób do momentu gdy ciężarek m_A znajdzie się na końcu wahadła.

4. Po zmierzeniu okresów drgań wahadła zawieszanego na osi 0' - T₀' i osi 0 - T₀ w funkcji położenia ruchomego ciężarka - x sporządzamy wykres T₀ = T₀(x) i T₀'=T₀'(x) (zależność okresów drgań wahadła od odległości ruchomego ciężarka od wybranej osi obrotu).

5. Znajdujemy na nim punkt przecięcia krzywych T₀(x) i T₀'(x) - punkt (x₀,T).

6. Jeśli okaże się że krzywe na wykresie nie przecięły się, zmieniamy położenie ciężarka m_B i doświadczenie powtarzamy od początku.

7. W przypadku gdy krzywe przecinają się, sprawdzamy, ustawiając ciężarek m_A w punkcie x₀, czy istotnie wtedy T₀ = T₀'. Gdyby okazało się, że dla tego ustawienia okresy nie są dokładnie sobie równe, przesuwamy m_A o około 1 cm w jednym lub drugim kierunku. Powtarzamy pomiary. Położenie ciężarka uściślamy do momentu, gdy okresy w granicach błędu będą sobie równe.

8. Mierzymy odległość L między osiami (długość zredukowaną).

9. Znalezioną wartość T i L podstawiamy do wzoru (27), z którego obliczamy wartość przyśpieszenia ziemskiego.

10. Obliczamy błąd mierzonej wielkości (np. metodą logarytmiczną).

11. Wyznaczoną wielkość porównujemy z wartością tablicową i oceniamy poprawność zastosowanej metody pomiarowej.

L =		n =
x
t0
t0'

 

Wahadło torsyjne

1. Za pomocą śruby mikrometrycznej mierzymy kilkanaście razy, w różnych miejscach średnicę badanego pręta (2r).

2. Mierzymy długość badanego pręta (L).

3. Wprawiamy w ruch wibrator nie obciążony lub obciążony "obciążeniem wstępnym". Mierzymy czas dwudziestu drgnień t_l.

4. Mierzymy średnicę n dodatkowych ciężarków (2R).

5. Ważymy n dodatkowych ciężarków.

6. Mierzymy odległości między sztyftami na których umieszczamy te ciężarki (2d), (rys.6).

7. Po umieszczeniu ciężarków na sztyftach ponownie wprawiamy wibrator w drgania. Mierzymy czas dwudziestu drgnień t₂.

8. Po wykonaniu odpowiednich pomiarów, obliczamy wartości średnie r, R, d, m. Wyznaczamy wartość T₁ i T₂.

9. Wielkość G wyznaczamy ze wzoru (32).

10. Rachunek błędu przeprowadzamy metodą różniczki zupełnej. Pamiętać należy o właściwym oszacowaniu błędów pomiarów dla wielkości wyznaczanych jako wartości średnie.

11. Porównujemy znalezioną wartość G z wartością tablicową (czy znaleziona przez nas wielkość mieści się w granicach błędu?).

. PYTANIA KONTROLNE

1. Jakie warunki fizyczne muszą być spełnione, aby ciało mogło poruszać się ruchem harmonicznym ?

2. Narysuj zależność przyspieszenia od czasu w ruchu harmonicznym. Czy znajduje się ono w fazie z wychyleniem ?

3. Zastanów się, w jakim celu zmieniamy położenie ciężarków w wahadle rewersyjnym (przy ustalonej odległości między osiami).

4. Czy w stanie nieważkości możemy obserwować drgania wahadła fizycznego?, a wahadła torsyjnego?

---