analiza egz, WTD, analiza matematyczna

f(x,y)=xy²+1/x+2/y, x,y=/0 | df/dx=y²-1/x², df/dy=2xy-2/y² }z tego równanie i liczę y i x(r.przypadk). i z tego P₁... d²f/dx²=2/x³, d²f/dy²=2x+4/y², d²f/dxdy=2y, d²f/dydx=2y H_f(x,y)=[ 2/x³;2y/2y;2x+4/y²]

Później Hf(xy) od punktów i liczę wyznaczniki (B₁,B_2..). Stad funkcja jest nieujemnie określona dla Hf(-1,-1) i przyjmuje w pkt P₂(-1,-1)maximum lokalne równe -4. ponieważ f(-1,-1)=sprawdzenie z gł.

f(x,y)=xy na zb W=x²/8+y²/2=<1 df/dx=y, df/dy=x } f(x,y) jest ciągła na zbiorze W, który jest zbiorem zwartym (ograniczo i domknięty) wiec z twierdzenia Weienstrassa d²f/dxdy=0, d²f/dydx=0 P₁=(0,0) stad f_(P1)=0. Szukamy ekstremów na brzegu zbioru W= x²/8+y²/2=<1 | g(x,y)= x²/8+y²/2-1=0 D={(x,y): x²/8+y²/2-1=0}gradg=(x/4,y)=(0,0)x=0, y=0 |Pkt P=(0,0)e/eD wiec zbior D jest zbiorem Lagrange'a F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y) F(x,y)=x*y-λ(x²/8+y²/2-1) dF/dx=y-λx/y dF/dy=x-λy | robie układ równań i dopisuje 3 równanie z gł. wzoru. wyznaczam λ i porównuj a z tego liczę x. Z równania x i y P₁,P₂ i f(P₁)... odp. Funkcja przyjmuje najwyższą wartość w… równą… i najmniejsza w .. równą …

f(x,y)=3x²+y³+12xy-27y W={(x,y)€R²:y>4} df/dx=6x+12y,df/dy=3y³+12x-27,d²f/dx²=6, d²f/dy²=6y, d²f/dxdy=2y, d²f/dydx=2y Hf(x,y)=[6,12/12,6y] Aby funkcja była nieujemnie określona jej ślad i wyznacznik musza być >=0 | trHf(x,y)=6+6y>=0 dla y>=1 det Hf(x,y)=36y-144>=0 dla y>=4 }y>=4, stad Hf jest nieujemnie określona na zbiorze W. wykres. Zbiór W jest zbiore otwa i wypu na W wiec f. ta najmn wart przyjm w pkt stacjonarnych. {df/dx=0, df/dy=0 stad x i y i pisze P₁… i f(P₁)=… odp

e^-3y(2x²-y²) -> df/dx=e^-3y(4x),df/dy= -3e^-3y(2x²-y²)+ e^-3y(-2y)= e^-3y(-6x²+3y²-2y),d²f/dx²=4 e^-3y, d²f/dy²= -3e^-3y(-6x²+3y²-2y)+e^-3y(6y-2)= 3e^-3y(18x²-9y²+12y-2), d²f/dxdy=-12xe^-3y, d²f/dydx=-12xe^-3y

* f(x) i g(x) porownuje licze delte i x pozniej P=S^b_a|f(x)-g(x)| dalej podstawiam i pisze h(x)=…=0 x=.. lub x=..., stad funkcja h(x) ma staly znak dla XE(x,x) h(0)=…><0 stad |h(x)|=h(x) .. lub h(-x) dla xE(a,b). dalej P=S^b_a(…)=[licze calke]^b_a= i licze [j²]
* V=Pi S^b_a (f(x))²dx i nizej S x cos(4x)dx= {podstawiam f i g'} = najpierw bez primow i odjąć S z falki i licze. Dalej pisze V=Pi [to co policzyłem]^b_a= i licze [j³] _//+wykres

*f(x) i OX dla x>=… i P=S^b_a|f(x)-g(x)| h(x)>0 dla xE[..) stad |h(x)|=h(x) dla xE[), delta x₁ix₂

P=lim_(a->nsk)S^a₂(gl)dx=…=limS^a₂1/(x-x₁)(x-x₂)dx ||1/(x-x₁)(x-x₂)=a/(x-x₁)+b/(x-x₂) mnożę przez siebie, (a+b)x-… 1=(a+b)x-…Układ r. przy a=0 a to drugie=1 wyzn a i b i podst do 1/(x-x₁)(x-x₂)= a/ (x-x₁)+b/(x-x₂) || P=lim2S^a₂a/(x-x₁)+S^a₂b/(x-x₂)dx=… ||1/(x-x)+1(x-x) - to da się zam na Ln np. Ln|x+3|+Ln|x-2|+C= {+=*;-=/ -zamieniam dzialaia ; ln a²=2lna} || P=lim (a->nsk) S(gl. calka)dx i pozniej podst (ulamek) i cos tam wychodzi ;] Lne=0 Ln1=0

1. Dziedzina 2. Pochodna 3. Miejsca zerowe pochodnej f '(x)=0 i liczę `x' e>2,5~2,7

4. Ponieważ (mian z f'?)>0 dla x჎R, to znak f '(x) jest taki sam jak znak funkcji (licznik z f') 5. Wykres m-c zerowych (+D) 6. f'(x)>0 dla x჎ (prze) i f(x) rosnaca 6. Liczę ekstrema (z m-c zerowych) f(e); 7. Asymptoty: a) pionowa-z tego co wyrzucamy z dziedziny (+ i - ), 2x f(x) 1x f `(x) jak wyjdzie Ⴅ lub -Ⴅ to tworzy przy f ` podst liczbe b) pozioma x --> + - Ⴅ z f(x) jak wyjdzie cyfra to tworzy. c) ukośna: y=ax+b a=lim (x->+-Ⴅ)f `(x) - liczymy 1 raz. Jak wyjdzie cyfra to ok, jak 0-pozioma, cos innego - brak, b=lim(+-Ⴅ)=(f(x)-ax) - cyfra ok., 0-pozioma, cos innego-brak Przy asymptotach podstawiam tylko… nic nie wyciągam!

x | -Ⴅ | | m-ce 0 #1| |wywalone z D| |m-ce 0 #2| | +Ⴅ|

f ` (x) | | +/ - | 0 |+/-| X |+/- | 0 |+/- | |

f (x) | lim| | max/min | | asympt lub x | | max/min | | lim|

(x²-3)e^-x->f'(x)=2xe^-x+( x²-3)e^-x-1->f'(x)=e^-x(-x²+2x+3)->f'(x)=0e^-x(-x²+2x+3)=0e^-x=0 Ciągłość i różniczkowalność: f(x)=(e^4x-1)/x dla x≠0 i 4 dla x=0 } b.roz lub (-x²+2x+3)=0

4x- f. jest ciagla dla x჎R,e^x- f. jest ciągła|| x- f. ciagla (e^4x-1)/x- iloraz e^4x-1 i x dla x ∈R ciagla

Lim _x₀ f(x)=(e^4x-1)/x=[0/0]=h=(4e^4x)/1=[4/1]=4 f(x) jest ciągła dla x=0 f(0)=...*[f(x)-f(0)]/(x-0)* f `(0)=lim _x->0[((e^4x-1)/x)-4]/x=[(e^4x-1-4x)/x²]=[0/0]=h=lim (4e^4x-4)/2x=[0/0]=lim 16e^4x/2=[16/2]=8 - funkcja jest rozniczkowalna // jak jest liczba to OK a jak Ⴅ to nie jest

Min&max. 1. pochodna 2.f'(0)=..3.pisze f'(x)=0e..=0e..=0-brak rozw, e..>0 dla x∈R lub (równanie)=0 4.licze f od przedz. i to co należy do dziedziny, min&max porownuje i zapisuje.

(x²-3)e^-x->f'(x)=2xe^-x+( x²-3)e^-x*(-1)->f'(x)=e^-x(-x²+2x+3)->f'(x)=0e^-x(-x²+2x+3)=0e^-x=0

0' Ustalmy dowolne x,y჎R^* // δ(x,y)= |wzor |>= 0 poniewaz |a|>=0 2e^-4=2/e⁴

1' δ(x,y)=0x=y // δ(x,y)=|wzor|=0nad strzalka |a|>=0 x=y stad własność 1' spelniona

2' δ(x,y)= δ(y,x) // δ(x,y)=|wzor|=nad |a|=|-a| a∈R (x,y)=δ(y,x) stad własność 2' spelniona

3' δ(x,y)=|wzor|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|<= nad |a+b|=|a|+|b| =δ(x,z)+ δ(z,y)

Wszystkie war sa speln wiec wnioskuje ze δ jest metryka w X. // K(y,r)={X჎Dzied :δ(x,y)< r

δ(x,y)<r |x+-y|<r / -r<|wzor|<r / i robie dwa przedz. z lewej, prawej i licze x. np. 1>x i 1<x

[Ⴅ/Ⴅ] [Ⴅ-Ⴅ] [0*Ⴅ] [0/0] [0⁰] [Ⴅ⁰]-nieoznaczone;[Ⴅ+a]=Ⴅ [a/0]=Ⴅ [0/a]=0 K(y,r)=przedzial(x₁,x₂)

(f(x)+-g(x))'=f '(x)-+g(x) (af(x))'=af'(x) (x^k)'=kx ^k-1k჎R (e^e)'= e^xe^-x=-e^-x (a^x)'= a^x ln a

(sqrt z `x', n-stopnia)' =1/(n*sqrt z x^n-1) [f(x)*g(x)]'=f `(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

[f(x)/g(x)]'=f `(x)*g(x)-f(x)*g'(x)] / [g(x)]²[cos⁵(7x)]'=35sin(7x)*cos⁴(7x)

(1/x)'= -1/x² (ln⁶x)'=6/x log⁵x (sin9x)'=9cos9x f(zw)'(za `x' wewn)*f ' (wewn) a^b=e ^{b ln a}

L=S(sqrt[(f'(x))²+(f'(y))²])dt

Indukcja 1.spr.dla n=1 ; L=P ; Dla n=1 równanie jest spełnione 2.Ustalmy dowolne n>=1 oraz załóżmy, że zachodzi (wzór)(założ.). Dowodzimy teraz że zach. (wzór z `n+1') (teza)

|| L_n+1=P_n+1|| Krok 1 i 2 dowodzą, ze spełnione są założenia twierdzenia o indukcji matematycznej dla równości (Wzór) więc wnioskujemy, że równość (wzór) jest prawdziwa dla wszystkich n∈N.

Granica z def. Należy wykazać ze dla dowolnego E>0 istnieje n_o∈R takie że dla n>n_o mamy

|Xn - g|<E || Ustalmy dowolne E>0. Wyznaczamy n₀, takie że dla n>n_o zachodzi |Xn - g|<E. || n₀=_max{1;x/E}, jeśli n>1 i n>x/E, wtedy n>n₀ i przy założeniu, że E>0, wynika, że spełniona jest nierówność co dowodzi, że lim _n->oo x_n=1/2 || Przyjmujemy n_o=_max{x/E;0} || Dla n>n_o mamy x/n<E więc dla n>n_o mamy |T(n)|<E. || Alemberta - ! Un+1/Un=r r < 1 zbieżny; r > rozbieżny Cauchego - sqrt n√Un=r r < 1 zbieżny, r > rozbieżny 2e^-4=2/e⁴

Twierdzenie porównawcze 0<=an<=bn dla n>no a-b=a²-b²/a+b a-b=a³-b³/a²+ab+b²

[(n-4)/(n-2)]⁴ⁿ=[(n-4)ⁿ/(n-2)ⁿ]⁴=[(e^-4)/(e^-2)]⁴=(e^-6)⁴=e^-24

*f(x) i OX dla x>=… i P=S^b_a|f(x)-g(x)| h(x)>0 dla xE[..) stad |h(x)|=h(x) dla xE[), delta x₁ix₂P=lim_(a->nsk)S^a₂(gl)dx=…=limS^a₂1/(x-x₁)(x-x₂)dx ||1/(x-x₁)(x-x₂)=a/(x-x₁)+b/(x-x₂) mnożę przez siebie, (a+b)x-… 1=(a+b)x-…Układ r. przy a=0 a to drugie=1 wyzn a i b i podst do 1/(x-x₁)(x-x₂)= a/ (x-x₁)+b/(x-x₂) || P=lim2S^a₂a/(x-x₁)+S^a₂b/(x-x₂)dx=… ||1/(x-x)+1(x-x) - to da się zam na Ln np. Ln|x+3|+Ln|x-2|+C= {+=*;-=/ -zamieniam dzialaia ; ln a²=2lna} || P=lim (a->nsk) S(gl. calka)dx i pozniej podst (ulamek) i cos tam wychodzi ;] Lne=0 Ln1=0

1. Dziedzina 2. Pochodna 3. Miejsca zerowe pochodnej f '(x)=0 i liczę `x' e>2,5~2,7 4. Ponieważ (mianownik)>0 dla x჎R, to znak f '(x) jest taki sam jak znak funkcji (licznik) 5. Wykres m-c zerowych (+D) 6. f'(x)>0 dla x჎ (prze) i f(x) rosnaca 6. Liczę ekstrema (z m-c zerowych) f(e); 7. Asymptoty: a) pionowa-z tego co wyrzucamy z dziedziny (+ i - ), 2x f(x) 1x f `(x) jak wyjdzie Ⴅ lub -Ⴅ to tworzy przy f ` podst liczbe b) pozioma x --> + - Ⴅ z f(x) jak wyjdzie cyfra to tworzy. c) ukośna: y=ax+b a=lim (x->+-Ⴅ)f `(x) - liczymy 1 raz. Jak wyjdzie cyfra to ok, jak 0-pozioma, cos innego - brak, b=lim(+-Ⴅ)=(f(x)-ax) - cyfra ok., 0-pozioma, cos innego-brak Przy asymptotach podstawiam tylko… nic nie wyciągam!

x | -Ⴅ | | m-ce 0 #1| |wywalone z D| |m-ce 0 #2| | +Ⴅ|

f ` (x) | | +/ - | 0 |+/-| X |+/- | 0 |+/- | |

f (x) | lim| | max/min | | asympt lub x | | max/min | | lim|

(x²-3)e^-x->f'(x)=2xe^-x+( x²-3)e^-x-1->f'(x)=e^-x(-x²+2x+3)->f'(x)=0e^-x(-x²+2x+3)=0e^-x=0 Ciągłość i różniczkowalność: f(x)=(e^4x-1)/x dla x≠0 i 4 dla x=0 } b.roz lub (-x²+2x+3)=0 4x- f. jest ciagla dla x჎R,e^x- f. jest ciągła|| x- f. ciagla (e^4x-1)/x- iloraz e^4x-1 i x dla x ∈R ciagla